طرح قراءتي طرفي قطعة يحافظ على الطول إذا تغير مرجع القراءتين بمقدار مشترك تحت مقياس صحيح، لكنه قد يبقي أثر معامل مختلف. سنثبت قطعة في نموذج خطي مؤلف، ثم نغير الإزاحة والمقياس ونفحص النتائج. الأرقام ليست تقرير معايرة أو قياسات مسطرة فعلية.
الخلاصة السريعة
في النموذج المعلن r=a×x+c، يلغىc المشترك من الفرق، ويظلrR−rL=aL. استرجاعL من الفرق يتطلب معرفةa وحدود صلاحية العلاقة.
- للطرفينx=2 وx=8 يكونL=6سم. عندa=1 وc=3 تقرأ الأداة5 و11، فيبقى الفرق6 لأن الإزاحة المشتركة ألغيت.
- عندa=1.02 وc=3 القراءتان5.04 و11.16 والفرق6.12؛ قسمته على1.02 تعطي6. الفرق الزائد0.12سم أو1.2ملم في النموذج.
- عندa=0.98 وc=3 القراءتان4.96 و10.84 والفرق5.88؛ القسمة على0.98 تعيد6. لا يعني اختلاف العرض أن القطعة تغيرت.
- إذا كانت الإزاحة3 عند الطرف الأول و3.1 عند الثاني معa=1، يصبح الفرق6.1؛ الشرط اللازم للإلغاء هو الإزاحة المشتركة نفسها.
- مرجعان افتراضيانx=0 وx=10 مع قراءتين3 و13.2 يحددانa=1.02 وc=3 في النموذج الخطي المفترض، ولا يثبتان خطية أداة فعلية في كل المدى.
- احتفظ بتمييز القراءة من الطول وبالوحدات؛ لا تدّع أن الطرح أزال كل أسباب الخطأ أو أن تماريننا اختبرت أداة أو أعطت حد قبول لمواصفاتها.
- الخريطة البديلة1.02x+3+0.01x(x−10) تطابق المرجعين0 و10، وتعطي فرق6.12 للطرفين2 و8، لكن فرق6 للطرفين1 و7؛ تصحيحه بمعامل1.02 يعطي100/17 لا6. نجاح فرق واحد لا يثبت الخطية.
حدد ما تمثله القراءة وما يمثله الطول
يصف المختبر الفيزيائي الوطني البريطاني مقارنة خصائص عينة بمرجع معلوم الخصائص باستخدام أداة القياس نفسها. نستفيد من فكرة المرجع في تمرين أصلي، فنعلن علاقة بين الإحداثي الذي اخترناه والقراءة التي تعرضها أداة افتراضية، ثم نفحص فرق قراءتي طرفي قطعة. [1]
نختار في النموذج طرفًا أيسر عند الإحداثيx=2 سم وطرفًا أيمن عندx=8 سم، فيكون طول القطعة الحقيقي داخل المسألة6 سم. نكتب القراءة بالحرفr لنميزها من الإحداثيx. الأرقام مختارة بدقة للتمرين، وليست نتائج قياس مسطرة فعلية. إذا عرضت الأداة2 عند الطرف الأول و8 عند الثاني ففرق القراءتين6، وهو يطابق طولنا في هذه الحالة. لكن هذا التطابق يحتاج إلى معرفة العلاقة التي أنتجت القراءتين.
سنستعمل نموذجًا خطيًا معلنًا r=a×x+c. المعاملa موجب ولا يحمل وحدة هنا لأنr وx بوحدة السنتيمتر نفسها، أماc فيحمل وحدة السنتيمتر. يمثلa تغيير المقياس، ويمثلc إزاحة مشتركة للقراءة في هذا النموذج. قد ترتبط الإزاحة باختلاف المرجع أو بانحياز قراءة في سياق آخر؛ لا نستنتج من قيمتها وحدها أن مسطرة معينة تالفة. هدفنا تحليل ما يختفي في الفرق تحت علاقة محددة، لا تشخيص أداة لم نختبرها.
