أمامك الشمس بسرعة 120 دورة في الدقيقة، وحلقة ساكنة حولها. هل يكفي قسمة عدد أسنان الأولى على الثانية لمعرفة حركة الذراع بينهما؟ سنحل بطاقة واضحة بأربعة رموز، ثم نغيّر العضو المثبت ونرى أي رقم يتغير. الهدف أن تميز دوران الكوكب حول نفسه من حركة مركزه.
الخلاصة السريعة
- نختار شمسًا ذات 30 سنًا، وكوكبًا ذا 15 سنًا، وحلقة ذات 60 سنًا.
- في بطاقتنا الأولى: الشمس 120، والحلقة صفر، والحامل 40 دورة في الدقيقة.
- سرعة الكوكب حول محوره هي سالب 120، وليست سرعة الحامل.
- عند تثبيت الحامل وتدوير الشمس بالسرعة نفسها تصبح الحلقة سالب 60.
- كل إشارة محسوبة من جهة النظر نفسها؛ الموجب عكس عقارب الساعة.
- الأمثلة حسابية مثالية، ولم نبن مجموعة تروس أو نقس كفاءتها.
سمِّ الأعضاء قبل الحساب
تضم المجموعة البسيطة شمسًا وكوكبًا وحلقة داخلية وحاملًا. في التروس القياسية المتوافقة يساوي عدد أسنان الحلقة عدد أسنان الشمس زائد مثلي عدد أسنان الكوكب، لتتطابق مسافات المراكز. هذا شرط هندسي ضمن شروط أخرى، وليس شهادة لصلاحية التصنيع. [2]
نعطي الشمس الرمز S، والكوكب P، والحلقة R، والحامل C. أعدادنا تحقق 60 = 30 + 2 × 15. يمثل الخط البنفسجي الحامل بين مركز الشمس ومركز الكوكب، بينما يبقى الكوكب قادرًا على الدوران حول محوره عند نهاية الخط. نرسم كوكبًا واحدًا لشرح الحساب، ولا نقرر توزيع أحمال مجموعة فعلية.
سنكتب s وr وc وp للسرعات المطلقة، بوحدة دورة في الدقيقة. المطلقة هنا تعني المقاسة بالنسبة إلى الإطار الثابت المحيط بالمجموعة. ننظر إلى وجه الرسم طوال الحل، ونعد الدوران عكس عقارب الساعة موجبًا. لذلك يدل سالب 120 على اتجاه معاكس للموجب بمقدار 120، لا على سرعة أقل من الصفر بالمعنى اليومي.
اطرح حركة الحامل أولًا
تعتمد طريقة تحليل المجموعة على طرح سرعة الحامل من سرعات الأعضاء؛ عندها تصبح محاور التروس ثابتة في الإطار المتخيل. نطبق نسب الأسنان هناك، مع عكس الاتجاه في التعشيق الخارجي وبقائه في الداخلي. [1]
في أعدادنا، العلاقة بين الشمس والكوكب هي 30(s − c) = −15(p − c). وبين الكوكب والحلقة هي 15(p − c) = 60(r − c). بجمع العلاقتين يختفي مقدار الكوكب، فنحصل على:
c = (s + 2r) / 3
هذه الصيغة تخص أعداد البطاقة المختارة. ظهور 2 فيها جاء من قسمة 60 على 30، وليس ثابتًا لكل مجموعة. والحذف الجبري للكوكب لا يعني أن مركزه ثابت أو أنه قطعة يمكن إزالتها مع بقاء الآلية نفسها؛ نحن نلغي مجهولًا من معادلتين.
الحالة الأولى: الحلقة لا تتحرك
ضع s = 120 وr = 0. يصبح c = 120 ÷ 3 = 40. لنفحص النتيجة في الإطار المتخيل: الشمس تتحرك بالنسبة إلى الحامل بسرعة 120 − 40 = 80، والحلقة بسرعة 0 − 40 = −40. المقداران 30 × 80 و 60 × (−40) يساويان 2400 وسالب 2400؛ مجموعهما صفر.
