![رسم أصلي لست قيم متساوية التباعد في[0,1] بفجوات1/5، وست قيم داخل(0,1) من0.01 إلى0.99 بفجوات0.196، مع طرفين مفرغين للفترة المفتوحة.](/static/article-images/bf21b833eadf2c36232adff8b0fbf06e0bda876766ddcb8153ca126988395750.webp)
إذا عرفت أن ست قيم حقيقية دقيقة تقع في فترة طولها واحد، فكم يمكن أن يبلغ فرق أقرب زوج؟ سنرتب القيم ونجمع خمس فجوات، ثم نقارن الفترة المغلقة بالمفتوحة. وسنختبر معنى الحد بمثال مساواة ومثال قريب منه، دون الخلط بين ترتيب السطور وترتيب القيم.
الخلاصة السريعة
لست قيم دقيقة في[0,1] يوجد زوج فرق قيمتيه≤1/5. بعد الفرز توجد خمس فجوات مجموعها≤1، فلا يمكن أن تكون جميعها أكبر من1/5. إذا استبعدت الفترة طرفًا واحدًا على الأقل صار أقرب فرق<1/5، لكن لا يلزم أن يكون≤0.19.
- أقرب فرق بين أي موضعين يساوي أصغر فجوة متجاورة بعد الترتيب، لأن فرق غير المتجاورين مجموع فجوات غير سالبة. قد تتكرر قيمة أو يتساوى أكثر من زوج في الحد الأدنى.
- القيم0 و0.2 و0.4 و0.6 و0.8 و1 تحقق أقرب فرق0.2. المساواة في[0,1] تفرض المدى1 والفجوات الخمس المتساوية، ولا يحق استبدال الضمان بعلامة أصغر من.
- الأسرةε+i(1−2ε)/5 داخل(0,1) تعطي فجوة(1−2ε)/5. عندε=0.01 تكون الفجوة0.196، أصغر من0.2 وأكبر من0.19؛ يمكن الاقتراب من0.2 دون بلوغه.
- في القائمة0.9،0.1،0.5،0.2،0.7،0.3 أصغر فرق أصلي مجاور0.3، وبعد الفرز0.1. الرسم يقارن ارتفاع القيم عند مواضعها؛ المطلوب فرق القيم لا طول الخط المائل أو زمن الحركة.
- قيم فعلية من−0.04 إلى1.04 بفجوات0.216 تعرض0،0.2،0.4،0.6،0.8،1 بتقريب اخترناه. الطرفان الفعليان خارج[0,1]، فلا يناقض ذلك البرهان الذي يشترط العضوية الدقيقة.
- عامًا،n≥2 قيم في فترة مغلقة طولهاL تعطي أقرب فرق≤L/(n−1). لست قيم في[−2,1] الحد0.6؛ طول صفر يفرض التساوي إذا سمح بالتكرار، وعنصر واحد لا يكوّن زوجًا.
- حد الوجود لا يسمي زوجًا مجهولًا. سجل العدد والفترة وشمول الطرفين ودقة القيم، ثم افحص الحد والمثال الذي يبلغه أو يقترب منه؛ جميع الأعداد والصور هنا مؤلفة.
حدّد الفترة ودقة القيم
يعرف مرجع ماث وورلد الفترة المغلقة بأنها تشمل طرفيها، والمفتوحة بأنها لا تشملهما، ونصف المفتوحة بأنها تشمل أحدهما فقط. سنستعمل هذه المعاني لفترة ذات طرفين منتهيين، ونقارن ست قيم حقيقية داخلها. المصدر يدعم معنى العضوية والرموز، أما حد قرب القيم وإثباته والأمثلة العددية فسننشئها ونحسبها في هذه المقالة. [1]
نبدأ بقائمة من ست قيم حقيقية دقيقة في[0,1]. يعني ذلك أن كل قيمة لا تقل عن الصفر ولا تتجاوز الواحد، مع السماح بأن تساوي أحد الطرفين. لا نفترض أن القيم مختلفة؛ إذا تكرر عدد في موضعين، فهما عنصران من القائمة وفارق قيمتيهما صفر. المقصود بالزوج موضعان مختلفان، وبالمسافة بين قيمتيهما الفرق المطلق على خط الأعداد، لا المسافة بين نقطتين مرسومتين في مخطط ذي محورين.
