رتبة التناظر الدوراني: عدّ التطابقات وحساب الزاوية

رتبة التناظر الدوراني هي عدد الأوضاع التي يتطابق فيها الشكل مع نفسه خلال دورة كاملة حول مركز محدد. [1] سنحسبها بأمثلة أصلية، ونوضح كيف نستخرج الزاوية الصغرى، ولماذا لا يساوي عدد أجزاء الزخرفة دائمًا عدد تطابقاتها.

الخلاصة السريعة

ابحث عن أول دوران موجب يعيد الشكل كاملًا إلى وضع مطابق، ثم احسب مرات تكراره في الدورة.

ثبّت مركز الدوران، وحدد هل يشمل الاختبار الحدود فقط أم الألوان والعلامات أيضًا.
عدّ التطابقات من بعد البداية حتى نهاية الدورة؛ لا تعد موضعي البداية والنهاية تطابقين مستقلين.
للرتبة المحدودة: الزاوية الصغرى تساوي ثلاثمئة وستين مقسومة على الرتبة.
المستطيل غير المربع يعود بعد نصف دورة، بينما يعود المربع بعد ربع دورة؛ يظهر الفرق من مقارنة الأضلاع.
في نموذجنا ذي اثني عشر قطاعًا، تكرار ثلاثة ألوان بالتتابع يعطي رتبة أربعة وزاوية تسعين درجة.
الرتبة واحد تعني عدم وجود تطابق قبل الدورة الكاملة؛ أما الدائرة غير الموسومة فتتطابق عند أي زاوية حول مركزها. [1]
اختبر كل أجزاء الشكل، وراجع التمارين بالحساب والتطابق معًا، لا بقسمة الأرقام وحدها.

ماذا نختبر عندما ندير الشكل؟

يعرّف مرجع ماث إز فن التناظر الدوراني بعودة الشكل إلى مظهر مطابق بعد دوران أقل من دورة كاملة. [2] ويصف ماث أوبن ريفرنس الدوران بأنه تحريك الشكل حول نقطة محددة، مع دوران الأشعة المتجهة إلى رؤوسه بالزاوية نفسها. يمكن أن تكون نقطة الدوران داخل الشكل أو خارجه. [3]

في مسائلنا نريد مقارنة المواضع، لا مقارنة نوع الشكل فقط. إن أدرت مثلثًا، فإنه يبقى مثلثًا، لكن هذا لا يثبت أنه يغطي المنطقة التي كان يغطيها قبل الحركة. ضع في ذهنك رسمًا ثابتًا ونسخة شفافة فوقه؛ النجاح يعني أن حدود النسخة بعد الدوران تغطي الحدود الأصلية، وأن أي تفاصيل تدخل ضمن السؤال تعود إلى أماكنها كذلك.

حدد مركزًا واحدًا منذ البداية ولا تحركه أثناء الاختبار. إذا أدرت قالبًا ثم دفعته قليلًا حتى يتطابق، فقد جمعت دورانًا وإزاحة، وأجبت عن سؤال آخر. كذلك لا تقلب الورقة على وجهها الآخر؛ نحن نفحص دورانًا في المستوى نفسه. اكتب بجانب الرسم ما الذي يتحرك وما الذي يبقى ثابتًا، خاصة عند استعمال أداة رسم تسمح بالسحب الحر.

ومن المفيد فصل العلامات التعليمية عن أجزاء النموذج. قد ترسم نقطة صغيرة لتحديد المركز أو حرفًا لتسمية رأس، ثم تتساءل لماذا اختفى التناظر. اسأل أولًا: هل طلب التمرين مطابقة هذه الحروف أيضًا، أم وضعها فقط لتسهيل الشرح؟ سنصرح في مثال الألوان بأن اللون جزء من الشكل، بينما أرقام المواقع أدوات لتتبع الحركة وليست زخرفة تتحرك معه.

كيف تعدّ أوضاع التطابق دون زيادة؟

يعرض درس الجامعة المفتوحة الرتبة بوصفها عدد الأوضاع المتطابقة في دورة، ويضم الرجوع بعد الدورة الكاملة ضمن العد. [1] لتجنب اللبس، سنبدأ العد بعد مغادرة الوضع الأول، ونتوقف عند العودة إليه. بذلك نحسب نهاية الدورة، ولا نضيف بداية مطابقة لها مرة ثانية.