والكوكب؟ من العلاقة الأولى نحصل على p − c = −2 × 80 = −160. هذا رقم نسبي؛ لاستعادة السرعة المطلقة نضيف 40، فنجد p = −120. لو كتبت سالب 160 في خانة السرعة المطلقة، لنسيت خطوة العودة من إطار الحامل إلى إطار الرسم.
تخيل علامة على الكوكب وعلامة عند مركزه. مركزه يطوف مع الحامل بالمقدار 40، لكن اتجاه الجسم نفسه يتغير بالمقدار سالب 120 في إطارنا. لا تضع الرقمين في خانة واحدة باسم «دوران الكوكب»؛ اكتب ما تقيسه قبل المقارنة.
غيّر العضو المثبت لا أسماء الخانات
في البطاقة الثانية نفرض c = 0 ونبقي s = 120. إذن 0 = (120 + 2r) ÷ 3، ومنها r = −60. يعود مركز الكوكب ثابتًا، وتصبح سرعته p = −240. توقف الحامل لا يعني توقف الكوكب؛ الرقم صفر يخص حركة المركز التي ثبتناها فقط.
وفي الثالثة نثبت الشمس: s = 0، ونعطي الحلقة r = 60. نحصل على c = 40. بالنسبة إلى الحامل تبدو الشمس بسرعة سالب 40، فيدور الكوكب نسبيًا بسرعة موجب 80. نضيف 40 لنصل إلى p = 120. مقدار الحامل يساوي البطاقة الأولى، بينما انعكس اتجاه دوران الكوكب حول نفسه.
| العضو الثابت | S | R | C | P |
|---|---|---|---|---|
| الحلقة | 120 | 0 | 40 | −120 |
| الحامل | 120 | −60 | 0 | −240 |
| الشمس | 0 | 60 | 40 | 120 |
راجع البطاقة الأولى عند نقطتي التماس
نختار أنصاف أقطار نسبية 15 للشمس، و 7.5 للكوكب، و 30 للحلقة؛ مركز الكوكب يبعد 22.5 عن المركز المشترك. عندما يكون على يمين الشمس كما في الرسم، نراجع المركبة الرأسية عند النقطتين السوداوين. نعرض حاصل نصف القطر في السرعة، مع حذف العامل المشترك 2π من الطرفين؛ لذلك الأعداد التالية قيم مقارنة، لا سرعات خطية بوحدة طول معلنة.
حركة مركز الكوكب تعطي 22.5 × 40 = 900. عند نقطة التماس القريبة من الشمس نطرح مساهمة دورانه: 900 − 7.5 × (−120) = 1800. الشمس تعطي 15 × 120 = 1800 أيضًا. وعند التماس الآخر نجمع: 900 + 7.5 × (−120) = 0؛ وهذا يطابق الحلقة الساكنة.
جرّب الخطأ السابق بوضع p = −160. تظهر 2100 عند التماس مع الشمس، وسالب 300 عند الحلقة. لا يساوي الأول 1800 ولا يساوي الثاني صفرًا. أصبح لدينا فحص مستقل يحدد أثر نسيان إضافة سرعة الحامل، بدل الاكتفاء بإعادة الصيغة نفسها.
تجربة أخيرة تحفظ الفروق
أضف 20 إلى السرعات المطلقة كلها في البطاقة الأولى. تصير الشمس 140، والحلقة 20، والحامل 60، والكوكب سالب 100. الفروق بالنسبة إلى الحامل تبقى 80 وسالب 40 وسالب 160. تحقق أيضًا من الصيغة: (140 + 2 × 20) ÷ 3 = 60. الحلقة لم تعد ثابتة، فلا تسمِّ هذه النسخة حالة الحلقة الساكنة.
أما إذا أعطيت الشمس والحلقة السرعة 50 معًا، فالحامل 50 والكوكب 50؛ تختفي السرعات النسبية. لا نقسم في هذه الحالة على فرق يساوي صفرًا. اختبرنا رقميًا علاقات التماس والعودة بين الإطارين، بما فيها هاتان البطاقتان. يبقى الفحص خاصًا بحركة النموذج المثالي، ولا يحدد العزم أو الفقد أو جودة الأسنان.