تريد نسخ علامة صغيرة بحجم أكبر، مع تحريك مؤشر واحد فوق حدودها. يبدو الأمر كأنه يحتاج إلى قياس كل نقطة، لكن أربعة قضبان موصولة يمكن أن تفرض العلاقة هندسيًا. سنرسم مخططًا، ثم نثبت لماذا تتحرك نقطة الرسم ضعف حركة نقطة التتبع في نسختنا المختارة، ونختبره على مثلث صغير.
الخلاصة السريعة
- في تصميمنا قضيبان طويلان، طول كل منهما 10 وحدات، ووصلتان بطول 5.
- نثبت O ، ونتتبع عند D ، ونضع القلم عند P.
- المسافة والاتجاه من O إلى P يساويان ضعف المتجه من O إلى D.
- مثلث مساحته 0.5 وحدة مربعة يعطي نسخة مساحتها 2 ، لا 1.
- نقل القلم إلى C يفسد النسبة؛ فالمفصل لا يقوم مقام نقطة الرسم.
ما البانتوغراف الذي سنختبره؟
تعرض مادة Chris Sangwin في جامعة Edinburgh البانتوغراف ضمن آليات الوصلات المستخدمة لتكبير الرسومات وتصغيرها، وتشير إلى تعدد أشكاله. نختار هنا تركيبًا واحدًا بنسبة محددة. [1]
يمثل القضيب في النموذج الحركي جسمًا صلبًا، ويسمح المفصل الدوراني بحركة نسبية حول محوره. يميز درس Carnegie Mellon دراسة الحركة هندسيًا عن دراسة القوى والكتل المؤثرة فيها. سنلتزم بالأولى في حساباتنا. [2]
اكتب على المخطط أربعة أسماء للقضبان: OB و BP و AD و DC. الأولان طويلان، والآخران أقصر. توجد A في منتصف OB ، و C في منتصف BP. يصل AD منتصف القضيب الأول بنقطة التتبع، ويصل DC هذه النقطة بمنتصف القضيب الثاني. لا تقص القضيب الطويل إلى قطعتين منفصلتين عند منتصفه؛ نريد المنتصف ثابتًا عليه.
ثبّت O في تصورك، واترك الاتصالات A و B و C و D تسمح بالدوران في مستوى الرسم. يصل الضلع AB إلى BC ثم CD ثم DA حول متوازي أضلاع غير متقاطع. هذا اختيار فرع الحركة في نموذجنا؛ لا نفتح الوصلات ونركبها على هيئة متقاطعة ثم نفترض أنها تحقق الخريطة نفسها.
افحص وضع البداية بالأرقام
نضع O عند الأصل، ونختار A=(4,3) وB=(8,6) وC=(12,3) وD=(8,0) وP=(16,0). ليست المسافات بين الحروف على الصورة وحدها دليلًا؛ راجعها من الإحداثيات. من O إلى A فرق 4 أفقيًا و 3 رأسيًا، فيكون الطول 5.
ومن A إلى B الفروق نفسها، فيصبح OB بطول 10 وتكون A منتصفه فعلًا. من B إلى C نتحرك 4 يمينًا و 3 إلى أسفل، ومثلها من C إلى P ؛ لذلك BP بطول 10 و C منتصفه. الوصلتان AD و DC لهما أيضًا ضلعان قائمان بطولي 4 و 3 ، فطول كل منهما 5.
يظهر D في منتصف الطريق المستقيم من O إلى P: إحداثيه الأفقي 8 مقابل 16 ، وكلاهما على ارتفاع صفر. هذه ملاحظة لوضع واحد فقط. لو توقف الدرس هنا، لما عرفنا هل يبقى التضاعف عندما نحرك المؤشر إلى أعلى. نحتاج علاقة لا تعتمد على هذا الرسم الخاص.
لماذا تبقى النسبة أثناء الحركة؟
اكتب المتجه من O إلى A بالحرف u ، ومن B إلى C بالحرف v. بما أن A منتصف OB فإن موضع B من O هو 2u. وبما أن C منتصف BP فإن المتجه من B إلى P هو 2v. إذن موضع القلم من O يساوي 2u + 2v.