اطرح قراءتين تشتركان في الإزاحة
إذا كانa=1 وc=3 سم، فإن قراءة الطرف الأولrL=2+3=5 سم، وقراءة الطرف الثانيrR=8+3=11 سم. فرق القراءتين11−5=6 سم، فيطابق طول القطعة في المسألة. تغيرت قراءة كل طرف عن الإحداثي الذي اخترناه بمقدار3، لكن الفرق بقي نفسه لأن الإضافة نفسها دخلت القراءتين. لا نحتاج إلى طرح3 من الفرق مرة أخرى؛ فعل ذلك سيعطي3 بدل6 ويكرر تصحيحًا ألغاه الطرح بالفعل.
يمكن رؤية الإلغاء في الجبر: rR−rL=(xR+c)−(xL+c)=xR−xL. لا تقول المعادلة إن الإزاحةc تساوي صفرًا، بل تقول إن الحد نفسه ظهر مرة بإشارة موجبة ومرة بسالبة في الفرق. إذا تغير المرجع فأضيف مقدار واحد إلى القراءتين، يبقى طول القطعة المحسوب فرقًا ثابتًا تحتa=1. لذلك يجب أن نفرق بين قيمة الإحداثي أو القراءة وبين المسافة بين نقطتين، بدل تسمية قراءة النهاية وحدها طولًا في كل حالة.
راجع ما ثبت في هذه الخطوة: المعامل1، والإزاحة نفسها في القراءتين، والوحدة نفسها، وطرفا القطعة في النموذج. إذا تغير أحد هذه الشروط فقد تحتاج إلى حساب آخر. لم نثبت أن كل أخطاء القياس من هذا النوع، ولم نقارن دقة أدوات مختلفة. الرسم الذي سننشئه يمكن أن يعرض خطيr=x وr=x+3 ليوضح اختلاف الارتفاع المشترك مع بقاء فرق القراءة لطرفين معلومين واحدًا.
احتفظ بمعامل المقياس الذي لا يلغي نفسه
نغيرa إلى1.02 ونبقيc=3. عند الطرفx=2 تكونrL=1.02×2+3=5.04 سم، وعندx=8 تكونrR=1.02×8+3=11.16 سم. الفرق11.16−5.04=6.12 سم، لا6. ما زالت الإزاحة المشتركة3 تلغى في الطرح، لكن المعامل1.02 يضرب فرق الإحداثيين. لذلك فإن إزالة أثر الإزاحة وحده لا تكفي لاسترجاع الطول الحقيقي في النموذج الذي اختير له مقياس مختلف.
الصيغة العامة هي rR−rL=a(xR−xL). إذا كانa معلومًا في هذه المسألة نسترجعL=(rR−rL)/a، فنحصل على6.12/1.02=6 سم. لا نقول إن كل قراءة لمسافة6.12 ينبغي أن تصحح بهذا المعامل؛1.02 جزء من بيانات مثالنا، وليس ثابتًا للمساطر أو الأجهزة. ولا نختار المعامل لأننا نريد النتيجة6، بل نستخدم العلاقة التي أعلنّاها قبل الحساب. معرفة المعامل هي ما يتيح القسمة بهذا المعنى.
الفارق بين6.12 و6 هو0.12 سم في هذا المثال، أي1.2 ملم. ويمكن وصف الزيادة بالنسبة إلى طول6 بأنها2 بالمئة، لأن0.12/6=0.02. هذه حسابات للنموذج، وليست حد قبول لصناعة أو مقدار خطأ شائع في أداة. وقد ينتج معامل أقل من1 فرقًا أصغر بدل أكبر؛ القيمة واتجاه أثرها يتبعان المعامل الذي أعطته المسألة، ولا يثبتان سببًا ميكانيكيًا مثل التمدد أو الضغط من غير معلومات مستقلة.
قارن معاملًا أصغر واحتفظ بمعنى المقام
اخترa=0.98 معc=3 وطرفي القطعة نفسيهما. القراءة الأولى4.96 والثانية10.84، فيكون الفرق5.88 سم. الإزاحة المشتركة ألغاها الطرح مرة أخرى، لكن هذا الفرق يساوي0.98×6. إذا قسمت5.88 على0.98 رجعت إلى6 في النموذج. لا تجعل الفرق الأصغر دليلًا أن القطعة نفسها قصرت؛ أبقينا إحداثييها ثابتين وغيرنا خريطة القراءة فقط، لذلك يتعلق التغيير بما يعرضه النموذج من قيم.