لنأخذ شكلًا مؤلفًا يعود إلى نفسه كل تسعين درجة. بعد ربع دورة نسجل التطابق الأول، وبعد نصف دورة الثاني، وبعد ثلاثة أرباع الدورة الثالث، وبعد الدورة الكاملة الرابع. إذا كتبت الصفر ضمن القائمة ثم كتبت نهاية الدورة أيضًا وحسبتهما وضعين مختلفين، فستحصل على خمسة، مع أن الأخير ليس وضعًا جديدًا مستقلًا عن البداية.

هناك طريقة أخرى صحيحة للعد: احتسب البداية، ثم التطابقات التي تسبق نهاية الدورة، واستبعد النهاية. في المثال نفسه تكون الأوضاع عند صفر وتسعين ومئة وثمانين ومئتين وسبعين درجة. الطريقتان تعطيان أربعة؛ الخطأ ينشأ من استعمال بداية الطريقة الأولى ونهاية الثانية معًا. اختر طريقة واحدة واكتب المجال الذي تعمل فيه حتى تستطيع مراجعة عدك.

لا تعد كل حركة صغيرة تقوم بها بيدك. ربما أوقفت القالب عشر مرات، لكن تطابقه لم يحدث إلا في أربع منها. ومن الجهة الأخرى، نجاح زاوية مئة وثمانين لا يجعل الرتبة اثنين تلقائيًا؛ قد توجد تطابقات أصغر لم تختبرها. مهمتك البحث عن جميع الأوضاع المطابقة خلال الدورة، أو تقديم حجة تبين أول زاوية تكرر النمط كله.

استخرج الزاوية الصغرى من الرتبة

لشكل ذي رتبة محدودة، سمّ أصغر زاوية موجبة تحقق التطابق «الزاوية الصغرى». إذا كررت هذه الحركة، يعود الشكل إلى وضع مطابق في كل مرة. وعندما تجمع خطوات متساوية حتى تكمل الدورة، يكون حاصل ضرب عددها في الزاوية الصغرى ثلاثمئة وستين درجة. لذلك نقسم مقدار الدورة على عدد الخطوات لاستخراج مقدار كل خطوة.

يمكن كتابة العلاقة بالكلمات: الزاوية الصغرى تساوي ثلاثمئة وستين مقسومة على الرتبة. وبالعكس، الرتبة تساوي ثلاثمئة وستين مقسومة على الزاوية الصغرى. الرتبة عدد من الأوضاع بلا وحدة قياس، أما الزاوية فتقاس بالدرجات هنا. إذا كانت الرتبة خمسة، كانت الزاوية اثنتين وسبعين درجة؛ وإذا كانت الزاوية خمسًا وأربعين، كانت الرتبة ثمانية.

لماذا نشدد على كلمة «الصغرى»؟ تخيل نمطًا يتطابق عند ستين درجة، ثم عند مئة وعشرين. إذا أخذت مئة وعشرين وقسمت الدورة عليها، حصلت على ثلاثة وأغفلت تطابقات واقعة بين هذه الخطوات. في هذا النموذج، ست خطوات من ستين تكمل الدورة، فتكون الرتبة ستة. الزاوية الناجحة ليست بالضرورة أول زاوية ناجحة.

ويمكن فهم انتظام الأوضاع بحجة قصيرة: لو وجد تطابق يقع بين خطوتين متتاليتين من الزاوية الصغرى، لأمكن الرجوع بعدد صحيح من الخطوات للحصول على تطابق موجب أصغر منها. وهذا يناقض تسميتها بالصغرى. لذلك لا نضع التطابقات في أوقات عشوائية داخل الدورة؛ نحن نتعامل مع تكرار هندسي منتظم حول المركز المحدد.

تحقق من المربع والمستطيل بالمقارنة

ارسم مستطيلًا مؤلفًا طوله ثمانية سنتيمترات وعرضه ثلاثة، واجعل نقطة تقاطع قطريه مركز الدوران. بعد نصف دورة، ينتقل كل رأس إلى الرأس المقابل، ويحل الضلع العلوي مكان السفلي، فيغطي المستطيل موضعه الأول. بعد ربع دورة، يصبح الاتجاه الطويل رأسيًا بدل أفقي، فلا يغطي المستطيل ذو الأبعاد نفسها المنطقة السابقة؛ امتداده الأفقي تغير من ثمانية إلى ثلاثة.

