قوى i السالبة: ابدأ بالمقلوب قبل الباقي

المعطيان اللذان نبدأ بهما

الرمز i يحقق i²=-1. ^[1]

القوة -1 تعني المقلوب في جدول المرجع. ^[2]

سنستعمل هذين المعطيين لبناء حسابنا. الحرف i ليس اسمًا للأس؛ ففي الكتابة i^-23 يكون i هو الأساس، والعدد -23 هو الأس. ضع الإشارة السالبة مع العدد في خانة الأس قبل أي خطوة، حتى لا تقرأ المسألة كما لو أنها سالب قوة موجبة.

المطلوب في الأمثلة ناتج محدد، لا رسم حركة أو تفسير ظاهرة. نكتب العمليات ونراجعها حسابيًا. لا نحاول في هذا المقال حساب أس غير صحيح، ولا نستعمل نتيجة مثالنا للحكم على طريقة برنامج أو آلة حاسبة. كل تفكيك لاحق متعلق بالأعداد الصحيحة المكتوبة هنا.

ابدأ بمقلوب القوة المقابلة

لنحسب أولًا الحالة الصغيرة i^-1. حاصل الضرب i×(-i) يساوي -(i²)، أي واحد بعد التعويض بالمعطى. إذن -i يحقق شرط المقلوب الذي نبحث عنه. لاحظ أن كتابة سالب أمام i هنا جاءت من عملية الضرب، وليست نسخًا تلقائيًا للإشارة الموجودة في الأس.

ولحساب i^-23 بالمقلوب، نحتاج القوة الموجبة i^23. نشتق i³=i²×i=-i، ثم i⁴=i²×i²=1. اكتب 23=4×5+3؛ فخمس مجموعات من أربعة عوامل تترك ثلاثة عوامل i. لذلك القوة الموجبة في هذه الحالة هي -i، ومقلوبها i.

يمكن فحص آخر خطوة دون قسمة مكتوبة: (-i)×i=-(i²)=1. هذا الفحص يربط الإجابة بشرطها. أما كتابة i^-23=-i لأنها تشبه القوة الموجبة، فتخفق في الشرط؛ إذ يصبح حاصل ضربها بالقوة الموجبة (-i)×(-i)=-1، وليس واحدًا.

في بطاقة المقلوبات بالرسم، اقرأ الأس والناتج داخل الصف نفسه. الصف الذي يبدأ بالأس -1 لا يقدم الإجابة عن -23؛ اختلاف الرقمين مهم، ولو احتوت البطاقة الرمزين i و-i معًا. احتفظ بخطوة تحقق بجوار كل نتيجة بدل الاكتفاء بمكان الرمز على الصورة.

لماذا يصلح التفكيك إلى مضاعف أربعة؟

من الحساب السابق حصلنا على i⁴=1. تكرار مجموعة من أربعة عوامل يعطي واحدًا في كل مرة. والمقلوب المقابل للمجموعة هو مقلوب الواحد، أي واحد أيضًا. لهذا لا تضيف المجموعات الكاملة شيئًا إلى حاصل الضرب، سواء حسبنا عوامل موجبة أو مقلوباتها في اتجاه الأس السالب.

اكتب الأس e على صورة e=4q+r. في بطاقتنا نختار r من الأعداد 0 و1 و2 و3. الجزء 4q يعطي مجموعات كاملة، ويبقى الجزء r. القيم التي نشتقها للبواقي الأربعة هي، بالترتيب، 1 وi و-1 و-i؛ فقيمة الباقي صفر تعني عدم وجود عامل إضافي.

شرط الباقي هنا جزء من طريقة قراءة البطاقة. قد تكتب مساواة صحيحة بباقي سالب، لكنها لن تعطي خانة جاهزة من خاناتنا الأربع. لذلك نراجع المساواة أولًا، ثم نراجع حدود الباقي. اجتياز أحد الفحصين دون الآخر لا يكفي لاختيار صف من الجدول.

أربع قوى مع بواقي غير سالبة

للقوة الأولى، اكتب -23=4×(-6)+1. الطرف الأيمن يساوي -24+1، فيعيد الأس المطلوب. الباقي واحد، فتكون الإجابة i. هذه هي الإجابة نفسها التي توصلنا إليها بالمقلوب؛ توافق الطريقين هنا نتيجة حسابين معروضين، وليس افتراضًا نضيفه قبل الحل.

