عامل زيادة الحدود ونسبة الحدين في التأمين ليسا رقمًا واحدًا؛ نحسب الفرق بقائمة خسائر مؤلفة، دون تسعير وثيقة.
الخلاصة السريعة
نسبة متوسطَي الخسارة المحدودة قد تختلف عن نسبة حدَّي التغطية.
- يبسط نهج CAS العامل إلى نسبة متوسطين محدودين، مع ثبات التكرار واستقلاله عن الشدة ومصروفات اكتتاب نسبية بالكامل وثبات نسبتها ونسبة الربح. [1]
- في نموذجنا أربع خسائر كاملة متساوية الاحتمال: 10 و30 و70 و190. لا تحمل ولا مصروفات؛ المتوسط عند حد 50 هو 35، وعند 100 هو 52.5.
- العامل 52.5÷35 يساوي 1.5، بينما نسبة الحدين تساوي 2. متوسط الزيادة 17.5 على الحالات الأربع، لا 35 على الحالتين المتأثرتين فقط.
- عند حد 200 يبلغ المتوسط 75. عامله بالنسبة إلى 50 هو 15÷7، وبالنسبة إلى 100 هو 10÷7؛ اذكر حد الأساس.
- استبدال 190 بخسارة 390 يبقي متوسطَي 50 و100، لكنه يرفع متوسط 200 إلى 77.5. البيانات المقصوصة لا تستعيد الذيل وحدها.
- هذا عامل خسارة في نموذج ثابت التكرار لكل مطالبة، لا قسط تجاري أو حد سنوي إجمالي أو ضمان تعويض. احفظ الفروض والخسائر الأصلية.
ابدأ بتعريف العامل وفروض المقارنة
يشتق CAS عامل زيادة الحدود ILF من نسبة متوسط الخسارة المحدود عند الحد الأعلى إلى نظيره الأساسي، مع تكرار واحد للحدود واستقلاله عن الشدة، ومصروفات اكتتاب نسبية بالكامل وثبات نسبتها ونسبة الربح. المتوسط المحدود يقص كل خسارة عند الحد المقارن. [1]
سنحسب الجانب الخسائري فقط في نموذج مستقل لا يضيف مصروفات أو ربحًا أو إعادة تأمين. نفترض أربع قيم ممكنة للخسارة الكاملة: عشر وحدات وثلاثون وسبعون ومئة وتسعون. احتمال كل قيمة ربع، وبذلك نعرف التوزيع كله في المسألة. لسنا أمام أربع مطالبات حدثت بالضرورة في السنة نفسها، ولا أمام بيانات رصدناها من شركة أو عينة نوصي باستعمالها لتقدير السوق.
نثبت كذلك تكرار المطالبات عند مقارنة الحدود، ونستعمل العملة الافتراضية نفسها ووحدة الخسارة نفسها. الحدود خمسون ومئة ومئتان هي حدود للمطالبة الواحدة داخل تمريننا، وليست حدًا إجماليًا يستنفد بعد جمع مطالبات متتالية. ولا نطبق تحملًا قبل القص أو بعده؛ إدخال أحد هذه العناصر يغير تعريف المبالغ التي نضعها في الجدول، لذلك نبقي بطاقة الفروض بجوار الحساب.
الهدف ليس اختيار أي الحدود يناسب شخصًا، بل معرفة ما الذي يقع في بسط العامل ومقامه. الحد نفسه مبلغ يقيد قيمة الخسارة المحتسبة في النموذج، أما العامل فنسبة بين متوسطين ناتجين عن ذلك التقييد. من هنا نبدأ بقيم الخسائر، ثم نشتق المتوسطات، ثم نحسب النسبة؛ لا نقفز من إعلان تضاعف مبلغ الحد إلى إعلان تضاعف تكلفة الخسارة.
كوّن متوسط كل حد من الحالات نفسها
عند الحد خمسين تبقى الخسارتان عشر وثلاثون كما هما، ونأخذ خمسين بدل سبعين وخمسين بدل مئة وتسعين. تصبح القيم عشرة وثلاثين وخمسين وخمسين، ومجموعها مئة وأربعون. ولأن الحالات الأربع متساوية الاحتمال، نقسم المجموع على أربعة فنحصل على خمسة وثلاثين. لم نحذف الحالتين الصغيرتين لمجرد أنهما لم تصلا إلى الحد، ولم نحسب متوسط المتجاوزتين وحدهما.
عند رفع حد المقارنة إلى مئة، لا يتغير الرقمان عشرة وثلاثون، وتدخل السبعون كاملة، بينما نقيد المئة والتسعين عند مئة. المجموع الجديد مئتان وعشر، ومتوسطه اثنتان وخمسون ونصف. المقام ما زال أربع حالات بالاحتمالات نفسها، لا عدد الحالات التي مسها القص في العمود الجديد. هذه الاستمرارية في تعريف المتوسط هي التي تجعل مقارنة العمودين تجيب عن سؤال واحد.
