قد تحدد ثلاثة مقادير زاوية بين سهمين دون أن تحدد جهة المحصلة. سنختار متجهين مقدارهما خمسة وثلاثة، ومجموعًا مقداره الدقيق سبعة، ونحسب زاوية الستين. ثم نبني فرعين متناظرين، ونراجع الفرق بين زاوية الذيلين وزاوية المثلث، وما يتغير إذا كان رقم السبعة مقربًا.
الخلاصة السريعة
للمقدارين الدقيقين5 و3 ومقدار المجموع7، يكون cosθ=(49−25−9)/30=1/2، فالزاوية غير الموجهة60°. لكن المقادير وحدها لا تحدد اتجاه المحصلة؛ يمكن أن يتحقق فرعان متناظران ثم يدور التكوين كله.
- يجب أن يقع مقدار المجموع من2 إلى8 شاملًا. المقداران1 و9 غير ممكنين مع5 و3، لأن التعبير المطلوب لجيب التمام يخرج من المجال من−1 إلى1.
- بعد اختيار A=(5,0)، يكون B=(3/2,±3√3/2)، والمحصلة R=(13/2,±3√3/2). مقدارR يساوي7 في الفرعين، واتجاهها نحو±21.787° من الأفقي الموجب.
- زاوية الذيلين60°، أما الزاوية الداخلية عند اتصال الرأس بالذيل120°. علاقة مربع الجمع تستعمل زائدًا معcos60°؛ قانون مثلث الجمع يستعمل ناقصًا معcos120°.
- مقدار الفرق بين المتجهين عند زاوية60° يساوي√19، ولا يساوي مقدار المجموع7. عكس أحد السهمين يغير الزاوية اللازمة لصيغة الجمع.
- منحنى r=√(34+30cosθ) يتناقص من8 إلى2 على مجال صفر إلى180°. كل مقدار دقيق ممكن يحدد زاوية غير موجهة واحدة، لكنه لا يحدد وضع التكوين بالنسبة إلى المحاور.
- إذا عرضr رقم7 بتقريب إلى الأقرب ورفع النصف، فإن6.5≤r<7.5، فتكون الزاوية أكبر من نحو42.126° ولا تزيد على نحو74.038°. طرفا الزاوية معطيان هنا بأرقام تقريبية.
- المتجه الصفري لا يملك زاوية معرفة مع الآخر في هذا المعنى. معرفة جهة الأول واختيار جانب الثاني تزيلان بعض الغموض؛ تمرين5 و12 و13 يعطي زاوية90° مع بقاء فرعين ممكنين.
اقرأ المعطيات بوصفها مقادير
يعرف مرجع ماث وورلد الزاوية بين متجهين حقيقيين غير صفريين باستخدام الضرب القياسي ومقداريهما الإقليديين، ويختار قياسًا من صفر إلى نصف دورة. هذا القياس لا يعطي دورانًا موجهًا مع عقارب الساعة أو عكسها، وتكون الزاوية غير معرفة إذا كان أحد المتجهين صفريًا. سنستعمل هذا المعنى في مثال أصلي ونميز ما يحدده الحساب مما يحتاج إلى معلومة اتجاه إضافية. [1]
المعطيات التي اخترناها ثلاثة مقادير دقيقة: مقدار المتجه الأول خمسة، ومقدار الثاني ثلاثة، ومقدار مجموعهما سبعة. نرمز للأول بالمتجه A، وللثاني بالمتجه B، وللمجموع بالمتجه R=A+B. أما الحروف الصغيرة a وb وr فتسمي المقادير الخمسة والثلاثة والسبعة. الفصل بين المتجه ومقداره مهم؛ الرقم سبعة لا يخبرنا أن المحصلة تتجه إلى اليمين، كما أن مقدار خمسة لا يجعل مركبة المتجه الأول على أي محور تساوي خمسة تلقائيًا.
نختار مستوى إقليديًا بمحورين متعامدين، ونستعمل أعدادًا بلا وحدات في التدريب. لم نصف قوتين تؤثران في جسم أو إزاحتين من رحلة فعلية، فلا نضيف شروط اتزان أو زمن أو احتكاك إلى المسألة. المطلوب أولًا معرفة الزاوية غير الموجهة بين المتجهين عندما نضع ذيليهما عند نقطة مشتركة. بعد ذلك نسأل هل تكفي المقادير الثلاثة لتحديد جهة أي سهم أو جهة المحصلة بالنسبة إلى محور ثابت.