يمكن جمع الحالات في جدول: تحتa=1 يعطيc=0 القراءتين2 و8، ويعطيc=3 القراءتين5 و11، والفرق6 في كليهما. تحتa=1.02 وc=3 يصبح الفرق6.12، وتحتa=0.98 وc=3 يصبح5.88. أعداد الجدول ليست أربع تجارب على قطعة واحدة، بل أربع علاقات افتراضية مستقلة. لا نحسب متوسط فروقها ثم نقدمه طولًا مقاسًا أو دليلًا على تكرارية جهاز، لأننا لم نجر قياسًا أصلًا.
وحدةa مهمة في قراءة العلاقة. جعلناه نسبة بين قيمتين بوحدة طول واحدة، لذلك يكون العدد1.02 بلا وحدة في هذا النموذج. إذا اختلفت وحدةr عنx فسيتطلب وصف المعامل مراجعة، ولا يجوز نقل القيم الرقمية نفسها دون توحيد الوحدات. أماc فيضاف إلى قراءة طول، فيجب أن يتفق معها في الوحدة. فحص هذه الأسماء والوحدات يسبق أي تفسير عملي لتصحيح فرق أو مقارنة علاقة بأخرى.
غير الإزاحة بين القراءتين
كان شرط الإلغاء أن تدخلc نفسها في القراءتين. نختار الآنa=1، لكن الإزاحة عند الطرف الأيسر3 وعند الطرف الأيمن3.1 سم. تصبح القراءة الأولى2+3=5 والثانية8+3.1=11.1، والفرق6.1 سم. طول القطعة في النموذج لم يتغير عن6، لكن بقي فرق بين الإزاحتين يساوي0.1. لا يصح أن نشطب الحدين المختلفين في الجبر لمجرد أننا سميناهما إزاحة في موضعين من الدفتر.
إذا كتبنا الإزاحتينcL وcR تصبح العلاقة rR−rL=aL+(cR−cL). عندما تكونان متساويتين يكون الحد الأخير صفرًا. وعندما تختلفان يمكن أن يزيد الفرق أو ينقص وفق إشارته. إذا جعلنا الإزاحة الثانية2.9 بدل3.1 مع بقاء الأولى3، فالقراءتان5 و10.9 والفرق5.9. الأرقام تختبر حالات معلنة، ولا تثبت أن اختلاف الإزاحة سببه حركة أو حرارة أو خلل معين في أداة فعلية.
في مسألة قياس فعلية قد تحتاج إلى معرفة ظروف القراءة قبل اعتماد فرض الإزاحة المشتركة، لكننا لم نجر تلك المهمة هنا. يمكنك في تمريننا مراجعة قيمة كل إزاحة مباشرة لأنها معطاة. لا نضيف لفظ «مشتركة» إلى القيمتين المختلفتين ثم نستنتج طولًا صحيحًا من طرحهما. اسم الحالة لا يغني عن مساواة المعاملات التي استعملناها، كما أن قراءة صحيحة عند طرف واحد لا تضمن نموذج القراءة عند الطرف الآخر.
افصل حذف حد مشترك عن تصحيح القياس كله
إلغاءc في النموذج r=a×x+c عملية جبرية محددة. لا يثبت أن ميل العلاقةa يساوي1، ولا أن العلاقة نفسها صالحة لكل موضع نختاره. إذا ذكرت فقط «طرحنا البداية من النهاية فأزلنا الخطأ» فقد تكون العبارة أوسع من الحساب الذي أجريته. في حالةa=1.02 رأينا أن الفرق حافظ على أثر المقياس رغم إزالة الإزاحة. لذلك نسمي ما حذفناه وما بقي بدل استعمال كلمة الخطأ بوصفها كمية واحدة لا تحتاج وصفًا.
كما لا يزيل الطرح تلقائيًا كل اختلاف بين قراءتين. يمكنك إضافة مقدارين افتراضيينeL وeR إلى العلاقة نفسها، وعندئذ يضاف إلى الفرقeR−eL. إذا اخترناهما متساويين يلغيان بعضهما، وإذا اخترناهما مختلفين يبقى الفرق. هذا وصف حسابي لمقدارين معلنين، وليس نموذجًا احتماليًا أو طريقة لتقدير عدم يقين أداة. لا ننسب إليهما استقلالًا أو توزيعًا أو فرصة إلغاء معينة لأننا لم نعط هذه البيانات.