وفي القوة الثانية، -14=4×(-4)+2. الباقي اثنان، فنحصل على -1. القوة الموجبة i^14 تساوي -1 أيضًا؛ ومقلوب -1 هو -1 لأن (-1)×(-1)=1. ليس مطلوبًا أن تختلف القوة السالبة عن الموجبة في كل مثال كي نستخدم المقلوب.

أما -8=4×(-2)+0، فيعطي الباقي صفرًا والناتج واحدًا. وللحالة الأخيرة، -1=4×(-1)+3؛ الباقي ثلاثة يعطي -i. لا تسمّ خارج القسمة باقيًا: العدد -2 في حالة -8 يخبرنا بالمجموعات، بينما صفر هو العدد الذي يحدد خانة الناتج.

يعرض الرسم الداخلي التفكيكات الأربعة وخانة الباقي. اقرأ المساواة كاملة قبل الانتقال إلى الخانة. إذا نسخت -14 في صف -23 فلن يعالج اللون هذا الخطأ؛ ارجع إلى العدد المكتوب في المسألة، ثم احسب طرفي التفكيك وقارن النتيجة بذلك العدد.

اختصار القيمة المطلقة وحدود البطاقة

افترض مسودة تقول: نحذف سالب الأس ثم نستعمل باقي العدد الموجب. عند -23 تصبح المسألة فيها i^23، فتخرج -i. المسودة أجابت عن القوة الموجبة التي نحتاج مقلوبها، ولم تكمل الخطوة المطلوبة. تحديد هذه الخطوة أدق من القول إن كل رمز في المسودة خاطئ.

وعند -14 يخرج الاختصار -1، وهي الإجابة المطلوبة فعلًا. هذه حالة لا تكشف خطأ الطريقة لأنها توافق مقلوبها. قارنها بحالة -23 قبل اعتماد الاختصار. فحص مثال واحد قد يترك خطوة ناقصة مخفية، بينما المقارنة بين مثالين تظهر أين اختلف الحساب.

قد تظهر مسودة أخرى التفكيك -23=4×(-5)-3. المساواة صحيحة، لكن -3 ليس واحدًا من بواقي البطاقة. صحح الاختيار إلى -6 و1، ثم اقرأ خانة الواحد. لا تقلب -3 إلى 3 وحده؛ فذلك يغيّر المساواة الأصلية بدل إعادة كتابتها بصورة تحقق الشرط.

تمرين وأجوبة يمكن مراجعتها

احسب i^-17 وi^-22 وi^-28 وi^-31. اكتب لكل مسألة الأس وخارج القسمة والباقي، ثم الناتج. حاول الحل قبل قراءة الإجابات التالية، واحتفظ بخطوة الضرب بالمقابل الموجب؛ بذلك تستطيع تحديد موضع اختلاف إجابتك، بدل تبديل الرمز الأخير وحده.

التفكيكات هي -17=4×(-5)+3، و-22=4×(-6)+2، و-28=4×(-7)+0، و-31=4×(-8)+1. لذلك الأجوبة بالترتيب -i و-1 و1 وi. البواقي تحقق حدود البطاقة، وطرف كل مساواة يعيد الأس الذي بدأنا به.

القوى الموجبة المقابلة لهذه الأسئلة، بالترتيب، هي i و-1 و1 و-i. اضرب كل جواب في مقابله: (-i)×i=1، و(-1)×(-1)=1، و1×1=1، وi×(-i)=1. إذا غيرت ترتيب الأسئلة، انقل الأجوبة معها ولا تعتمد على ترتيب القائمة القديمة.

فحص أخير يفصل الإشارتين

عند مراجعة ورقتك، ضع إشارة الأس في موضعها قبل قراءة الناتج. رأينا أسًا سالبًا أعطى واحدًا، وآخر أعطى i، فلا نستنتج شكل الناتج من سالب الأس وحده. الحساب يحدد القيمة، وفحص المقلوب يختبرها في كل حالة.

اكتب بجوار الإجابة التفكيك والتحقق بالضرب، ثم تأكد من أن السؤال بقي كما هو. هاتان الخطوتان تكشفان تبديل الأس أو نسيان المقلوب، وتتركان حلًا قابلًا للمراجعة دون الحاجة إلى تخمين قصد المسودة. واحتفظ بالمسألة الأصلية دائمًا إلى جانب الحل.