اشتق علاقة مقدار المجموع بالزاوية
اكتب المتجه الأول على الصورة (x1,y1) والثاني على الصورة (x2,y2). مجموعهما له المركبتان (x1+x2,y1+y2)، ولذلك يساوي مربع مقداره مجموع مربعي هاتين المركبتين. عندما نفك المربعات نحصل على x1²+y1²+x2²+y2²+2(x1x2+y1y2). الجزآن الأولان هما مربعا مقداري المتجهين، والجزء داخل القوس الأخير هو ضربهما القياسي. هذا التوسيع يوضح من أين يأتي حد التفاعل بين الاتجاهين، بدل حفظ إشارة في قانون دون معرفة أصلها.
إذا رمزنا للزاوية غير الموجهة بين المتجهين بالرمز θ، أمكن كتابة الضرب القياسي على الصورة abcosθ. تصبح علاقة الجمع r²=a²+b²+2abcosθ. تحت شروطنا يكون r²=34+30cosθ. العدد أربعة وثلاثون جاء من خمسة وعشرين وتسعة، والثلاثون جاء من ضعفي حاصل ضرب خمسة وثلاثة. ليست العلاقة جمعًا مباشرًا للمقادير، ولا يجوز استبدال حد جيب التمام بثلاثين في كل وضع للمتجهين.
لحساب الزاوية نعزل جيب تمامها: cosθ=(r²−a²−b²)/(2ab). القسمة مسموحة هنا لأن المقدارين خمسة وثلاثة غير صفريين. نفحص قيمة الطرف الأيمن قبل استعمال معكوس جيب التمام، ثم نختار الزاوية في المجال من صفر إلى مئة وثمانين درجة. إذا كانت المعلومات مختلفة وكان أحد المقدارين صفرًا، فلا نحاول إصلاح القسمة بتخمين زاوية؛ سنراجع تلك الحالة في قسم مستقل.
افحص إمكان المحصلة قبل استرجاع الزاوية
جيب تمام الزاوية في المجال المختار يقع من سالب واحد إلى واحد. لذلك يقع مربع مقدار المجموع بين 34−30 و34+30، أي بين أربعة وأربعة وستين. وبما أن المقدار غير سالب، يقع r من اثنين إلى ثمانية شاملًا. هذه حدود إمكان في النموذج: عندما يتجه السهمان في اتجاه واحد يبلغ المجموع ثمانية، وعندما يتعاكسان يبلغ المقدار اثنين لأن المقدارين الأصليين مختلفان.
اختبر اقتراح محصلة مقدارها تسعة مع بقاء المقدارين خمسة وثلاثة. يعطي التعويض cosθ=(81−34)/30=47/30، وهي قيمة أكبر من واحد، فلا توجد زاوية حقيقية تحقق المعطيات. وبالمثل يعطي مقدار واحد القيمة (1−34)/30=−33/30، وهي أصغر من سالب واحد. عدم ظهور جواب حقيقي هنا دليل على تناقض المقادير مع النموذج، وليس دعوة لاختيار زاوية سالبة أو حذف أحد المتجهين من الحساب.
كل مقدار في المجال من اثنين إلى ثمانية ممكن؛ إذ إن التعبير (r²−34)/30 يقع عندئذ ضمن المجال المسموح لجيب التمام. يمكننا اختيار زاوية تحقق هذا التعبير ثم إنشاء المتجهين في المستوى. الاختبار لا يقول إن المحصلة المرجحة في تجربة ستقع وسط المجال، ولا يعطي احتمالًا لأي مقدار. نحن نثبت إمكان إنشاء متجهات توافق الشروط، ولا نستخدم توزيعًا احتماليًا أو بيانات قياس.
احسب زاوية الستين من المقادير الدقيقة
الآن نعوض بمقدار المجموع الدقيق سبعة. نجد cosθ=(49−25−9)/30=15/30=1/2، ولذلك θ=60° في المجال من صفر إلى مئة وثمانين درجة. هذه الزاوية غير الموجهة محددة وحيدة تحت المقادير الثلاثة الدقيقة. لا نستعمل الرقم ستين بوصفه زاوية المتجه الأول من محور أفقي؛ هو زاوية بين السهمين عندما يشتركان في الذيل، ويمكن أن يتحقق في أوضاع كثيرة بالنسبة إلى المحاور.
