استيفاء معامل الخصم: لماذا تختلف قيمة المنتصف؟

ما القيمة التي نصل بين نقطتيها؟

تصف وثائق Strata معامل الخصم بمقارنة القيمة الزمنية للنقود بين تاريخ التقييم والتاريخ المحدد، لعملة معينة. [2]

في بطاقتنا سنعطي المعامل نفسه على المحور الرأسي، والزمن بالسنوات على المحور الأفقي. لا نضع معدل فائدة على محور ثم نسمي النتيجة معاملًا دون تحويل معلن. كذلك لا نختار تقويمًا أو قاعدة لعد الأيام؛ الأوقات واحد واثنان وثلاثة أعداد معطاة في المسألة، وليست نتائج حساب بين تواريخ فعلية. ثبتنا العملة وتاريخ التقييم المفترضين للقراءتين حتى لا يتغير تفسير القيمة بين فرع وآخر.

نؤلف نقطتين: عند سنة واحدة المعامل ثمانية وتسعون من مئة، وعند ثلاث سنوات ستة وثمانون من مئة. نطلب قيمة عند سنتين، ولم نعطها بوصفها معلومة مرصودة. هذه ثلاثة أدوار مختلفة: قيمتان ندخلهما، وموضع نسأل عنه، وطريقة نختارها لإعطاء جواب بينهما. لا نستنتج أن البيانات قالت إن الوصلة مستقيمة لمجرد أننا لم نملك نقاطًا أخرى في المثال.

وللمقارنة سنثبت الطرفين ونغير طريقة الوصل فقط. لا نضيف سعرًا من سوق ولا نحذف رسمًا من عقد. لذلك إذا اختلف الناتجان، فلدينا سبب حسابي معروف نراجعه أولًا قبل الحديث عن أخطاء نقل أو جودة تسعير. الفكرة التي نريد اختبارها هي أن معرفة نقطتين لا تحدد كل قيمة بينهما ما لم نذكر القاعدة التي ستملأ المسافة الخالية من البيانات.

احسبي المنتصف على القيم مباشرة

يميز مرجع Strata الاستيفاء الخطي على القيم من الخطي على لوغاريتماتها في طريقة LOG_LINEAR. [1]

في الفرع الأول تقع السنتان على بعد سنة من كل طرف، لأن المجال يبدأ عند سنة وينتهي عند ثلاث. وزن الطرف الثاني إذن نصف، ووزن الأول نصف. نأخذ نصف ثمانية وتسعين من مئة ونضيف نصف ستة وثمانين من مئة. الناتج اثنان وتسعون من مئة، أي أن قيمة المنتصف الخطي في مدخلاتنا تساوي 0.92.

ويمكن مراجعة النتيجة بطريقة أخرى من الأرقام نفسها: فرق القيمتين اثنا عشر جزءًا من مئة موزع على سنتين، فنأخذ نصف الانخفاض عند منتصف المجال. نطرح ستة أجزاء من مئة من المعامل الأول فنستعيد اثنين وتسعين من مئة. هذه مراجعة حسابية للفرع الخطي، لا معلومة مستقلة من مصدر سوقي تؤكد أن هذه هي القيمة التي كانت ستعرضها معاملة فعلية.

لاحظي أن كون العدد المطلوب اثنين لا يجعله معامل ضرب للقيمة أو قاسمًا لها. دوره تحديد الموضع داخل المجال، ومنه حسبنا الوزن. ولو غيرنا وحدة الزمن إلى أشهر مع تحويل المواضع كلها على نحو متسق، يصبح الطرفان اثني عشر وستة وثلاثين والطلب أربعة وعشرين، ويبقى وزن المنتصف نفسه. أما تحويل رقم الطلب وحده وترك الطرفين بالسنوات فسيخلط الوحدات بدل إنشاء مقارنة جديدة.

لا نحتاج تقريبًا للوصول إلى 0.92 في هذا الفرع، لأن المتوسط الحسابي للعددين المعطيين ينتهي عند منزلتين عشريتين. لذلك لا نفسر اختلافه عن الناتج التالي بأنه ناتج حتمًا عن اختيار عرض ست منازل بدل منزلتين. سنحسب الفرع الآخر بدقة داخلية أعلى، ثم نقرب عند عرض النتيجة فقط، كي يبقى اختلاف الطريقة منفصلًا عن شكل كتابة الرقم.