الفرق بين القياس والتعديل مهم في قراءة مثالنا. استخدمنا معاملات مفترضة لحساب قيمة داخل نموذج، ولم نحرك علامات مسطرة أو نعدّل جهازًا أو نصدر شهادة بأن قراءاته أصبحت صحيحة. المرجع الذي ذكره المصدر يساعد على المقارنة، أما المعادلة والأعداد فهي اختيارات هذا التدريب. لا نقدم التصحيح العددي هنا بوصفه وصفًا لخدمة معايرة مكتملة، ولا نستنتج من وجود مرجع معروف أن كل المؤثرات اختفت من القياس.
استرجع معاملي النموذج من مرجعين افتراضيين
نعطي الآن مرجعين داخل مسألة خطية مفترضة: عندx=0 القراءةr=3، وعندx=10 القراءةr=13.2. من الأولىc=3، ومن فرق القراءتينa=(13.2−3)/(10−0)=1.02. إذا استخدمنا هذين المعاملين مع طرفي القطعة2 و8، نسترجع القراءتين5.04 و11.16، والفرق6.12 الذي درسناه. تعرفنا إلى المعاملين لأن المسألة أعلنت نموذجًا خطيًا، لا لأن نقطتين مهما كان نوع العلاقة تفرضان صحته في كل مكان.
يمكن إجراء الحساب دون أن يكون أحد المرجعين عند الصفر. اختر نقطتين من العلاقة نفسهاx=2 وx=8، وقراءتين5.04 و11.16. نحصل علىa=(11.16−5.04)/(8−2)=1.02، ثمc=5.04−1.02×2=3. المرجعان هنا إحداثيان مختلفان؛ لو كانا عند الموضع نفسه فلن يحدد فرق الموضع معاملًا بهذه القسمة. لا تقسّم على صفر أو تعتبر قراءتين مكررتين للموضع ذاته مرجعين يغطيان المدى.
يجوز أن تختلف نقطة الأصل التي تستعملها، لكن احتفظ بالوحدة وتعريفx وr مع كل قيمة. إذا كان المرجع بالسنتيمتر والقراءة بالمليمتر فلا تنقل1.02 من هذا الجدول دون تحويل وتحديد المعامل. وإذا كانت للمرجع أو القراءة حدود معرفة في حالة فعلية، فإن معاملًا مستخرجًا منها يحتاج إلى معالجة تناسب تلك الحالة. في مثالنا الأرقام معرفة بدقة للتمرين فقط، لذلك لا نضيف إليها خانات بوصفها شهادة دقة تجريبية.
لا تثبت خطية المجال بمرجعين فقط
نكتب نموذجًا بديلًا باستخدام القيم العددية للإحداثيات والقراءات بالسنتيمتر: r=1.02x+3+0.01x(x−10). عندx=0 يكون الحد الإضافي صفرًا، وعندx=10 يكون صفرًا أيضًا. لذلك يعطي النموذج البديل المرجعين3 و13.2 نفسهما اللذين أعطتهما العلاقة الخطية. لكن عندx=5 يكون الحد الإضافي−0.25، فيعطي القراءة7.85 بدل8.1. اتفاق نقطتين لا يستبعد هذه العلاقة المختلفة بينهما.
اخترنا الصيغة والأعداد لتقديم مثال مقابل، ولم نرصد انحناءً في تدريج حقيقي. وإذا كتبت العلاقة بوصفها علاقة بين كميات ذات وحدات، فإن معامل الحد الذي يحتوي مربع طول يجب أن يحمل وحدة مقلوب طول مناسبة؛ أما هنا فنحسب القيم العددية بعد تحديد السنتيمتر كوحدة للمدخل والمخرج. لا نستعمل هذا المثال سببًا فيزيائيًا لتغير الأداة، بل نبين أنه توجد خريطة أخرى تتفق عند المرجعين وتختلف عند مواضع أخرى.