نعرف عدد القيم والفترة، لكننا لا نعرف عناصر القائمة الفعلية. لذلك سيكون جوابنا حدًا مضمونًا على فرق أقرب زوج، وليس تسمية زوج بعينه قبل وصول القيم. سنثبت أن هذا الفرق لا يتجاوز خمس الوحدة، أي1/5 أو0.2. ثم نفحص هل يمكن تحسين الحد لكل القوائم، وما يتغير إذا استبعدنا طرفًا من الفترة أو قرأنا حدود العضوية من أرقام مقربة.
رتّب القيم ثم عدّ الفجوات
سم القيم بعد ترتيبها تصاعديًاx1 وx2 وx3 وx4 وx5 وx6، بحيث0≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤1. بين هذه القيم خمس فجوات: x2−x1، ثمx3−x2، ثمx4−x3، ثمx5−x4، ثمx6−x5. كلها غير سالبة لأننا رتبنا القائمة. ست قيم لا تعطي ست فجوات داخلية؛ كل فجوة تحتاج إلى قيمتين متجاورتين، ولذلك يكون العدد أقل بواحد من عدد القيم.
عند جمع الفجوات تلغى الحدود الداخلية: يظهرx2 مرة موجبة ومرة سالبة، وكذلكx3 وx4 وx5. يبقى المجموعx6−x1، وهو طول المدى الفعلي للقائمة، ولا يتجاوز واحدًا بسبب العضوية في[0,1]. لا نقول إن المجموع يساوي واحدًا دائمًا؛ قد تكون أصغر قيمة أكبر من صفر وأكبر قيمة أصغر من واحد. الفترة تحتوي القائمة، لكنها لا تجبرها على استعمال كل طولها.
هذه الكتابة تمنع خطأين شائعين في الحساب: استعمال عدد القيم مقامًا لعدد الفجوات، وافتراض أن طرفي الفترة هما أصغر وأكبر قيمتين في كل قائمة. نستعمل خمسة لأن الفجوات الداخلية خمس، ونستعمل علامة لا يتجاوز عند مقارنة مداها بطول الفترة. سيكون تحقق المساواة حالة خاصة نفحص شروطها لاحقًا، ولا نضعها في بداية البرهان بوصفها معلومة وصلتنا عن القيم المجهولة.
استخرج الحد من مجموع خمس فجوات
لو كانت الفجوات الخمس كلها أكبر من1/5، لكان مجموعها أكبر من واحد. لكننا أثبتنا أن مجموعها لا يتجاوز واحدًا، فيستحيل هذا الافتراض. إذن توجد فجوة لا تتجاوز1/5 بين قيمتين متجاورتين بعد الترتيب. هذا يكفي لإثبات وجود زوج قريب ضمن الحد المطلوب. لم نحتاج إلى معرفة توزيع احتمالي للقيم أو إلى تجربة بحث عشوائي عنها؛ الاستنتاج يتبع من العدد والعضوية والترتيب.
ويمكن وصف الفكرة بالمتوسط الحسابي للفجوات: متوسطها(x6−x1)/5 لا يتجاوز1/5، فلا تكون كل فجوة أكبر من متوسطها. لكننا لا نستنتج أن كل الفجوات لا تتجاوز1/5؛ قد توجد فجوة كبيرة وأخرى صغيرة تعوضها في المجموع. الحكم يخص وجود فجوة مناسبة، ومن ثم فرق أقرب زوج. الحفاظ على كلمة توجد أو أقرب يمنع تحويل الضمان المحدد إلى حكم على كل زوج في القائمة.
إذا عرفت قائمة فعلية، تستطيع حساب أصغر الفجوات الخمس وتسمية مواضعها. أما قبل معرفة القائمة، فالبرهان يضمن زوجًا دون اختيار اسمي قيمتين بعينهما. لا نقول إن القيمتين الأولى والثانية بعد الترتيب هما الأقرب دائمًا؛ قد تقع أصغر فجوة في الوسط أو قرب النهاية، وقد تتساوى عدة فجوات في القيمة الدنيا. الضمان العددي لا يضيف ترتيبًا خاصًا للزوج الذي سيحقق هذا الحد.