انقلي الوصل إلى لوغاريتم القيم

في الفرع الثاني نحتفظ بالزمن نفسه ووزن المنتصف نفسه، لكننا نصل بين لوغاريتمي المعاملين. وبعد إيجاد المنتصف في ذلك الحيز نعود إلى المعامل. نطبق هذا الفرع على القيم الموجبة التي أعطيناها، ولا نستعمله هنا لتعريف لوغاريتم عدد صفري أو سالب. لم يتغير المحور الزمني إلى لوغاريتم السنوات؛ الذي تغير هو الكمية التي وصلنا بينها على المحور الآخر.

لأن الوزن نصف في مثالنا، تكون النتيجة الجذر التربيعي لحاصل ضرب ثمانية وتسعين من مئة في ستة وثمانين من مئة. حاصل الضرب هو 0.8428، وجذره يقارب 0.9180413934. نعرض معامل هذا الفرع إلى ست منازل على أنه 0.918041، ونحتفظ بالقيمة الأدق عند متابعة حساب ورقة الدفعة بدل إعادة استعمال الرقم المعروض المقرب.

إذن حصلنا على متوسط هندسي في هذا الموضع، بينما أعطى الفرع الأول متوسطًا حسابيًا. لا نغير أسماء العمودين ثم نقول إنهما العملية نفسها. كلاهما استعمل القيمتين الموجبتين والموضع الزمني المعطى، لكن ترتيب العمليات مختلف: وصل القيم مباشرة في الأول، أو وصل لوغاريتماتها ثم العودة في الثاني. ليس في هذين الوصفين وحدهما حكم بأن أحد الخيارين يجب أن يستعمل في كل منحنى مالي.

ونراجع الوحدات أيضًا: القيم هنا معاملات بلا وحدة نقدية، وليست مبالغ دفع ولا نسب فائدة سنوية نركبها. لا نأخذ لوغاريتم مجموع قيمة اسمية وتكلفة ثم نسميه النتيجة نفسها. السؤال عن نوع البيانات يسبق اسم الطريقة. إذا بدل فريق العمل المحور إلى معدلات صفرية، فقد بدأ فرعًا بمدخلات ذات معنى آخر، لا مجرد تغيير تسمية للعمود الذي حسبناه.

أظهري أثر الاختلاف في ورقة دفعة مؤلفة

ننشئ ورقة حساب تعرف قيمة دفعة افتراضية واحدة مقدارها مئة عند سنتين بأنها مئة مضروبة في المعامل الناتج عند ذلك الموضع. هذا تعريف حساب الورقة الذي سنقارنه، وليس سعر سند قائم أو قيمة عقد راجعناه. لا كوبونات أخرى ولا رسوم أو فروق ائتمان أو تدفقات بعملة ثانية في المدخلات. ما نغيره بين النسختين هو المعامل المستعمل فقط.

في نسخة الخطي تصبح القيمة اثنتين وتسعين، لأن مئة مضروبة في 0.92 تعطي ذلك. وفي نسخة اللوغاريتمي الخطي نضرب مئة في القيمة غير المقربة للجذر السابق، فنحصل على نحو 91.804139. الفرق يقارب 0.195861 من وحدة الدفع المفترضة. نحفظ هذا بوصفه فرقًا بين ناتجي الورقة، ولا نحوله إلى ربح تداول متاح أو مبلغ يمكن الحصول عليه من سوق.

ولو خفضنا الدفعة المفترضة إلى خمسين، لانخفض الناتجان والفرق إلى النصف في تعريف الورقة نفسه. لم يتغير أي معامل بسبب تغيير حجم الدفعة، بل تغير المقدار الذي نضربه فيه. هذه مراجعة أخرى للتمييز بين مدخلات منحنى الخصم ومدخلات التدفق. لا ينبغي نقل قيمة اثنتين وتسعين إلى خانة المعامل، لأن ذلك يخلط ناتج دفع نقدي بعدد كان بلا وحدة نقدية.

وقد يخفي التقريب الشديد اختلافًا صغيرًا عند عرض المعاملين. لذلك لا نقارن لقطة فيها منزلتان بأخرى فيها ست منازل ثم نستنتج من الشكل وحده طريقة الحساب. نسجل القاعدة والدقة الداخلية والنتيجة المعروضة كلًا على حدة. وكذلك لا نلصق نسبة مئوية بفرق 0.195861 دون تعريف مقام النسبة؛ المعروض هنا فرق نقدي في مثال معلوم الدفعة، وليس نسبة خطأ عامة لكل منحنى.

