ندفة كوخ: احسب المحيط والمساحة عبر خطوات البناء

تُبنى ندفة كوخ بتكرار استبدال كل ضلع بأربع قطع، بعد إنشاء مثلث متساوي الأضلاع على ثلثه الأوسط. يعرض نشاط NRICH هذا البناء وأسئلة أطواله ومساحاته. [1]

سنبدأ بمثلث طول ضلعه تسعة سنتيمترات. سنحسب ما يحدث بعد كل خطوة، ثم نقارن المعادلات بمضلعات أنشأناها فعليًا في برنامج. اختيار هذا الطول يجعل أول ثلاث مراحل سهلة القراءة: طول القطعة تسعة، ثم ثلاثة، ثم سنتيمتر واحد. لا تحتاج إلى معرفة مسبقة بالهندسة الكسيرية كي تراجع هذه الأعداد.

الخلاصة السريعة

• المرحلة n = 0 هي المثلث الأول؛ تثبيت نقطة البداية يمنع خطأ الإزاحة في الأسس.
• من قاعدة الاستبدال نحصل على Nₙ = 3 × 4ⁿ قطعة، طول كل منها L/3ⁿ.
• محيط مثالنا يبدأ 27، 36، 48، 64 cm، وتزداد قيمته بعامل 4/3 كل مرة.
• مساحات المراحل المحسوبة تقترب من 56.118 cm²؛ قيمة المرحلة الخامسة نحو 55.754 cm².
• أنشأنا 21 مضلعًا عند ثلاثة مقاييس، واجتازت المقارنة الهندسية 102 تحقق. كل مضلع اختُبر هنا منتهٍ.

نفّذ الاستبدال في الاتجاه الصحيح

قسّم القطعة إلى ثلاثة أجزاء متساوية. أزل الجزء الأوسط من الحد، وضع مكانه ضلعي مثلث متساوي الأضلاع بارز إلى الخارج. كرر العملية على كل قطعة جديدة. [1]

القاعدة تحول قطعة طولها تسعة إلى أربع قطع طول كل منها ثلاثة؛ فيصبح مسارها اثني عشر. لا تبقِ قاعدة المثلث الجديد ضمن المحيط: القاعدة صارت داخل المساحة المملوءة. وعدّها مرة إضافية سيعطي خمس قطع بدل أربع، وهو شكل مختلف عن الذي ندرسه.

في الرسم البرمجي نحتاج أيضًا إلى تثبيت اتجاه المرور حول المضلع. اخترنا الدوران مع عقارب الساعة، ثم أدرنا متجه الثلث بزاوية ستين درجة نحو الجهة الخارجية لكل قطعة. إذا غيرت ترتيب رؤوس المثلث وأبقيت اتجاه الدوران نفسه، فقد تنشئ نتوءات إلى الداخل. لذلك راجع أول انتقال بصريًا قبل توليد آلاف القطع.

احسب العدد والطول قبل ضربهما

لنرمز إلى ضلع المثلث الأول بالرمز L. بعد خطوة واحدة يصير عدد القطع اثني عشر، وبعد خطوتين ثمانيًا وأربعين. تكرار الضرب في أربعة يعطي Nₙ = 3 × 4ⁿ. وفي الوقت نفسه تُقسم أطوال القطع على ثلاثة في كل خطوة، فيكون طول الواحدة ℓₙ = L/3ⁿ. ضرب هاتين الكميتين يعطي Pₙ = 3L(4/3)ⁿ.

صغر القطعة الواحدة لا يكفي إذن للحكم على المحيط. في الانتقال الأول من مثالنا قَصُرت كل قطعة إلى الثلث، لكن عدد القطع صار أربعة أضعاف. حاصل العاملين أكبر من واحد. تستطيع اختبار الفكرة دون صيغة عامة: اجمع أطوال القطع الاثنتي عشرة الجديدة، فتحصل على ستة وثلاثين سنتيمترًا بدل سبعة وعشرين.

افصل عدد المثلثات الجديدة عن مساحة الواحد

مساحة البداية A₀ = √3 L²/4، أي نحو 35.074 سنتيمترًا مربعًا في مثالنا. في الخطوة الأولى نضيف ثلاثة مثلثات طول ضلع كل منها ثلث الضلع الأصلي. مساحة الواحد تساوي تُسع مساحة البداية، لأن عامل تصغير الطول يُربّع عند حساب المساحة. إذن الزيادة الأولى A₀/3، والمساحة الكلية 4A₀/3.

في الخطوة رقم k، نضيف مثلثًا عند كل قطعة من المرحلة السابقة: العدد 3 × 4ᵏ⁻¹. ضلع المثلث الجديد L/3ᵏ، ومساحته A₀/9ᵏ. حاصل الضرب هو الزيادة ΔAₖ = (A₀/3)(4/9)ᵏ⁻¹. انتبه إلى أن هذه زيادة مرحلة واحدة؛ ليست المساحة الكلية.

نجمع الزيادات من الخطوة الأولى إلى n. مجموع المتتابعة الهندسية يعطينا Aₙ = A₀ + (A₀/3)[1 − (4/9)ⁿ]/(1 − 4/9). وبعد التبسيط يصبح Aₙ/A₀ = 8/5 − (3/5)(4/9)ⁿ. هذه صيغة قابلة للاختبار عند الصفر: تعطي واحدًا، وهو ما يجب أن يكون عليه المثلث قبل أي إضافة.