يمكن كتابة النتائج في جدول يترك أول عمود للخسائر الكاملة، والثاني للمبالغ المحدودة بخمسين، والثالث للمبالغ المحدودة بمئة. عند مراجعة كل صف نرى أن رفع الحد لم يرفع كل مبلغ إلى مئة؛ الخسارة الصغيرة بقيت صغيرة. وهذه هي المعلومة التي يغيبها الاكتفاء بمقارنة خمسين ومئة، لأن نسبة هذين العددين لا تظهر أين تقع الحالات التي أعطيناها بالنسبة إلى السقف.
وتبقى وحدة خمسة وثلاثين واثنتين وخمسين ونصف وحدة نقدية لكل حالة من توزيعنا، وليست نسبة مئوية. أما قسمة أحد المتوسطين على الآخر فتنتج عاملًا بلا وحدة نقدية. لذلك نسمي العمود بوضوح ونضع الوحدة في عنوانه، حتى لا يتحول رقم المتوسط إلى مبلغ قسط أو تتحول خانة العامل إلى مبلغ نقدي لم نعطه أصلًا ضمن المدخلات.
قارن العامل بالزيادة لا بنسبة الحد وحدها
نقسم اثنتين وخمسين ونصف على خمسة وثلاثين فنحصل على واحد ونصف. في المقابل، مئة مقسومة على خمسين تساوي اثنين. إذن حدنا تضاعف، لكن متوسط الخسارة المحدودة في توزيعنا ارتفع بنسبة خمسين بالمئة فقط. لا يوجد تعارض بين النتيجتين؛ كل عملية قسمت مقدارًا مختلفًا. يصف الرقم اثنان علاقة السقفين، ويصف واحد ونصف علاقة المتوسطين الناتجين من الخسائر المفترضة.
لنراجع الفرق صفًا صفًا: عند الانتقال من حد خمسين إلى مئة، كانت الزيادات صفرًا وصفرًا وعشرين وخمسين. مجموع الزيادة سبعون، ومتوسطها على الحالات الأربع سبع عشرة ونصف. وبإضافة هذا المتوسط إلى خمسة وثلاثين نستعيد اثنتين وخمسين ونصف. هذه مراجعة مستقلة لاتساق الجدول؛ فهي تربط فرق المتوسطين بمتوسط الفروق حين نحتفظ بالحالات وأوزانها نفسها.
ولو أخذنا الحالتين اللتين زاد مبلغهما فقط، لكان متوسط زيادتهما خمسة وثلاثين، أي سبعين مقسومة على اثنين. هذا متوسط مشروط بالتأثر في قائمتنا، وليس الزيادة المتوقعة على جميع الحالات. حين نستعمله بدل سبع عشرة ونصف، نضاعف الزيادة التي ننسبها إلى الحالة العامة. الحل ليس وصف أحد المتوسطين بأنه خاطئ دائمًا، بل كتابة أي مجموعة يدخل عددها في المقام.
كذلك نفرق بين العامل واحد ونصف والزيادة نصف المتوسط الأساسي. إذا كتبنا يزيد العامل بنسبة خمسين بالمئة، فمرجع النسبة هو قيمة العامل واحد عند الأساس. وإذا كتبنا يضاف سبع عشرة ونصف، فهذه زيادة بوحدة نقدية في المتوسط. جمع الرقم واحد ونصف إلى خمسة وثلاثين مباشرة لا يؤدي هذه الوظيفة؛ العملية المطلوبة ضرب المتوسط الأساسي في العامل أو إضافة فرق المتوسطين المحسوب.
غير حد الأساس دون تغيير الخسائر
نمد الجدول إلى حد مئتين، فتدخل القيم العشر والثلاثون والسبعون والمئة والتسعون كاملة، لأن جميعها دون هذا السقف في نموذجنا. يصبح المجموع ثلاثمئة والمتوسط خمسة وسبعين. وإذا أبقينا خمسين أساسًا، فالعامل هو خمسة وسبعون على خمسة وثلاثين، أي خمسة عشر على سبعة، ويقارب 2.143 عند التقريب إلى ثلاث منازل عشرية. لا يساوي هذا نسبة الحدين، وهي أربعة.
أما إذا جعلنا مئة حد الأساس، فنقسم خمسة وسبعين على اثنتين وخمسين ونصف، فنحصل على عشرة على سبعة، أي نحو واحد فاصل أربعمئة وتسعة وعشرين بالألف. تغير العامل لأن مقام المقارنة تغير، بينما لم نغير الخسائر أو قيمة المتوسط عند مئتين. لذا فإن نقل عامل إلى ورقة أخرى دون بيان الأساس يمكن أن يجعل رقمًا صحيحًا في ورقته الأصلية جوابًا لسؤال مختلف.
ولمراجعة الربط، نضرب عامل الانتقال من خمسين إلى مئة، وهو واحد ونصف، في عامل الانتقال من مئة إلى مئتين، وهو عشرة على سبعة. الناتج خمسة عشر على سبعة، مساويًا للعامل المباشر من خمسين إلى مئتين. نستخدم الكسور الكاملة في هذه المراجعة، ونؤجل التقريب إلى العرض النهائي، حتى لا نحسب فرق تقريب صغيرًا على أنه اختلاف في قاعدة القص.
