التناسب العكسي: القانون وحل المسائل بأمثلة

ما الثابت الذي تبحث عنه؟

يعرف أوبنستاكس التغير العكسي بالصيغة y = k / x، حيث يكون k ثابتًا غير صفري. وبضرب الطرفين في x نحصل على xy = k. هذه الصيغة هي التي تحدد الاختبار: نضرب القيمتين المتناظرتين، ونقارن النواتج. أما قسمة إحداهما على الأخرى فتختبر علاقة مختلفة، ولا تقوم مقام حاصل الضرب في هذه المسألة. [1]

وفي المثال الذي سنبنيه، يأتي الثابت من عدد الخانات المطلوب ترتيبه أصلًا. لن نستخرجه من اتجاه أرقام تتناقص فقط، ولن نفترض أن كل ترتيب مستطيل يحمل العدد نفسه. سنحدد المجموع أولًا، ثم نختبر أن توزيع الأعمدة والصفوف يحافظ عليه؛ بذلك يرتبط الرمز بمعنى واضح داخل المسألة بدل أن يكون حرفًا نبحث له عن قيمة بلا سياق.

ابنِ نموذجًا واضحًا قبل التعويض

لنفترض أن هناء تريد ترتيب 84 خانة متطابقة في لوحة مستطيلة كاملة، دون صف ناقص أو خانات فارغة. هذا مثال من تأليفنا. نرمز لعدد الأعمدة بالحرف x، ولعدد الصفوف بالحرف y. إذا اختارت سبعة أعمدة واثني عشر صفًا، وجدنا 7 × 12 = 84؛ فكل صف يحوي سبع خانات، وعدد الصفوف اثنا عشر.

نستطيع الآن كتابة قاعدة اللوحة: y = 84 / x. ومعناها أن عدد الصفوف يساوي مجموع الخانات مقسومًا على عدد الأعمدة. فإذا اختارت هناء 12 عمودًا، كان عدد الصفوف سبعة. وإذا اختارت 14 عمودًا، كان العدد ستة. في كل مرة نغير شكل الترتيب مع الاحتفاظ بالخانات كلها، ولا نضيف خانات كي يناسبنا المقاس.

انتبه إلى معنى المتغيرين: الأعمدة تعد الخانات أفقيًا، والصفوف تعدها رأسيًا. لذلك يمثل الترتيبان الأول والثاني اختيارين مختلفين في اتجاه اللوحة، رغم تساوي مجموع الخانات. والأعداد هنا أعداد صحيحة موجبة؛ فلا نعطي تصميم اللوحة صفر أعمدة، ولا نتعامل مع جزء من صف بوصفه صفًا كاملًا. هذه شروط المثال، وليست شروطًا لكل استعمال جبري للصيغة.

افحص كل سطر في الجدول

افترض أن هناء سجلت أربعة اقتراحات، وأخطأت في السطر الأخير من الجدول التالي. نضيف عمود حاصل الضرب حتى يظهر الاختبار نفسه، بدل الاكتفاء بملاحظة أن عدد الصفوف ينقص. اقرأ كل زوج معًا؛ فالعدد الموجود في سطر لا يقارن بعدد من سطر آخر عند حساب مجموع خانات ذلك الاقتراح.

الاقتراح الأخير يحوي 70 خانة فقط، فينقص عن المطلوب 14 خانة. لحله مع الإبقاء على الأعمدة الأربعة عشر، نقسم المجموع المطلوب عليها: 84 / 14 = 6. يصبح عدد الصفوف ستة، ويعطي التحقق 14 × 6 = 84. تغيير الخمسة إلى ستة يصلح الاقتراح؛ أما إبقاء العددين فلا يحافظ على مجموع اللوحة.

وتبين المقارنة أن صحة الأسطر الثلاثة الأولى لم تجعل السطر الرابع صحيحًا تلقائيًا. لم يكن الخطأ في قاعدة الضرب، بل في أحد الاقتراحات المسجلة. اكتب في جوابك أي عدد صححته، وما الذي أبقيته ثابتًا؛ فقول «الجدول يتناقص» لا يحدد موضع الخطأ، بينما حاصل الضرب يحدد السطر الذي خالف المجموع المطلوب.