يمكن فحص النتيجة إلى الأمام: 25+9+30cos60°=25+9+15=49، والجذر غير السالب يعطي سبعة. هذا الفحص يحافظ على تعريف مقدار المجموع ويختبر الإشارة والمعطيات. إذا ظهرت لك ثلاثة وستون أو نتيجة أخرى، فراجع إدخال الأعداد ووضع الدرجة أو الراديان قبل بناء تفسير هندسي. لا نحتاج إلى تقريب الزاوية في هذه الحالة لأن جيب تمام ستين معروف على الصورة الدقيقة التي استعملناها.
لا يعطي عزل جيب التمام جهة دوران واحدة في المستوى. يمكن أن يكون المتجه الثاني أعلى الأول بستين درجة، ويمكن أن يكون أسفله بستين درجة. الزاوية غير الموجهة في الحالين ستين، لكن زاوية الاتجاه الموجهة من الأول إلى الثاني قد توصف بستين أو بسالب ستين وفق اتفاقنا. وإذا استخدمنا المجال الكامل من صفر إلى ثلاثمئة وستين، يصبح الوصف الثاني ثلاثمئة درجة. اختلاف الوصف لا يغير الزاوية غير الموجهة.
أنشئ حلين متناظرين واحسب المحصلة
لرؤية الفرق نختار محورًا يجعل المتجه الأول A=(5,0). هذا اختيار توضيحي نصرح به، وليس معلومة وصلتنا من المقادير. في الفرع العلوي نضع B=(3/2,3√3/2)، وفي الفرع السفلي نضع B=(3/2,−3√3/2). مربع مقدار كل متجه ثان يساوي 9/4+27/4=9، لذلك مقداره ثلاثة. والضرب القياسي مع المتجه الأول يساوي خمسة مضروبة في ثلاثة أنصاف، فيوافق جيب تمام الزاوية الذي حسبناه.
تكون المحصلة في الفرع العلوي R=(13/2,3√3/2)، وفي السفلي R=(13/2,−3√3/2). مربع مقدارها في الحالين 169/4+27/4=196/4=49. إذن المحصلتان لهما المقدار نفسه سبعة، لكن مركبتيهما الرأسيتين مختلفتا الإشارة. تكفي هذه المقارنة لإثبات أن المقادير الثلاثة لا تعين محصلة متجهة واحدة حتى بعد تثبيت الأول على المحور الأفقي الموجب. اللون أو ترتيب الفرعين في الرسم لا يضيف معلومة تختار أحدهما.
في هذا الاختيار المحدد للمحاور تكون زاوية المحصلة من المحور الأفقي الموجب نحو21.787° في الفرع العلوي ونحو−21.787° في السفلي. حسبناها من نسبة المركبة الرأسية إلى الأفقية، مع معرفة أن الأفقية موجبة في الفرعين. هذه الزاوية تخص المحصلة، وتختلف عن زاوية الستين بين المتجهين الأصليين. لا تكتب ستين بجوار سهم المحصلة لمجرد أنها النتيجة التي ظهرت أولًا؛ لكل زاوية شعاعان مرجعيان يجب تسميتهما.
| الفرع بعد اختيارA=(5,0) | المتجهB | المحصلةR | مقدارR |
|---|---|---|---|
| علوي | (3/2,3√3/2) | (13/2,3√3/2) | 7 |
| سفلي | (3/2,−3√3/2) | (13/2,−3√3/2) | 7 |
اقرأ الرسم دون تحويله إلى معطى
يعرض الرسم الأول الفرعين في لوحتين بالمقياس نفسه. السهم الأول أفقي بطول خمسة، والسهم الثاني يبدأ من الذيل المشترك، والسهم الناتج يصل إلى مجموع المركبتين. توجد نسخة من السهم الثاني تبدأ عند رأس الأول لإظهار طريقة الرأس إلى الذيل. هذه النسخة تمثل المتجه نفسه منقولًا دون تدوير، فلا نجمعها مرة ثانية مع المتجه الثاني أو نعاملها قوة ثالثة أضافها الرسم إلى النموذج.