لماذا يكفي فحص المتجاورين بعد الترتيب؟
خذ قيمتين غير متجاورتين في القائمة المرتبة. الفرق بينهما يساوي مجموع الفجوات الداخلية الواقعة من الأولى إلى الثانية، وكل حد في هذا المجموع غير سالب. لذلك لا يستطيع هذا الفرق أن يكون أصغر من أصغر فجوة في القائمة كلها. وبما أن أصغر فجوة نفسها فرق زوج متجاور، فإن أصغر فرق بين أي موضعين يساوي أصغر فجوة متجاورة بعد الترتيب. هذا يربط البرهان بسؤال أقرب زوج لا بسؤال تجاور محدود فقط.
إذا تكررت قيمة، تظهر فجوة صفرية بين نسختين متجاورتين بعد الترتيب، فيكون أقرب فرق صفرًا. وإذا اشترط السؤال أن القيم الست مختلفة، تصير الفجوات موجبة، ويبقى البرهان والحد1/5 صحيحين. لا يحتاج إثبات الحد إلى افتراض الاختلاف، لكن عليك قراءة هذا الشرط عندما تريد إنشاء مثال أو وصف تحقق الصفر. تكرار القيمة لا يجعلنا نستخدم الموضع نفسه مرتين؛ نختار موضعين يحملان عددًا واحدًا.
ولا تكفي مجاورة المواضع في ترتيب الإدخال الأصلي، لأن قيمته قد تصعد وتهبط بين السطور. الترتيب التصاعدي هو الذي جعل كل فرق متجاور غير سالب وكل فرق أوسع مجموعًا للفجوات. إذا حسبت الفروق المطلقة بين سطور الأصل فقط، فقد تفوت زوجًا قريبًا لم يظهر في سطرين متجاورين. سنعرض قائمة محددة يكشف فيها الفرق بين الترتيبين لماذا كانت خطوة الفرز جزءًا من الحجة وليست مجرد تحسين لشكل الجدول.
اعرض حالة المساواة في الفترة المغلقة
اختر القيم0 و0.2 و0.4 و0.6 و0.8 و1. توجد بينها خمس فجوات كل منها0.2، وأي زوج غير متجاور فرق قيمتيه مضاعف أكبر أو مساوٍ لهذه الفجوة. لذلك أقرب فرق يساوي1/5 بالفعل. لا يصح تقوية نتيجة الفترة المغلقة إلى أقل من1/5 على كل قائمة، لأن هذا المثال يحقق الحد بالمساواة. كما لا يصح استبدال الحد العام بعدد أصغر مثل0.19؛ جميع أزواج هذه القائمة تبعد0.2 أو أكثر.
تحقق المساواة يفرض هذه الصورة في قائمة الوحدة المغلقة، حتى لو عرضنا عناصرها بترتيب آخر. فإذا كان أصغر فرق1/5، كانت الفجوات الخمس كلها لا تقل عنه، فيكون مجموعها لا يقل عن واحد. ومع الحد الأعلى للمجموع، يلزم أن يساوي واحدًا وأن تكون كل فجوة1/5. ويلزم كذلكx1=0 وx6=1؛ لو ضاع جزء من طول الفترة عند أحد الطرفين لكان المدى أصغر من واحد. بذلك حددت المساواة القيم المرتبة كلها.
تعرض الصورة الأولى هذه الحالة في سطر[0,1] بنقاط الطرفين المشمولين والفجوات الخمس. وجود أسهم متساوية في السطر يصف القائمة التي أنشأناها فقط، ولا يقرر أن كل قائمة في الفترة موزعة بالتساوي. قيمة الحد أصبحت دقيقة لأننا أثبتنا الضمان أولًا، ثم أعطينا مثالًا يبلغه. لا يكفي مثال واحد بالمساواة لإثبات أن جميع القوائم الأخرى تحتوي زوجًا قريبًا؛ ذلك جاء من البرهان السابق.
استبعد طرفًا فتحصل على حد صارم
إذا كانت القيم الست داخل الفترة المفتوحة(0,1)، فإنx1>0 وx6<1، فيكونx6−x1<1. لو كانت الفجوات الخمس كلها لا تقل عن1/5، لكان مجموعها لا يقل عن واحد، وهذا يخالف المدى الصارم الجديد. إذن توجد فجوة أصغر من1/5، ويكون فرق أقرب زوج أصغر منه أيضًا. الفرق بين يشمل الطرفين ولا يشملهما يظهر هنا في نوع علامة الحد، لا في عدد الفجوات.