كيف تستخدم معامل التغيير؟

يربط شرح «ماث إز فن» التناسب العكسي بالتناسب مع مقلوب المتغير، أي مع 1 / x. لذلك، في العلاقة الموجبة التي ندرسها، يرافق ضرب أحد المتغيرين في معامل موجب قسمة المتغير الآخر على المعامل نفسه. ليست الفكرة طرح مقدار ثابت من كل قيمة، بل الحفاظ على أثر الضرب متوازنًا داخل حاصل الضرب الثابت. [3]

في لوحة هناء، الانتقال من سبعة أعمدة إلى أربعة عشر يضاعف عدد الأعمدة. لذلك ينتقل عدد الصفوف من اثني عشر إلى ستة، أي إلى النصف. نستطيع التحقق بالطريقتين: العدد الجديد للصفوف هو 12 / 2 = 6، وحاصل الضرب الجديد هو 14 × 6 = 84. الطريقتان تتفقان لأننا لم نغير المجموع.

ولا يلزم أن يكون معامل التغيير عددًا صحيحًا. من 12 عمودًا إلى 14، يكون المعامل 14 / 12 = 7 / 6. نقسم الصفوف السبعة على هذا المعامل، فنحصل على ستة صفوف. لكننا لا نطرح فرق الأعمدة من الصفوف: طرح اثنين من السبعة يعطي خمسة، وقد رأينا أنه ينتج ترتيبًا ناقصًا، لا حلًا يحافظ على الخانات كلها.

اقرأ المنحنى مع مجال المسألة

يوضح درس سيافولا أن رسم التناسب العكسي يكون منحنى، وأن قبول القيم الواقعة بين النقاط يرتبط بطبيعة الكمية الممثلة. في القياسات المستمرة يمكن قبول قيم بينية؛ وفي العلاقة الموجبة لا يلتقي منحنى التناسب العكسي بالمحورين. لذلك يجب قراءة الرسم مع معنى متغيريه، لا اختيار كل نقطة مرسومة بوصفها جوابًا صالحًا لأي مسألة. [2]

في رسمنا الأصلي، يمثل المنحنى الأزرق الامتداد الجبري للعلاقة y = 84 / x. لكن لوحة هناء تحتاج عددًا صحيحًا من الصفوف والأعمدة. مثلًا، عند عشرة أعمدة تعطينا القسمة 8.4 صفوف. هذه قيمة على المنحنى، لكنها ليست ترتيبًا مقبولًا للوحة الكاملة التي اشترطناها. لا يختفي الفرق بين معنى العد ومعنى القياس لمجرد أن الآلة الحاسبة أعطت نتيجة.

ولا يصلح التقريب هنا: ثمانية صفوف من عشرة أعمدة تعطينا 80 خانة، وتسعة صفوف تعطينا 90. الأول ينقص أربع خانات، والثاني يزيد ستًا. لذلك نحتفظ بنتيجة القسمة بوصفها سببًا لرفض هذا الاختيار، ثم نجرب عدد أعمدة مناسبًا، بدل تقريب الصفوف وكتابة أن المجموع ظل 84. يصف المنحنى العلاقة الجبرية، وتحدد شروط اللوحة أي نقاطه نختار.

أضف القيود ثم احصر الحلول

لنكمل المثال بشرطين جديدين تختارهما هناء: تريد من سبعة إلى أربعة عشر عمودًا، ومن ستة إلى اثني عشر صفًا، مع شمول الحدود. لم يتغير المجموع؛ فالخانات ما زالت 84. لكننا لم نعد نقبل كل زوج صحيح يحقق حاصل الضرب. صار علينا فحص عدد الخانات، وصحة عدد الصفوف والأعمدة، وحدود كل منهما في وقت واحد.

نفحص قواسم 84 الواقعة بين سبعة وأربعة عشر؛ فنجد سبعة واثني عشر وأربعة عشر. تعطينا القسمة عليها الصفوف اثني عشر وسبعة وستة على الترتيب. هذه هي الحلول الثلاثة المعروضة في الصورة الرئيسية. أما الاقتراح ذو ستة أعمدة وأربعة عشر صفًا، فحاصل ضربه صحيح، لكنه يخالف حدود الأعمدة والصفوف الجديدة؛ لذلك لا نضعه ضمن الخيارات المقبولة.

للتحقق من اكتمال الحصر، نفحص أعداد الأعمدة الثمانية بين الحدين. نستبعد 8, 9, 10, 11, 13 لأن 84 لا تنقسم عليها دون باقٍ، ونقبل القواسم الثلاثة السابقة ثم نراجع الصفوف الناتجة. هكذا بررنا أن القائمة كاملة؛ فالعثور على ثلاثة أمثلة صحيحة وحده لا يثبت عدم وجود ترتيب رابع يحقق الشروط نفسها.