اختبري الطرفين دون تحويل الاختبار إلى شهادة

تعيد كلتا الطريقتين في بطاقتنا المعامل الأول عند سنة واحدة والثاني عند ثلاث سنوات. يمكن التحقق من ذلك بوضع وزن الطرف الثاني صفرًا ثم واحدًا في العمليات التي اخترناها. إذن اجتياز اختبار الطرفين لا يفصل بين الفرعين؛ فقد اتفقا في القيم المعطاة واختلفا بينهما. يحتاج سؤال الاختيار إلى قاعدة أخرى يعلنها النموذج بدل الاعتماد على هذا الاختبار وحده.

ونؤلف فرعًا نضيف فيه عند سنتين نقطة جديدة قيمتها 0.92. أصبحت لدينا ثلاثة مدخلات بدل اثنين. لا نسمي النقطة الجديدة سعرًا مرصودًا لمجرد أننا سجلناها في الجدول؛ نحن اخترناها. وإذا استعملناها عقدة ملزمة لوصلة لاحقة، فإن أثرها ناتج عن تغيير مجموعة البيانات. ينبغي ألا ننسب ذلك إلى أن الطريقة اللوغاريتمية الأصلية أعطت هذا المعامل من طرفيها القديمين.

وفي فحص مختلف، لو أعطينا الطرفين القيمة الموجبة نفسها، لأعاد كلا الفرعين قيمة ثابتة مساوية لهما بين الطرفين في هذا المثال. يبين ذلك أن اختلاف اسم الطريقة لا يوجب اختلاف كل ناتج في كل مدخلات. نحدد الحالة التي اختبرناها بدل إطلاق عبارة عامة بأن الطريقة الثانية تغير القيم دائمًا، أو أن تساوي نتيجة واحدة يثبت تكافؤ القاعدتين في جميع الحالات.

ولا نزعم من إيجابية القيم هنا أو مطابقة الطرفين أن منحنى كاملًا خال من المراجحة قد بني. لم نعط سلة أدوات أو شروط معايرتها أو كل تواريخها، ولم نفحص وصلة من الزمن صفر إلى أول نقطة. كذلك لا نطلب قيمة عند أربع سنوات من هاتين القاعدتين الداخليتين؛ هذا خارج المجال المعطى ويحتاج قرارًا آخر لم نثبته في النموذج.

احفظي الطريقة مع البيانات التي دخلت فيها

في ملف مراجعة مقترح نكتب العملة وتاريخ التقييم المفترضين، ووحدة الزمن، ومعنى المحور الرأسي، والنقطتين، والموضع المطلوب، واسم القاعدة المختارة. نضيف مستوى الدقة وطريقة تقريب العرض، وأي نقطة أدخلت لاحقًا. ليست هذه ورقة معايرة رسمية، بل طريقة مستقلة تجعل القارئ قادرًا على إعادة الحساب وفهم أين أضيف الفرض الذي لم يكن في القيم الأصلية.

وإذا اختلفت نتيجتان بين فريقين، نراجع أولًا هل استخدما المعاملات نفسها أم معدلات فائدة، وهل كان اللوغاريتم للقيم أم للزمن، وهل تقع نقطة الطلب بين الطرفين. ثم نراجع وجود مدخل ثالث أو اختلاف في الوحدة. لا نختار تفسير التقريب تلقائيًا؛ مثالنا أعطى اختلافًا قبل مرحلة العرض، رغم أن طرفيه وموضع طلبه لم يتغيروا بين الفرعين.

لم نشغل مكتبة Strata أو نعاير منحنى فعليًا؛ قرأنا تعريف طريقتين في وثائقها وحسبنا مثالًا مستقلًا. لذلك لا نقدم الناتج بوصفه اختبار توافق برمجي شاملًا أو توصية بخيار إعداد في نظام تسعير. وكذلك لا نختار من فرق الورقة أداة استثمار أو سعر شراء. الغرض محدد: إظهار أثر قاعدة وصل معلنة في قيمة بينية لم تعطها المدخلات مباشرة.

احتفظي في النهاية بسطرين منفصلين: ما القيم التي كانت معلومة، وما الافتراض الذي ملأ ما بينها. في قصتنا كانت معاملات السنة والثلاث سنوات معطاة في المثال، وكانت طريقة الوصل اختيارًا في كل فرع. هذا الفصل يشرح كيف اختلف معامل السنتين دون تغير الطرفين، ويمنع تحويل الناتج المحسوب إلى معلومة سوقية ثم نسيان القاعدة التي أوصلتنا إليه.