لنتأكد أن الرتبة اثنان، لا نكتفي بإخفاق ربع الدورة. أي دوران يعيد حدود هذا المستطيل يجب أن يعيد اتجاه أضلاعه الطويلة إلى الاتجاه الأفقي نفسه، لأن الضلع الطويل لا يستطيع أن يطابق ضلعًا قصيرًا كاملًا. في أقل من دورة كاملة يتحقق ذلك عند نصف دورة فقط. هذه حجة تربط أطوال الأضلاع باتجاهاتها، فتستبعد الزوايا الأخرى.

الآن استبدل المستطيل بمربع طول ضلعه أربعة سنتيمترات. بعد ربع دورة، يحل كل ضلع محل الضلع التالي، وتبقى الحدود مطابقة. الاتجاهات الأفقية والرأسية تتبادل هنا دون اختلاف في الأطوال. ولا تعيد زاوية أصغر من ربع دورة اتجاه أي ضلع إلى أحد الاتجاهين الموجودين في الحدود؛ لذلك يكون الربع أول تطابق موجب، والرتبة أربعة.

لا تعمم النتيجة اعتمادًا على كلمة «رباعي». كلا المثالين له أربعة أضلاع، لكن رتبة الأول اثنان ورتبة الثاني أربعة. ما صنع الفرق هو ترتيب الأطوال والاتجاهات حول المركز. اكتب في إجابتك سبب التطابق وسبب استبعاد الزاوية الأصغر، بدل الاكتفاء باسم الشكل أو عدد رؤوسه. ويخص هذا البرهان حدودًا غير موسومة، لا مربعًا أضفت إلى ركنه علامة مميزة.

اثنا عشر قطاعًا لا تعني رتبة اثني عشر

نبني نموذجًا أصليًا من قرص مقسم إلى اثني عشر قطاعًا متساويًا، وتعد حدود القطاعات جزءًا من الرسم. لون القطاعات حول المركز بالتتابع: أزرق، أصفر، أحمر، ثم كرر الثلاثية أربع مرات. كل قطاع زاويته ثلاثون درجة، لأن الدورة مقسمة إلى اثني عشر جزءًا متساويًا. نريد أن تتطابق الحدود والألوان معًا بعد الدوران.

عند تحريك القرص قطاعًا واحدًا، ينتقل الأزرق إلى موضع الأصفر، فتفشل المطابقة اللونية. وعند تحريكه قطاعين، ينتقل الأزرق إلى موضع الأحمر، فتفشل أيضًا. عند ثلاثة قطاعات، يعود الأزرق إلى موضع أزرق، وكذلك الأصفر والأحمر إلى مواضع اللون نفسه. إذن أول تطابق بعد تسعين درجة، وعدد التطابقات أربعة في الدورة.

ولا نحتاج إلى تخمين زوايا بين القطاعات: لكي تتطابق الخطوط الشعاعية الفاصلة، يجب أن ينتقل كل خط إلى أحد الخطوط الاثني عشر الموجودة. لذلك تكون الزاوية مضاعفًا لثلاثين درجة. وبعد تقييد الزوايا بهذه الطريقة، يكفي فحص ترتيب الألوان حتى نجد أصغر انتقال يعيده. هذا فصل مفيد بين شرط تطابق الهندسة وشرط تطابق الزخرفة.

غيّر الآن الألوان إلى أزرق وأصفر بالتناوب في القطاعات الاثني عشر. أول تكرار بعد قطاعين، أي ستين درجة، فتكون الرتبة ستة. وإذا جعلت القطاعات كلها زرقاء مع الاحتفاظ بخطوط التقسيم، أصبح الانتقال بقطاع واحد ناجحًا ورتبته اثني عشر. بقي عدد القطاعات ثابتًا، بينما تغيرت الرتبة لأن ما يشمله اختبار التطابق تغير.

نمط ألوان القطاعات	أقل انتقال ناجح	الرتبة
ثلاثة ألوان متكررة	ثلاثة قطاعات، تسعون درجة	أربعة
لونان بالتناوب	قطاعان، ستون درجة	ستة
لون واحد مع خطوط التقسيم	قطاع، ثلاثون درجة	اثنا عشر

افهم الرتبة واحد وحالة الدائرة

تسمّي بعض المراجع الشكل الذي لا يتطابق إلا بعد دورة كاملة ذا رتبة واحد، كما يوضح درس الجامعة المفتوحة. [1] هذا اصطلاح للعد، ولا يعني وجود دوران أصغر من الدورة يعيد الشكل. فإذا سئلت هل يوجد تناظر دوراني غير الدوران الكامل، فاذكر أنه لا يوجد، ثم وضح الرتبة إذا طلبها السؤال.