التناظر حول المحور الأفقي يقلب الإشارة الرأسية ويحافظ على الأطوال. لهذا يبقى مقدار المحصلة سبعة، بينما تتغير جهتها من أعلى المحور إلى أسفله. ويمكن تدوير التكوين كله حول الذيل المشترك أيضًا، فتتغير الاتجاهات بالنسبة إلى المحور الثابت مع بقاء المقادير والزاوية بين المتجهين. عندما نختار الأول أفقيًا نزيل حرية التدوير لأغراض العرض، لكن المقادير المعطاة لم تكن قد أزالتها بنفسها.
إذا كانت ورقة السؤال تعرض سهمًا مرسومًا أعلى الآخر وتصرح بأن الرسم يحدد جهة الثاني، فقد تصل معلومة إضافية تختار الفرع. أما الرسم التخطيطي الذي لا يحدد الاتجاه أو لا يرسم بمقياس فلا تستخرج منه قياسًا دقيقًا تلقائيًا. في مقالنا صرحنا باتجاهات الرسوم لتوضيح حلين، ولا ندعي أنهما مشهد قياس أو الوضع الوحيد. افصل بين المعلومات المكتوبة في السؤال والاختيارات التي تجريها لتوضيح برهانك.
ميّز زاوية الذيلين من زاوية مثلث الجمع
عندما تضع ذيلي السهمين عند نقطة واحدة، تكون الزاوية بين اتجاهيهما ستين درجة في مثالنا. لكن في مثلث الرأس إلى الذيل تقع الزاوية الداخلية عند نقطة اتصال رأس الأول بذيل الثاني. أحد ضلعي هذه الزاوية يتجه عائدًا نحو ذيل الأول، أي في اتجاه −A، والآخر في اتجاه B. لذلك تكون الزاوية الداخلية هنا مئة وعشرين درجة، وهي مكملة لزاوية الستين إلى نصف دورة.
يمكن استعمال قانون جيب التمام للمثلث بالزاوية الداخلية المعلومة: r²=25+9−30cos120°. بما أن cos120°=−1/2، نحصل على تسعة وأربعين كما حصلنا بعلاقة الجمع التي تستخدم cos60° مع علامة زائد. اختلاف الإشارة ليس تناقضًا بين قانونين؛ الزاوية التي أدخلناها مختلفة. لا تأخذ مئة وعشرين من رأس المثلث ثم تضعها في صيغة الجمع الخاصة بزاوية الذيلين دون تحويل معناها.
يظهر الخطأ إذا كتبت 25+9+30cos120°، إذ يعطي ذلك تسعة عشر بدل تسعة وأربعين. التسعة عشر ليست تقريبًا آخر للسبعة تربيعًا؛ إنها نتيجة استعمال زاوية غير مناسبة للصيغة. سم الشعاعين اللذين يقيسان الزاوية قبل التعويض، وضع علامة عند الذيل المشترك أو عند رأس الاتصال بحسب الرسم. هذه خطوة قصيرة تكشف الخلط قبل أن يختبئ داخل الحاسبة أو نتيجة الجذر.
لا تستبدل المجموع بالفرق
فرق المتجهين A−B له مركبتان (x1−x2,y1−y2). بفك المربعات نحصل على مقدار مربع يساوي a²+b²−2abcosθ، حيث θ ما زالت زاوية المتجهين الأصليين عند ذيل مشترك. في مثال الستين يكون مقدار الفرق مربعًا 25+9−15=19، ومقداره √19. هذا عدد مختلف عن سبعة الذي يخص المجموع، رغم أن المتجهين الأصليين والزاوية لم يتغيرا.
يمكن أيضًا أن تنظر إلى الفرق بوصفه مجموع A و−B. عكس اتجاه الثاني يحافظ على مقداره، لكنه يغير الزاوية غير الموجهة مع الأول من ستين إلى مئة وعشرين. حينئذ تعطي صيغة الجمع بالزاوية الجديدة التسعة عشر نفسها. اختر طريقًا واحدًا واضحًا: إما صيغة الفرق بزاوية الأصليين، وإما صيغة الجمع بعد عكس أحدهما وتغيير الزاوية. خلط إشارة الفرق وزاوية السهم المعكوس قد يعيدك خطأ إلى مقدار المجموع.