في متوازي الأضلاع ABCD يساوي المتجه AD المتجه BC ، أي v. ولأن الوصول إلى D من O يمر عبر A ثم AD ، يصبح موضع D هو u + v. نجمع النتيجتين: OP = 2 OD بوصفهما متجهين. هذا يحدد الاتجاه والطول معًا، لا مجرد تساوي مسافتين في حالة واحدة.
أثناء الحركة تتغير جهة u وجهة v ، لكن مواضع المنتصف والوصلات المفروضة تبقيان العلاقتين صحيحتين. لذلك تتضاعف إزاحة القلم بين موضعين للمؤشر أيضًا: إذا طرحنا موضع البداية من النهاية في الطرفين، بقي عامل 2. البرهان يخص هذا الترتيب ونقطة التثبيت المحددة.
انسخ مثلثًا وافصل الطول عن المساحة
نختار مسارًا يبدأ عند (6,1)، ثم (7,1)، ثم (6,2)، ويعود إلى البداية. تقع هذه النقاط في المجال الذي اختبرناه للآلية. باتباع النسبة السابقة يصبح مسار القلم (12,2) ثم (14,2) ثم (12,4)، ثم العودة.
| المحطة | موضع D | موضع P |
|---|---|---|
| الأولى | (6,1) | (12,2) |
| الثانية | (7,1) | (14,2) |
| الثالثة | (6,2) | (12,4) |
ضلعا الزاوية القائمة في الأصل طولهما 1 و 1 ؛ مساحة المثلث نصف وحدة مربعة. في النسخة يصبحان 2 و 2 ، فتساوي المساحة 2×2÷2 = 2. صارت المساحة أربعة أمثال قيمتها لأن البعدين تضاعفا. أما الضلع المائل فطوله الجذر التربيعي لاثنين في الأصل، وضعف ذلك في النسخة.
إذا أردت التصغير في النموذج المثالي نفسه، بدّل دوري نقطتي العمل: تتبع المثلث الكبير عند P واترك D يرسم الصغير. تقلب العلاقة إلى النصف. هذا ليس تغييرًا في أطوال القضبان؛ إنه تغيير النقطة التي تقود بها المسار والنقطة التي تقرأ منها النتيجة.
خطآن تستطيع كشفهما قبل البناء
الأول أن تضع القلم عند C لأنها دائرة ظاهرة على القضيب. في وضع البداية تكون C عند (12,3)، بينما النسخة المطلوبة للنقطة D هي (16,0). حتى الاتجاه من O مختلف: ارتفعت C ثلاث وحدات، وبقي D على المحور الأفقي. لا يكفي أن تبدو حركة المفصل قريبة من حركة المؤشر.
الثاني أن تضاعف إحداثيات مطلقة بعد نقل نقطة التثبيت. اجعل O في تجربة حسابية أخرى عند (2,-1)، واجعل D عند (8,0). الفرق من O إلى D هو (6,1). ضاعفه ثم أضفه إلى O ، فتحصل على P=(14,1)، لا (16,0). التكبير متمركز حول O ، وليس حول ركن ورقة الإحداثيات بالضرورة.
ما الذي يسمح به المخطط؟
اختبرنا رقميًا مواضع على أضلاع المثلث، وحافظت القضبان الأربعة على أطوالها، وعادت نقاط القلم إلى النسخة المضاعفة. حُسبت مواضع المفاصل أيضًا من شرط طول الوصلات، لا من تكبير المثلث المرسوم وحده. هذا يدعم أن المسار المختار قابل للتحقيق داخل نموذجنا.
لا يعني ذلك أن المؤشر يصل إلى أي مكان في الورقة. في تصميمنا متجهان طول كل منهما 5 يجتمعان للوصول إلى D ؛ لا يمكن أن يزيد بُعد D عن O على 10. تجنبنا في حساب الحركة الوضعين المنطبق والمستقيم تمامًا، واخترنا مثلثًا داخل المجال دون المرور بهما.
إذا نقلت المخطط إلى شرائط، ابدأ بعلامات المراكز والمسافات بينها، ثم افحص دوران الوصلات وثبات O قبل تتبع الشكل. هذه خطوة عمل مقترحة؛ لم نصنع نموذجًا أو نقس خلوص ثقوبه أو انثناء مادته. يبقى اختبار النسخة المادية ضروريًا للحكم على نعومة الخط، بينما يشرح الحساب سبب النسبة في الآلية المثالية.