ويكفي استبعاد طرف واحد للنتيجة الصارمة. في[0,1) تكون أكبر قيمة أقل من واحد وأصغرها لا تقل عن صفر، وفي(0,1] تكون أصغرها أكبر من صفر وأكبرها لا تتجاوز واحدًا. في الحالتين المدى الفعلي أصغر من واحد، فيسير برهان الفجوات نفسه. لا نحتاج إلى جعل الفترة مفتوحة من الجهتين كي نقوي علامة لا يتجاوز إلى أصغر من، لكن علينا أن نعرف العضوية الدقيقة في الفترة المعطاة.
لا يعني الحد الصارم وجود مسافة ثابتة إضافية تفصل جميع القوائم عن1/5. قد تكون أقرب فجوة أقل من0.2 بمقدار صغير جدًا، ويتغير هذا المقدار بتغير القائمة. لذلك نفصل بين قول كل قائمة لها أقرب فرق أصغر من0.2 وقول كل القوائم لها أقرب فرق لا يتجاوز0.19 مثلًا. الثانية أقوى، وسننشئ قيمًا داخل الفترة المفتوحة تكشف أنها غير مضمونة في سؤالنا.
اقترب من الحد المفتوح دون بلوغه
اختر عددًاε يحقق0<ε<1/2، ثم أنشئ ست قيم على الصورةε+i(1−2ε)/5، حيثi يأخذ0 و1 و2 و3 و4 و5. أصغر قيمةε وأكبرها1−ε، فكلها داخل(0,1). الفجوات الخمس متساوية وقيمتها(1−2ε)/5، وهي أصغر من1/5 لكلε موجب. وإذا جعلناε قريبًا من صفر من الجهة الموجبة، اقتربت الفجوة من1/5 دون أن تتحقق المساواة.
عندε=0.01 تصبح القيم0.01 و0.206 و0.402 و0.598 و0.794 و0.99، وكل فجوة0.196. هذا أقل من0.2 لكنه أكبر من0.19، فينفي وجود ضمان عام بأن أقرب فرق لا يتجاوز0.19 لكل ست قيم في الفترة المفتوحة. نستعمل أعدادًا دقيقة في المثال، ويمكن كتابة الفجوة49/250 دون تقريب. الصورة الأولى تقابل هذا السطر المفتوح بسطر المساواة المغلق لتبين الفرق في الطرفين والفجوات.
يمكن وصف1/5 بأنه حد أعلى يمكن الاقتراب منه لأقرب فرق في الفترة المفتوحة، مع عدم بلوغه في أي قائمة منها. أما في المغلقة فهناك قائمة تبلغه كما عرضنا. لا نجعل عبارة الاقتراب معلومة عن قائمة ثابتة تغير قيمها من تلقاء نفسها؛ لدينا أسرة قوائم جديدة باختياراتε مختلفة. كل اختيار يعطي ست قيم منتهية محددة، ولا نعتمد على فكرة وضع قيمة عند طرف مستبعد ثم تسميتها داخل الفترة المفتوحة.
اختبر الترتيب الأصلي بمثال مضاد
اختر القائمة0.9 و0.1 و0.5 و0.2 و0.7 و0.3 بهذا الترتيب. الفروق المطلقة بين المواضع المتجاورة في ترتيب الإدخال هي0.8 و0.4 و0.3 و0.5 و0.4، وأصغرها0.3. إذا اكتفيت بها، قد تظن أنه لا يوجد زوج بفارق لا يتجاوز0.2، رغم أن القيم الست كلها داخل الفترة المغلقة. الخطأ هنا في مجموعة الأزواج التي فحصتها، لا في عضوية القيم أو في برهان الحد.
بعد الفرز تصبح القائمة0.1 و0.2 و0.3 و0.5 و0.7 و0.9، وفجواتها0.1 و0.1 و0.2 و0.2 و0.2. أصغر فرق0.1، وتحققه قيمتا0.1 و0.2 وكذلك0.2 و0.3. هذان زوجان قريبان من قيم لم تكن متجاورة في السطور الأصلية بالضرورة. لم نغير أي قيمة لنجعل البرهان صحيحًا؛ أعدنا ترتيب القائمة فقط، ثم استعملنا الفجوات التي تتوافق مع الحجة.