تعرض دراسة تاي تشو لاي المستضافة لدى NRICH نتيجة المساحة الحدية 8A₀/5 والمحيط غير المحدود مع استمرار البناء. استخدمناها مرجعًا لمقارنة النتيجة العامة. [2]

ما معنى الاقتراب من الحد في مثال عددي؟

لدينا A∞ = 8A₀/5 ≈ 56.118 cm². عند المرحلة الخامسة يبلغ الفرق نحو 0.365 cm². ليس معنى ذلك أن المساحة تتوقف عن الزيادة بعدها؛ بل إن مقدار الزيادة اللاحقة يصغر. أما المحيط في المرحلة الخامسة فنحو 113.778 cm، والمرحلة التالية ترفعه إلى نحو 151.704 cm.

لنفترض أنك تريد أن يكون ما بقي من المساحة أقل من واحد بالمئة من مساحة المثلث الأول. الشرط هو (3/5)(4/9)ⁿ < 0.01. في المرحلة الخامسة القيمة نحو 0.010405، فتفشل قليلًا؛ في السادسة نحو 0.004624، فتنجح. لو جعلت المقام مساحة الحد بدل مساحة البداية لتغير معيار النسبة؛ اذكر المقام دائمًا عند استعمال عبارة «نسبة الخطأ».

لكل مرحلة محددة عدد محدود من القطع ومحيط محدود. الحديث عن محيط غير محدود يتعلق بمتتابعة لا تتوقف، لا بخط رسمناه على شاشة. لا يوجد صف أخير في الجدول اسمه «المرحلة اللانهائية» يمكن توليده بإضافة خطوة واحدة. والتقارب في المساحة لا يفرض تقاربًا في طول الحدود؛ نحن نقيس كميتين مختلفتين.

راجع الإحداثيات بطريقة ثانية

برنامجنا ولّد الرؤوس أولًا، ثم جمع المسافات بين كل رأس والذي يليه لقياس المحيط. ولقياس المساحة استخدم صيغة المضلع الإحداثية التي تجمع xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ وتؤخذ القيمة المطلقة لنصف مجموعها. قورنت النتائج بعد ذلك بصيغ العدد والطول ونسبة المساحة، بدل ملء الجدول من الصيغ وحدها.

اختبرنا المراحل من صفر إلى ستة عند أطوال بداية 1، 9، 27. شملت الفحوص عدد الرؤوس، تساوي أطوال القطع، المحيط، المساحة، وزيادة المساحة بعد كل انتقال. بلغ المجموع 21 مضلعًا و102 تحقق ناجح. تبقى هذه مراجعة عددية لمراحل منتهية؛ الحجة المتعلقة بالحد تعتمد على الصيغ العامة ونسبة المتتابعة.

from fractions import Fraction

for n in range(7):
    count = 3 * 4 ** n
    perimeter = 27 * Fraction(4, 3) ** n
    area_ratio = Fraction(8, 5) - Fraction(3, 5) * Fraction(4, 9) ** n
    print(n, count, perimeter, area_ratio)

استعمال الكسور هنا يحفظ نسب المساحة والأطوال كقيم دقيقة قبل تحويلها إلى أعداد عشرية. أما الرسم الإحداثي فيستخدم تقريب الجذر التربيعي لثلاثة، ولذلك قارنّا نتائجه بسماحية عددية صغيرة. ظهور قيمة مثل 47.99999999999999 في جمع الأطوال لا يعني أن القاعدة أعطت محيطًا جديدًا مختلفًا عن 48.

اختبار فهم قبل إضافة مرحلة أخرى

إذا ضاعفت طول البداية، فالمحيط يتضاعف والمساحة تصير أربعة أضعاف، بينما يبقى عدد القطع ثابتًا عند المرحلة نفسها. وإذا أبقيت الطول وانتقلت مرحلة واحدة، فالعدد يصير أربعة أضعاف ويقصر طول الواحدة إلى الثلث. هذان تغييران مختلفان؛ جرّب كتابتهما في عمودين كي لا تخلط التكبير المكاني بزيادة عدد مراحل البناء.

ابدأ يدويًا بقطعة واحدة وتأكد من الأربع قطع الجديدة، ثم راجع أول صفين من جدول المثلث. إن ظهر عدد 15 بدل 12 فقد احتسبت قواعد المثلثات المضافة. وإن نقصت المساحة بعد المرحلة الأولى فراجع جهة النتوءات. وللمقارنة بسؤال عن مجسم ثلاثي الأبعاد اقرأ حجم منتهٍ وسطح لا نهائي؛ هناك تختلف الكميات وطريقة الحساب عن مضلعاتنا المستوية.

المصادر

1. NRICH — The Koch Snowflake
2. Tai Cho Lai — Investigation of the Koch Snowflake

الرسوم والجدول واختبارات الإحداثيات أُعدت لهذا المقال. أُعد النص بمساعدة الذكاء الاصطناعي، ولا يُنسب إلى خبير بشري مستقل.