المقال القائم عن مقداري المجموع والفرق يسأل هل يكفي هذان المقداران لاسترجاع المقدارين الأصليين، بينما سؤالنا يعطي المقدارين الأصليين ومقدار المجموع ويسترجع الزاوية بينهما. لا نستعمل هذا المقال هنا لتكرار سؤال استرجاع المقدارين أو أمثلته. تشترك المسألتان في توسيع مربع الطول، لكن المجهول والمعلومات المعطاة مختلفان. في المراجعة، اكتب ما تريد استرجاعه بجوار قائمة المعطيات حتى لا تحل سؤالًا آخر تشبه رموزه السؤال الحالي.
اتبع منحنى المقدار مع تغير الزاوية
في الرسم الثاني نثبت المقدارين خمسة وثلاثة، ونغير الزاوية غير الموجهة من صفر إلى مئة وثمانين درجة. يعرض المنحنى r=√(34+30cosθ)، ويبدأ بثمانية ثم ينتهي باثنين. عند الستين يمر بالنقطة التي مقدارها سبعة، وعند التسعين يساوي √34. هذه الأسرة تبين كيف يرتبط مقدار المجموع بالزاوية تحت ثبات المقدارين؛ لا تمثل الزمن أو قياسات متتابعة لجسم يغير اتجاهه.
جيب التمام يتناقص على مجال الزوايا الذي اخترناه، وكذلك مقدار المجموع في هذه الأسرة. لذلك تعطي كل قيمة دقيقة ممكنة للمقدار زاوية غير موجهة واحدة ضمن هذا المجال، مع أن جهة التكوين في المستوى تبقى غير محددة. هذه الوحدة تخص القياس غير الموجه فقط. لا تتوسع منها إلى القول إن موضع السهمين أو اتجاه المحصلة محسوم؛ الفرعان المتناظران اللذان رسمناهما ما زالا يوافقان النقطة نفسها على المنحنى.
إذا قرأت مقدارًا من الرسم على نحو تقريبي، فلا تعامله كقياس دقيق يفرض زاوية ستين تمامًا. الصورة توضح الصيغة والقيم التي صرحنا بها، لكن عدد البكسلات وسمك الخط لا يقدمان دقة إضافية للمعطيات. استعمل الصيغة في الفحص الحسابي، واحتفظ بالتعبير الدقيق حتى نهاية الحساب عندما يكون متاحًا. في المثال الحالي توجد قيمة دقيقة للزاوية، ولذلك لا نحتاج إلى استخراجها من ميل المنحنى أو موقع علامة بصرية.
إذا كان مقدار السبعة مقربًا
غيّر دقة أحد المعطيات فقط: يبقى المقداران خمسة وثلاثة دقيقين، لكن مقدار المحصلة يعرض سبعة بعد التقريب إلى أقرب عدد صحيح مع رفع النصف إلى الأعلى. هذه قاعدة اخترناها للتدريب وصرحنا بها، وليست وصفًا لطريقة عرض كل جهاز أو جهة نشر. عندئذ يمكن أن يقع المقدار الحقيقي من 6.5 شاملًا إلى 7.5 دون بلوغها، ولا يلزم أن يساوي سبعة بالضبط.
نعوض بطرفي مجال المقدار في التعبير (r²−34)/30. عند6.5 يكون جيب التمام0.275، وعند7.5 يكون نحو0.741667. وبما أن الزاوية تنخفض عندما يرتفع جيب تمامها في المجال المختار، تقع الزاوية أكبر من نحو42.126° ولا تزيد على نحو74.038°. الصيغ الدقيقة للطرفين تأتي من معكوس جيب التمام، أما الأرقام العشرية هنا فتقريب توضيحي. الطرف الأدنى غير مشمول لأن مقدار7.5 نفسه لا يعرض سبعة تحت القاعدة المعلنة.
لا تختصر هذا المجال بزاوية ستين مع هامش عشوائي تختاره من حجم الرسم. العلاقة بين مقدار المجموع والزاوية ليست مجرد طرح مقدار ثابت من كل زاوية، ولذلك نحول مجال المقدار عبر الصيغة نفسها. إذا تغيرت قاعدة التعادل في التقريب فقد تتغير شمولية الحدود، وإذا كانت المقادير الخمسة والثلاثة مقربة أيضًا احتجت إلى تحليل معطيات إضافية. مجالنا هنا يتبع تغييرًا واحدًا محددًا، ولا يدعي تغطية جميع أشكال عدم الدقة.