إذا أضفت مرجعًا ثالثًا عندx=5 في التمرين، فإن القراءتين8.1 و7.85 تميزان النموذجين المحددين اللذين كتبناهما. لكن لا تحول ذلك إلى قاعدة أن ثلاثة مراجع تثبت كل علاقات القياس الممكنة عالميًا. يمكن أن تبقى أشكال أخرى أو حدود للمدى لم نعطها. نحتاج إلى فروض أو بيانات ملائمة للمشكلة التي ندرسها. هنا كانت غايتنا إظهار حد استنتاج الخطية من مرجعين، لا تصميم خطة معايرة لأداة.
قد يصح فرق واحد رغم اختلاف النموذج
عندx=2 يكون الحد غير الخطي0.01×2×(2−10)=−0.16. وعندx=8 يكون0.01×8×(8−10)=−0.16 أيضًا. لهذا تعطي الخريطة البديلة القراءة4.88 عند الطرف الأول و11.00 عند الثاني، فيبقى الفرق6.12. ولو قسمناه على معامل الخط المفترض1.02 لوجدنا6. صارت نتيجة طول هذه القطعة صحيحة في التمرين رغم أن القراءتين المفردتين لم توافقا الخط الذي استخرجناه من المرجعين.
نغير طرفي القطعة إلىx=1 وx=7، مع بقاء طولها الحقيقي6. الحد الإضافي عند1 يساوي−0.09، وعند7 يساوي−0.21. القراءتان في النموذج البديل3.93 و9.93، والفرق6.00. إذا عالجناهما بمعامل1.02 المستخرج من المرجعين حصلنا على6/1.02=100/17، نحو5.88235 سم، لا6. هذا الفرق ناتج من اختلاف الحد الإضافي بين الطرفين في نموذجنا، وليس تقريبًا بسيطًا لأرقام المثال.
الرسم الثاني يعرض الحد الإضافي وحده لتمييز أثره: صفر عند المرجعين0 و10، وقيمتان متساويتان عند2 و8، وقيمتان مختلفتان عند1 و7. لا تجعل نجاح قطعة واحدة برهانًا أن التصحيح مناسب لكل قطعة في كل موضع. لقد احتفظنا بطول6 مرتين، لكن موضعي طرفيها تغيرا. هذا مثال على أن قراءة النتيجة مع المكان والنموذج تعطي معنى أوسع من فحص هل وافق عدد واحد ما نريده.
تدرب على التصحيح مع الوحدات
التدريب الأول: نموذجr=x−2، وطرفان عندx=4 وx=9 سم. القراءتان2 و7، والفرق5، وهو الطول الحقيقي9−4. الإزاحة السالبة المشتركة تلغى كما تلغى الإزاحة الموجبة؛ لا نضيف2 إلى الفرق مرة أخرى. التدريب الثاني: نموذجr=1.05x+2 مع الطرفين نفسيهما. القراءتان6.2 و11.45، والفرق5.25، وتصحيحه بالقسمة على1.05 يعطي5. الأمثلة جديدة ولا تصف أداة اختبرناها.
في التدريب الثالث نحتفظa=1.05، لكن نجعل إزاحة الطرف الأول2 والثاني2.2. تصبح القراءة الثانية11.65، والفرق5.45. القسمة على1.05 وحده لا تعيد5، لأنها لم تزل فرق الإزاحتين0.2. إذا كانت هذه القيم معطاة فعلًا في المسألة نطرح0.2 من الفرق ثم نقسم على1.05، فنحصل على5. لا تستخدم0.2 تصحيحًا لأي حالة جديدة إذا لم تُذكر إزاحتاها أو مصدر لمعرفة الفرق بينهما.
تأكد من الوحدة في كل خطوة. الفرق0.2 سم يساوي2 ملم، والفرق5.25 سم يساوي52.5 ملم. إذا قسمت52.5 على1.05 حصلت على50 ملم، وهو5 سم. لا تطرح رقمًا بوحدة السنتيمتر من رقم بالمليمتر قبل توحيدهما، ولا تغير معنى المعامل أثناء الحساب. التحويل لا يجعل مثالنا تجربة قياس؛ إنه يبين أن طريقتين متسقتين في الوحدة تعيدان القيمة نفسها تحت العلاقة المختارة.