لصنع مثال واضح، خذ قرص القطاعات السابق وضع نقطة سوداء واحدة داخل قطاع، بعيدًا عن المركز، واجعلها جزءًا من الرسم. أي دوران أصغر من دورة كاملة ينقل هذه النقطة إلى موضع آخر على مسارها الدائري. ولا توجد نقطة سوداء ثانية تحل محلها. لذلك تفشل مطابقة الرسم كاملًا مهما تكررت ألوان بقية القطاعات؛ أصبحت الرتبة واحدًا بسبب العلامة الوحيدة.

وقارن ذلك بدائرة مثالية غير موسومة حول مركزها، بلا قطاعات أو خطوط شعاعية. كل نقطة في محيطها تقع على البعد نفسه من المركز، والدوران يحفظ هذا البعد، فيعيد المحيط إلى نفسه عند أي زاوية. يمكنك اختيار درجة واحدة أو نصف درجة أو مقدار أصغر، ويستمر التطابق. لذلك لا توجد أصغر زاوية موجبة لهذه الحالة، ولا نعطيها رتبة محدودة.

لا تخلط بين صورة جسم دائري وبين هذه الدائرة الرياضية. عقارب الساعة أو الكتابة أو علامة المصنع تفاصيل إضافية قد تغير المطابقة. والصورة الفوتوغرافية قد تحتوي ظلالًا ومنظورًا لا ينتميان إلى النموذج الهندسي الذي تقصده. حدد الشكل المثالي أولًا، ثم اذكر التفاصيل المستبعدة؛ الصورة الرئيسية هنا سياق تعليمي توضيحي، وليست دليلًا لقياس زوايا أو إثبات دقة قص الورق.

تمارين قصيرة مع تفسير الإجابات

التمرين الأول: شكل رتبته تسعة، فما زاويته الصغرى؟ نقسم ثلاثمئة وستين على تسعة فنحصل على أربعين درجة. للتحقق، اضرب الأربعين في تسعة فتعود إلى مقدار الدورة. انتبه إلى أن الزاوية ليست تسع درجات؛ التسعة تعد الأوضاع ولا تقيس مقدار الحركة بين وضعين متتاليين. وإذا كتبت قائمة الزوايا، تنتهي عند ثلاثمئة وستين بعد تسع خطوات.

التمرين الثاني: نجح تطابق شكل عند مئة وعشرين درجة، فهل رتبته ثلاثة حتمًا؟ لا؛ فقد تكون هذه زاويته الصغرى، وقد يكون لديه تطابق أصغر مثل ستين درجة. المعطى يثبت نجاح زاوية واحدة فقط. يلزم معرفة أول زاوية موجبة ناجحة أو فحص بقية الأوضاع. هذا مثال على أن صحة القسمة العددية لا تعوض نقص المعلومة الهندسية.

التمرين الثالث: قرص باثني عشر قطاعًا وحدود ظاهرة، نصفه أزرق ونصفه أصفر، بحيث تتجمع ستة قطاعات متتالية من كل لون. ما رتبته مع مراعاة اللون؟ نصف الدورة يتبادل اللونين ولا يحافظ على أماكنهما. ولا يعيد انتقال أصغر كتلة الأزرق كلها إلى موضعها الأول، فتكون الرتبة واحدًا. وجود ستة قطاعات زرقاء لا يعني ستة تطابقات؛ ترتيبها المتجاور هو ما يجب فحصه.

التمرين الرابع: دائرة غير موسومة أضفت إليها نقطتين متماثلتين متقابلتين على المحيط. بعد نصف دورة تتبادل النقطتان وتبقى الدائرة كما هي، فتكون الرتبة اثنين. لا ينجح دوران أصغر لأن النقطة الأولى يجب أن تصل إلى أحد الموضعين فقط. وإذا جعلت إحدى النقطتين حمراء والأخرى زرقاء مع اشتراط تطابق اللون، يفشل النصف وتصبح الرتبة واحدًا. هكذا تختبر تعريف الشكل قبل أن تختار القانون.

المصادر ومتابعة القراءة

أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.