راجع المتجه الصفري والمعلومة التي تختار الجهة
إذا كان المتجه الأول صفريًا والثاني مقداره ثلاثة، فإن مجموعهما يساوي الثاني ومقداره ثلاثة. لكن الزاوية بينهما غير معرفة وفق المعنى الذي اخترناه، لأن السهم الصفري لا يحدد اتجاهًا والقسمة على حاصل ضرب المقدارين تصبح غير مسموحة. لا تكتب أن الزاوية تسعون لأن الضرب القياسي صفر؛ شرط عدم الصفر يسبق هذا الاستنتاج. يمكن أن يكون الضرب القياسي صفريًا دون أن تسمح المعطيات بتعيين زاوية بين سهمين غير صفريين.
في مثالنا الأصلي، معرفة اتجاه الأول بالنسبة إلى محور ثابت تزيل حرية تدوير التكوين كله، لكنها لا تختار بالضرورة أي جانبيه يوجد عليه الثاني. إذا عرفت كذلك أن الثاني يقع أعلى الأول بالاتفاق الذي رسمناه، اختير الفرع العلوي. وإذا أعطيت المركبتين الكاملتين لكل متجه، أمكن جمعهما مباشرة لتحديد المحصلة. كل معلومة إضافية تعمل على مجهول معين، فلا تجعل معلومة المقدار تقوم مقام معلومة الجهة أو موضع السهم.
جرب تمرينًا بمقدارين دقيقين خمسة واثني عشر ومحصلة مقدارها ثلاثة عشر. يعطي مربع المجموع169 ومجموع مربعي المقدارين169، فيكون الضرب القياسي صفرًا وجيب تمام الزاوية صفرًا، فتكون الزاوية غير الموجهة تسعين درجة لأن المقدارين غير صفريين. ومع اختيار الأول أفقيًا، يمكن رسم الثاني إلى أعلى أو إلى أسفل. بقيت جهة المحصلة مختلفة بين الفرعين رغم أن الزاوية غير الموجهة صارت قائمة. الأرقام والرسوم المقترحة في التمرين مؤلفة أيضًا.
احتفظ بالنتيجة دون إضافة اتجاه مفقود
ابدأ بتحديد هل معطى المحصلة هو المتجه كاملًا أم مقداره فقط، ثم افحص أن المقادير غير سالبة وأن المتجهين المطلوب زاويتهما غير صفريين. اشتق أو اكتب علاقة مربع مقدار الجمع مع زاوية الذيلين، واختبر أن جيب التمام الناتج يقع في مجاله. بعد استرجاع الزاوية، تحقق بالتعويض إلى الأمام. إذا كانت المقادير تقريبية فصرح بمجالها وقاعدة عرضها، ولا تقدم زاوية دقيقة لا تثبتها تلك المعلومات.
بعد الحساب، اسأل ما الذي ما زال مجهولًا. في مثال خمسة وثلاثة وسبعة عرفنا الزاوية غير الموجهة ستين، لكن اتجاه الأول، والجهة التي يقع فيها الثاني بالنسبة إليه، واتجاه المحصلة بالنسبة إلى محور ثابت لم تصلنا كلها من المقادير. اختيار المحاور في المثال وتسمية فرعين يساعدان على بيان هذا النقص. نتيجة صحيحة عن زاوية محددة لا تتحول إلى معرفة جميع المركبات أو إلى تحديد مسار حقيقي لم نصف بياناته.
المرجع يدعم معنى الزاوية غير الموجهة بين المتجهين غير الصفريين، أما المقادير الخمسة والثلاثة والسبعة والتوسيع الحسابي والفرعان ومنحنى المحصلة وتحليل التقريب فعمل أصلي لهذه المقالة. لم ننقل مثال المرجع أو صوره أو تعليماته البرمجية، ولم نجمع قياسات فعلية. ما نحتفظ به هو جواب مشروط واضح: هذه المقادير الدقيقة تعطي زاوية ستين، ومع ذلك يحتاج تحديد جهة المحصلة إلى معلومات اتجاه تتجاوز أطوال الأسهم.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: الزاوية بين متجهين حقيقيين غير صفريين (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.