| الحالة | القراءتان: سم | الفرق: سم | النتيجة عند استعمال المعطيات الصحيحة |
|---|---|---|---|
| r=x−2، من4 إلى9 | 2 و7 | 5 | 5 سم |
| r=1.05x+2، من4 إلى9 | 6.2 و11.45 | 5.25 | 5 سم بعد القسمة على1.05 |
| a=1.05، إزاحتان2 و2.2 | 6.2 و11.65 | 5.45 | 5 سم بعد طرح0.2 ثم القسمة |
اقرأ الرسمين بحسب المحاور التي يعرضانها
الرسم الأول يقارن العلاقةr=x بالعلاقتينr=x+3 وr=1.02x+3، مع موضعي القطعة2 و8. الخطان ذوا المعامل1 مختلفان في الإزاحة، ومع ذلك يعطيان فرق6. والخط ذو المعامل1.02 يعطي6.12. يظهر معه عرض للفارقr−x حتى يسهل رؤية الإزاحة الثابتة والتغير الإضافي في المقياس؛ هذا الفارق ليس طول القطعة، بل مقدار اختلاف القراءة عن الإحداثي الذي اخترناه عند موضع واحد.
الرسم الثاني يركز على الحد0.01x(x−10) في النموذج البديل. قيمته السالبة بين المرجعين لا تعني طولًا سالبًا للقطعة؛ إنها إضافة إلى القراءة في الصيغة المعلنة. تقرأ فرق إضافتي الطرفين لتعرف أثره على فرق القراءات. تساوي القيمتين عند2 و8 ألغى هذا الحد من فرق تلك القطعة، بينما اختلافهما عند1 و7 أبقاه. لا تفسر المنطقة أو اللون بوصفهما احتمالًا أو مقدار عدم يقين تجريبي.
المحاور والأرقام في الصورتين بالسنتيمتر للقيم العددية التي حددناها. لا تقيس قطعة بوضعها على الرسم المعروض في الهاتف، لأن تكبير الصورة وتصغيرها لا يحافظان على وحدة مسطرة مطبوعة معتمدة. كما لا تثبت العلامات الرقمية وحدها أن أداة حقيقية تسلك هذه الخرائط. الصور تساعد على مراجعة حساباتنا، ويظل كل استنتاج مرتبطًا بالفروض التي كتبت بجوار المعادلات والمجال.
اختم بسؤال محدد ونتيجة مشروطة
في الحالة الخطيةr=a×x+c، ومع إزاحةc مشتركة ووحدة متسقة، يكون فرق القراءتينaL. إذا كانa=1 أعطى الطول، وإذا كانa معلومًا موجبًا أمكن استرجاعL بالقسمة عليه. وإذا اختلفت الإزاحتان بقي فرق بينهما يحتاج إلى بيانات أخرى. هذه نتائج جبرية للنموذج، ولا تثبت أن الطرح أصلح جميع أسباب اختلاف قراءة أداة عن قيمة مرجعية. اكتب الشروط مع الجواب حتى لا يبدو حكمًا عامًا على أي مسطرة.
عند استخدام مرجعين افتراضيين تذكر أننا استخرجنا معاملي خط مفترض، ولم نثبت خطية كل المدى. قد تتفق خريطة غير خطية عند المرجعين، وقد يعطي طرفان فرقًا صحيحًا بينما يفشل التصحيح لطرفين آخرين بالطول نفسه. لهذا سجّل مواضع المرجع والطرفين والوحدة وشكل العلاقة والمعاملات التي استخدمتها. إذا تغيرت هذه البيانات فراجع الحساب الجديد بدل اعتماد نتيجة صادفت أن نجحت في موضع سابق.
جميع القيم والخطوط والتمارين هنا مؤلفة، وليس لدينا تقرير معايرة أو شهادة لأداة أو اختبار لمتعلمين. أخذنا من المصدر فكرة المقارنة بمرجع معلوم، أما المعادلة الخطية والنموذج البديل وحساباتهما فهي أمثلة هذه المقالة. لا ننسبها إلى المختبر بوصفها صيغة قدمها أو إجراء أوصى به لخدمة معينة. نتيجة العمل هي تفسير ما يلغيه الطرح داخل النماذج المعلنة، وحدود استخدام ذلك التفسير في سؤال آخر.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.