trace: هل يسمح بتبديل ترتيب العوامل كيفما اتفق؟

حدد ما تجمعه

trace تجمع القطر الرئيسي عند offset=0 لمدخل ثنائي الأبعاد. [1]

نقصد ABC حاصل ضرب المصفوفات (A@B)@C، لا حاصل الضرب عنصرًا بعنصر. عواملنا A=[[5,2],[0,−3]]، وB=[[0,1],[2,0]]، وC=[[2,0],[1,1]]. سنقارن ترتيب العوامل مع إبقاء القطر الرئيسي والأبعاد نفسها.

الثلاثة مربعة وبالحجم 2×2. جميع ترتيباتها الستة تقبل الضرب في التجربة؛ لا نفسر الفرق بخطأ في صلاحية الأبعاد. وهذا ليس تغيير الأقواس مع الحفاظ على A ثم B ثم C.

حاصلان، وأثران مختلفان

ضربنا المرجعي الصحيح يعطي AB=[[4,5],[−6,0]]. بإكماله مع C نحصل على ABC=[[13,5],[−12,0]]، ثم نجمع 13+0=13.

أما AC=[[12,2],[−6,−3]]، وإكماله مع B يعطي ACB=[[4,12],[−6,−3]]. هنا نجمع 4+(−3)=1. لم نجمع كل العناصر؛ بقي الاختيار هو القطر الرئيسي.

على NumPy 2.3.5 وCPython 3.12.14، طابقت الحواصل المرصودة هذه القوائم الصحيحة. أعادت trace القيمتين 13 و1. فالقول إن الأثر يسمح بأي ترتيب يناقض مثالنا، رغم نجاح استدعاءات الضرب كلها.

النقل الدوري له قاعدة محددة

في النقل الدوري ننقل العامل الأول إلى النهاية: ABC يصبح BCA، ثم CAB. أعطانا التشغيل BCA=[[5,−1],[20,8]] وCAB=[[8,10],[−2,5]]. قطراهما يعطيان 5+8=13 و8+5=13. تتساوى الآثار هنا دون تساوي الحواصل.

نبرهن السبب في حساب دقيق لمصفوفات مربعة من الحجم نفسه. أثر ABC هو مجموع aᵢⱼ bⱼₖ cₖᵢ على الفهارس i وj وk كلها. أثر BCA هو مجموع bᵢⱼ cⱼₖ aₖᵢ. أعد تسمية فهارس المجموع الأول بصورة دورية، ثم رتب عوامل كل حاصل عددي؛ تحصل على المجموع الثاني. وبنفس الخطوة تصل إلى CAB.

هذه إعادة تسمية لفهارس مجموع كامل؛ لا تعطي حرية تبديل B وC داخل حاصل المصفوفات. في مثالنا كان ACB وCBA وBAC ذا أثر 1، مقابل 13 للمجموعة الدورية الأولى. لا نحول الهوية الدقيقة إلى ضمان تطابق كل تشغيل عائم.

التحكم وحدود الفحص

استعملنا عائلة A=[[p,2],[0,q]]، وB=[[0,1],[r,0]]، وC=[[2,0],[1,1]]. الضرب الصحيح يعطي أثر المجموعة ABC/BCA/CAB مساويًا 4r+p، وأثر ACB/CBA/BAC مساويًا 2r+q. الفرق 2r+p−q، وهو معيار اتفاق المجموعتين في هذه العائلة فقط.

في التحكم p=1 وq=3 وr=1، الفرق صفر؛ جميع الآثار الستة تساوي 5، مع حواصل كاملة مختلفة. الاتفاق في هذه الحالة لا ينسخ جواب المثال الرئيسي p=5 وq=−3 وr=2، الذي فرقُه 12.

فحصنا 27 ثلاثية من p∈{−2,1,5}، وq∈{−3,2,6}، وr∈{−2,1,3}. اتفقت المجموعتان في واحدة، واختلفتا في 26. المثال الرئيسي والتحكم خارج هذه الشبكة وفحصناهما منفصلين: 29 حالة وثماني مجموعات تحقق لكل حالة، أي 232 فحصًا.

قارنا الحواصل الستة كاملة بمرجع من حلقات Python وأعداد صحيحة، ثم الآثار والصيغ، والأشكال والأنواع وبقاء بايتات المدخلات. لم نستعمل ضرب NumPy أو trace لصنع المرجع. الأعداد صغيرة وint64؛ لم نفحص الفيض أو العائم أو المركب أو الدفعات أو out أو الزمن.