وفي الرسم، تبين الخلفية الخضراء حدود القيم المطلوبة، لا مجموعة حلول ممتلئة. يجب أن تقع النقطة على المنحنى أيضًا، وأن يكون إحداثياها عددين صحيحين. النقاط الخضراء الثلاث تحقق الشروط كلها؛ أما الرمادية المعروضة فتحقق المجموع، لكنها خارج الحدود الجديدة. ابدأ عند كتابة الجواب بعدد الحلول، ثم اذكر ترتيب الأعمدة والصفوف لكل حل حتى لا يضيع معنى الزوج عند نقله.

ميّز التناقص من ثبات حاصل الضرب

قارن الآن علاقة أخرى من وضعنا: y = 30 − x. عند اختيار قيم x الثلاث، وهي ثلاثة وستة واثنا عشر، نحصل على قيم y، وهي سبعة وعشرون وأربعة وعشرون وثمانية عشر. تتناقص القيم الثانية بينما تزداد الأولى، لكن الاختبار الذي نحتاجه لم يجر بعد. لا نستعمل شكل الاتجاه بدل الحساب المطلوب.

نحسب حواصل الضرب لهذه الأزواج فنجد 81، ثم 144، ثم 216. إنها مختلفة؛ لذا فهذه العلاقة ليست تناسبًا عكسيًا مع x. وبالمقارنة، أعطتنا الأزواج الأولى في جدول اللوحة المجموع نفسه، وهو 84. الفرق ظاهر في النواتج، ولا يحتاج إلى تخمين من أسماء المتغيرات أو وصف أحدهما بأنه يرتفع والآخر ينخفض.

وإذا وجدت قيمًا جديدة تتعارض مع نموذج مفترض، فحدد ما تقوله المسألة قبل إصلاح الجدول. في مثال اللوحة كان المجموع 84 شرطًا صريحًا، ولذلك صححنا الاقتراح المخالف. أما العلاقة الجديدة فقاعدتها مختلفة منذ البداية؛ لا نغير أرقامها حتى تشبه اللوحة. اختيار الاختبار لا يمنحنا حق تبديل المعطيات لإجبارها على العلاقة التي نريدها.

تمرينان لتثبيت الثابت والقيود

التمرين الأول: أبقِ لوحة 84 خانة، وعدد الأعمدة بين سبعة وأربعة عشر، لكن اجعل الحد الأعلى للصفوف ثمانية بدل اثني عشر. قبل حساب أي حاصل ضرب جديد، راجع الحلول الثلاثة السابقة. الترتيب ذو سبعة أعمدة واثني عشر صفًا يخرج بسبب عدد الصفوف، ويبقى ترتيب اثني عشر عمودًا وسبعة صفوف، وترتيب أربعة عشر عمودًا وستة صفوف.

إذن لدينا حلان في التمرين الأول. لم تتغير معادلة الخانات، بل ضاقت مجموعة الخيارات بسبب قيد إضافي. هذا يفسر لماذا لا تكفي كتابة المعادلة وحدها جوابًا عن طلب حصر الترتيبات: قد تحقق أزواج كثيرة حاصل الضرب، بينما لا يحقق شرط المقاس إلا بعضها. اذكر القيد الذي استبعد كل خيار، لا مجرد أن الحل لم يعد مناسبًا.

التمرين الثاني: أضف أربع خانات، ليصبح المجموع 88، وأعد حدود الأعمدة والصفوف الأولى. ما الثابت الجديد، وما الترتيبات المقبولة؟ الثابت الآن 88، لا 84. القاسمان الواقعان بين سبعة وأربعة عشر هما ثمانية وأحد عشر، ويعطيان أحد عشر صفًا وثمانية صفوف. كلاهما يحقق حد الصفوف من ستة إلى اثني عشر، فتنجح اللوحتان.

ولو طبقنا على لوحة 88 خانة الحد الأعلى الجديد، وهو ثمانية صفوف، لبقي ترتيب أحد عشر عمودًا وثمانية صفوف وحده. لا تستعمل منحنى 84 لتمثيل هذه اللوحة؛ فقد تغير المجموع الذي بني عليه الرسم. راجع في النهاية ثلاثة أمور منفصلة: الثابت الصحيح لهذه المسألة، وصحة الضرب أو القسمة، ثم القيود المطلوبة. بهذه المراجعة تعرف هل تغير الحساب أم تغيرت شروط السؤال.