يساعد حفظ زوج الحدين مع كل عامل على تجنب الخطأ: حد مطلوب وحد أساسي، ثم متوسط عند كل منهما. لا تكفي عبارة عامل مئتين وحدها إذا كانت أوراق المقارنة تستعمل أساسات مختلفة. كذلك لا نجمع العاملين واحد ونصف وعشرة على سبعة لنصل إلى الانتقال الكلي؛ فالعلاقة هنا نسب متتابعة نضربها، وليست زيادتين نقديتين من النوع الذي حسبناه في القسم السابق.
لا تستعد الخسارة الأصلية من العمود المقصوص
ننشئ الآن نموذجًا بديلًا مستقلًا نغير فيه المئة والتسعين إلى ثلاثمئة وتسعين، ونبقي القيم الثلاث الأخرى واحتمالاتها كما كانت. عند حد خمسين ستظل القيم عشرة وثلاثين وخمسين وخمسين، وعند مئة ستظل عشرة وثلاثين وسبعين ومئة. إذن متوسطا الحدين وعاملهما واحد ونصف لم تتغير، رغم أن إحدى الخسائر الكاملة ارتفعت بمئتين في النموذج البديل.
لكن عند حد مئتين تصبح الحالة الأخيرة مئتين بدل مئة وتسعين، ويصير مجموع القيم ثلاثمئة وعشرًا ومتوسطها سبعًا وسبعين ونصف. لقد ظهر الفرق عند هذا السقف، بعد أن اختفى في العمودين الأدنى. تثبت المقارنة بين النموذجين أن امتلاك عمود الخمسين أو المئة وحده لا يحدد بالضرورة ما كان فوقه من مبالغ في هذه المسألة.
ولهذا لا نأخذ الخمسين الظاهرة في صف مقصوص ونعلن أنها مقدار الخسارة الأصلي. إنها القيمة التي يسمح بها سقف الحساب المعطى. نحتفظ بعلامة تدل على القص وبحده إذا كانت المعلومة متاحة، ونكتب غير معلوم حين لا نملك الأصل. أما استبدال كل قيمة مقصوصة بتخمين موحد ثم تقديم الناتج على أنه مبني على معلومات كاملة، فيخفي افتراضًا جديدًا لم يكن في الملف.
لم نقدر هنا شكل ذيل توزيع واقعي، ولم نلائم منحنى أو نستنتج احتمال الخسارة الكبيرة من بيانات شركة. صنعنا نموذجين كاملين حتى نرى ما الذي يفقده العمود المحدود. لذلك لا نختار أحدهما حقيقة عن سوق التأمين، ولا نقترح عامل حد أعلى اعتمادًا على مساواة عاملين أدنى. فائدتهما بيان المعلومة الناقصة التي يلزم سؤال مصدر البيانات عنها قبل توسيع المقارنة.
انقل النتيجة مع حدودها الحسابية
في ورقة متابعة مقترحة نكتب تاريخ النسخة، ووحدة الخسارة، وهل القيمة كاملة أم مقيدة، والحد الذي طبقناه، واحتمال الحالة أو وزنها. ثم نحفظ مجموع الأوزان ومتوسط كل حد والأساس الذي اخترناه للعامل. هذه حقول لتنظيم مثالنا، وليست نموذج إفصاح رسميًا. وعند اختلاف نسخة من الخسائر عن أخرى، نحدد ما تغير بدل ترك عامل قديم إلى جوار متوسطات جديدة.
ولا نضرب قسط عرض تجاري في واحد ونصف لمجرد أن النتيجة ظهرت في تمريننا. لم نقدم تركيب ذلك القسط أو شروطه أو مصروفاته أو معيار ربحه، ولم نتحقق من ثبات تكرار المطالبات لدى مشتري الحدود المختلفة. إذا كان السؤال عن فرق عرضين، فاطلب شرح العناصر الداخلة فيهما والأساس المستعمل؛ لا تجعل عامل خسارة مؤلفًا بديلًا عن قراءة العرض نفسه.
وبالمثل، لا يعطينا متوسط خمسة وسبعين وعدًا بأن كل مطالبة ستدفع هذا المبلغ. المتوسط يجمع نتائج حالات ممكنة وفق أوزان أعطيناها، بينما كل صف في النموذج له مبلغ مختلف. ولا يقرر الحساب استحقاق تعويض واقعي أو تطبيق استثناء أو حد فرعي. ما أثبتناه هو نسبة بين متوسطات محدودة تحت فروض معلنة، وليس صلاحية وثيقة أو كفاية حد لحماية نشاط معين.
إذا احتجت شرح النتيجة لزميل، اعرض الخسائر الأصلية أولًا، ثم عمودَي القص، ثم متوسطَي خمسة وثلاثين واثنتين وخمسين ونصف. عندئذ يظهر لماذا كان العامل واحدًا ونصف رغم أن الحد تضاعف. وحين يسأل عن رقم آخر، حدد الحد المطلوب والأساسي قبل أي قسمة، وأبق الفرق بين عامل النموذج وسعر المنتج واضحًا في عنوان الجدول والحديث الذي يرافقه.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.