الرسم الثاني يعرض قيمة كل عدد عند موضعه في القائمة قبل الفرز وبعده. المحور الأفقي رقم موضع، والرأسي قيمة العدد، وخط الوصل يساعد على رؤية ترتيب العرض. المسافة التي نبحث عنها هي الفرق بين القيم على المحور الرأسي، وليست طول قطعة مائلة بين نقطتين في هذا المخطط. ولا يمثل خط الوصل مسارًا في الزمن أو قياس حركة. تسمية المحورين تحمي سؤال القرب في خط الأعداد من قراءة هندسية لا تخصه.
| الحالة المؤلفة | أصغر فرق بين متجاورين في الأصل | أصغر فرق بعد الفرز | ما يثبت |
|---|---|---|---|
| القائمة0.9،0.1،0.5،0.2،0.7،0.3 | 0.3 | 0.1 | الفرز لازم للفحص المتجاور |
| القيم0،0.2،0.4،0.6،0.8،1 | 0.2 | 0.2 | المساواة ممكنة في المغلقة |
| مثالε=0.01 داخل(0,1) | 0.196 | 0.196 | الحد صارم لكن0.19 غير مضمون |
لا تستخرج العضوية الدقيقة من عرض مقرب
لنفترض أن شاشة تعرض القيم بعد التقريب إلى أقرب منزلة عشرية واحدة. أنشأنا قيمًا فعلية أخرى هي−0.04 و0.176 و0.392 و0.608 و0.824 و1.04. تباعدها متساوٍ وقيمته0.216، أي أكبر من0.2. لكنها تعرض بالأعداد0 و0.2 و0.4 و0.6 و0.8 و1 تحت قاعدة التقريب التي اخترناها. لا توجد حالات تعادل في هذه الأعداد تتطلب اختيار سياسة خاصة لرفع النصف.
هذا المثال لا يناقض البرهان، لأن أصغر قيمة فعلية أقل من صفر وأكبرها أعلى من واحد. الذي وقع هو استنتاج عضوية القيم الدقيقة في[0,1] من عرضها المقرب، وهي معلومة لا يضمنها ذلك العرض وحده. لو كانت العضوية الدقيقة معطاة مستقلة في السؤال لبقي حد0.2 صحيحًا مهما اختلفت طريقة إظهار الأعداد. أعد فحص الشرط الأصلي الذي بنيت عليه مجموع الفجوات، ولا تغير البرهان لتوافق معلومة لم تكن دقيقة.
كل الأعداد المقربة هنا مؤلفة، ولم نختبر جهازًا أو نستنتج مقدار خطأ حساس. الغرض أن نميز المثال الدقيق من الصورة المختصرة التي قد تخفي تجاوز الطرفين. إذا كان المطلوب معالجة أرقام معروضة فقط، فصرح بقاعدة العرض وبما تعرفه عن المجال الحقيقي قبل استعمال حد الفترة. لا تجعل العلامة المفرغة أو الممتلئة في رسم منشور دليلًا مستقلًا على أن القيم الأصلية كانت داخل الفترة من دون هذه المعلومات.
عمّم العدد والطول مع حفظ الشروط
إذا كانت لديناn قيم حقيقية في فترة مغلقة طولهاL، حيثn عدد صحيح لا يقل عن اثنين، فبعد الترتيب توجدn−1 فجوة داخلية غير سالبة. مجموعها لا يتجاوزL، ولذلك يكون أصغر فرق بين قيمتين لا يتجاوزL/(n−1). هذه الصيغة تعيد برهاننا نفسه مع تغير العدد والطول، ولا تستعملn في المقام بدل عدد الفجوات. والمقصود بالزوج موضعان مختلفان في القائمة، وقد توجد عدة أزواج تحقق الحد الأدنى نفسه.
مثلًا، لست قيم في[−2,1] يكون طول الفترة ثلاثة، فيصبح الحد3/5=0.6. وتحقق القائمة−2 و−1.4 و−0.8 و−0.2 و0.4 و1 المساواة. الإزاحة السالبة للفترة لا تغير طولها أو الفروق، فلا نحتاج إلى أن تبدأ الفترة بالصفر. وإذا كانت أربع قيم في فترة طولها واحد، صار المقام ثلاثة والحد1/3. نحسب العدد والطول المعلنين في كل سؤال بدل نقل خمس الوحدة إلى جميع القوائم.
إذا كان طول الفترة المغلقة صفرًا، مثل[4,4]، فلا يوجد فيها إلا القيمة أربعة. مع السماح بالتكرار تكون جميع عناصر القائمة أربعة وأقرب فرق صفرًا. أما اشتراط ست قيم مختلفة في هذه الفترة فيجعل الشروط غير ممكنة. وإذا أعطي عنصر واحد فقط، فلا يوجد زوج أصلًا كي نحسب أقرب فرق؛ شرطn≥2 يسبق الصيغة. هذه الحالات تساعد على قراءة حدود التعميم دون إسناد مسافة إلى سؤال لا يملك قيمتين.
اكتب بطاقة فحص تميز الحد والزوج
ضع في البطاقة عدد القيم، وطرفي الفترة، ونوع شمول الطرفين، وما إذا كانت القيم دقيقة أو مجرد أرقام معروضة بالتقريب. ثم اكتب عدد الفجوات بعد الفرز ومجموعها ومدى القائمة الفعلي إذا كانت عناصرها معروفة. إذا كان المطلوب ضمان وجود زوج، فاذكر الحد وما يثبته دون تسمية عنصرين مجهولين. وإذا كانت القائمة متاحة، فاحسب أصغر الفجوات واحتفظ بمواضع القيم الأصلية عند الإبلاغ عن الزوج.
راجع أيضًا هل يريد السؤال أصغر فرق بين أي قيمتين أم بين سطرين متجاورين في ترتيب الإدخال. المثال غير المرتب أعطى0.1 للأول و0.3 للثاني، وهما جوابان لسؤالين مختلفين. وإذا وجدت أكثر من فجوة دنيا، فاذكر أن أقرب زوج غير وحيد بدل حذف أحد الحلول دون تفسير. لا تحتاج إلى إعادة كتابة كل الأزواج الخمسة عشر في قائمة الست قيم إذا كان الفرز يسمح بفحص الخمس المجاورة بصورة صحيحة.
في التعليل، ابدأ بجمع الفجوات ثم استخرج الضمان، وبعد ذلك افحص دقته بمثال المساواة أو الأسرة التي تقترب منه. هذا يفصل إثبات أن الحد يعمل من إثبات أنه لا يمكن تحسينه على جميع القوائم. وفي الحالة المفتوحة، احتفظ بالفرق بين علامة صارمة وبين ضمان أصغر ثابت؛ مثال0.196 يوضح ذلك مباشرة. الرسوم تساعد على المقارنة لكنها لا تمنح قياسات أو شروطًا جديدة غير التي صرحت بها.
احتفظ بالقيم والشروط في النتيجة
لست قيم دقيقة في[0,1]، يوجد زوج فرق قيمتيه لا يتجاوز1/5. السبب أن الفرز يعطي خمس فجوات مجموعها لا يتجاوز واحدًا، وأن أقرب فرق يساوي أصغر هذه الفجوات. تتحقق المساواة بالقيم المتساوية التباعد التي تبدأ بالصفر وتنتهي بالواحد، بينما يؤدي استبعاد طرف واحد على الأقل إلى حد صارم. لكن الفترة المفتوحة لا تعطي ضمان0.19، لأن أسرة القوائم يمكن أن تقترب من0.2 من دونه.
الترتيب الأصلي لا يكفي للفحص المتجاور، والقراءة المقربة وحدها لا تثبت العضوية الدقيقة في الفترة. وتكرار قيمة يتيح فرقًا صفريًا بين موضعين، بينما يتطلب تعميمL/(n−1) وجود قيمتين على الأقل وقراءة الطول والعدد كما وردا. هذه نتائج عن فروق حقيقية في خط الأعداد؛ لم نقيس المسافات المائلة في مخطط مواضع القائمة أو نفترض توزيعًا احتماليًا للقيم داخل المجال.
المرجع يدعم معنى الفترة وشمول طرفيها، أما مجموع الفجوات والأمثلة والحدود وشروط المساواة والأرقام المقربة والرسومان فحسابات أصلية لهذه المقالة. لم ننقل شكل المصدر أو نتعامل مع مخطط من قياسات فعلية. نتيجة المراجعة هي حد قريب مضمون تحت شروط واضحة، مع فصل ما نعرفه عن العدد والمجال من القيم التي لا تزال مجهولة. عندما تتغير تلك الشروط، نعيد فحص المدى والفجوات قبل استعمال العلامة العددية السابقة.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: معنى الفترة وشمول الطرفين (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.