فانا الخيار: هل تغير التقلب يحرك السعر أم دلتا؟

ميزي متغير الحساسية عن ناتج الحساب

يكتب ويستوب دلتا مشتقة للقيمة بالنسبة لسعر الأصل، وفيغا مشتقتها للتقلب، وفانا مشتقتها المختلطة للسعر والتقلب. ويمكن قراءة الأخيرة كتغير حساسية دلتا مع التقلب، مع ثبات المدخلات الأخرى. [1]

سننشئ دالة تعليمية لها مدخلان متغيران. الأول حركة نقدية لسعر الأصل نسميها «سين»، والثاني فرق في التقلب نسميه «فاء» ونقيسه بالنقاط المئوية. قيمة البداية خمسة، وتحتوي الدالة على أربعة إضافات: أربعة أعشار سين، واثني عشر جزءًا من مئة فاء، وجزء من مئة حاصل ضرب سين وفاء، وجزأين من مئة مربع سين. كل المعاملات من اختيارنا، ولا تمثل بيانات عقد أو ناتج معايرة سوق.

يمكن كتابة الدالة بصورة مختصرة: P = 5 + 0.4s + 0.12v + 0.01sv + 0.02s². الحرف الأول حركة الأصل عن بدايته، والثاني حركة التقلب عن عشرين بالمئة. نثبت بقية ما قد يحتاجه عقد فعلي خارج هذا التمرين؛ لم نعط سعر تنفيذ أو تاريخ انتهاء أو طريقة تسوية. لذلك لا ينبغي اعتبار الصيغة نموذج تسعير خيار صالحًا للتطبيق، حتى إذا كانت مشتقاتها وحساباتها واضحة.

فائدتها أنها تضع مكونات يمكن فصلها والتحقق منها. يظهر في مشتقتها بالنسبة لسين مقدار أربعة أعشار، مضافًا إليه جزء من مئة فاء وأربعة أجزاء من مئة سين. نسمّي هذا الناتج دلتا الدالة. وباشتقاقه بالنسبة لفاء يبقى جزء من مئة، وهو معامل فانا فيها. الاسم يحدد أي ناتج يتغير وأي مدخل نحرك، بدل تحويل كل رقم حساسية إلى مبلغ نقدي مباشرة.

حركي التقلب وحده أولًا

نعطي التقلب الابتدائي عشرين بالمئة، ثم نرفعه إلى ثلاث وعشرين، مع إبقاء سين صفرًا. فرق التقلب ثلاث نقاط مئوية، فتكون فاء ثلاثة. دلتا الابتدائية أربعة أعشار، وتصبح بإضافة ثلاثة أجزاء من مئة ثلاثة وأربعين جزءًا من مئة. أي أن تغيرها ثلاثة أجزاء من مئة، لا ثلاث نقاط نقدية ولا ثلاثة بالمئة من قيمة الخيار.

أما السعر في الدالة نفسها، فينتقل من خمسة إلى 5.36، لأن حد اثني عشر جزءًا من مئة فاء يضيف ستة وثلاثين جزءًا من مئة. الحد المختلط يساوي صفرًا هنا لأن سين صفر، وحد مربع سين صفر أيضًا. يمكن إذن أن يتغير السعر وتتغير دلتا بمقدارين مختلفين في السيناريو نفسه. الثلاثة أجزاء من مئة تخص دلتا، والستة والثلاثون تخص قيمة الدالة.

ولو خفضنا التقلب بدلًا من ذلك من عشرين إلى سبع عشرة بالمئة، كانت فاء سالب ثلاثة. تصبح دلتا سبعة وثلاثين جزءًا من مئة، وينخفض السعر إلى 4.64 في دالتنا. هذا فرع مستقل عن حالة الارتفاع، فلا نجمع التغيرين بوصفهما حدثين فعليين. لم نراقب سوقًا أو نختبر تنبؤًا، بل عوضنا مدخلين متعاكسين في القاعدة التي اخترناها.

ولا تعني إشارة فانا الموجبة هنا أن قيمة الخيار ترتفع دائمًا أو أن دلتا موجبة في كل حالة ممكنة. نتيجتنا المحددة هي اتجاه تغير دلتا عند تحريك فاء في هذه الدالة مع تثبيت سين. نحتاج قيمة البداية وبقية الحدود قبل وصف مستوى الحساسية أو حركة السعر، ولا نستخرج تلك المعلومات من إشارة المشتقة المختلطة وحدها.

اكتبي وحدة التقلب بجوار فانا

الانتقال من عشرين بالمئة إلى ثلاث وعشرين يكتب بثلاث صور مختلفة المعنى. فرق المستويين ثلاث نقاط مئوية، وفرق التمثيل العشري 0.03، والزيادة النسبية إلى مستوى العشرين خمسة عشر بالمئة. في بطاقتنا عرفنا فاء بالنقاط المئوية، ولذلك نضرب معامل جزء من مئة في ثلاثة، لا في الفرق العشري ولا في الخمسة عشر.

إذا أردنا التعبير عن مشتقة دلتا بالنسبة لوحدة عشرية كاملة من التقلب، يتغير الرقم العددي للحساسية. المعامل جزء من مئة لكل نقطة مئوية يعادل واحدًا لكل وحدة عشرية كاملة، لأن الوحدة الكاملة تحتوي مئة نقطة. ضرب الواحد في 0.03 يعطي تغير دلتا نفسه 0.03. تغيير وحدة المدخل يقتضي تغيير وحدة المعامل على نحو يحافظ على حاصل الضرب.

أما إبقاء فانا 0.01 ثم ضربها في 0.03، فيعطي 0.0003، أقل بمئة مرة من تغير دلتا الصحيح في المثال. هذا ليس اختلاف نموذجين أو تحسنًا في الدقة؛ إنه خلط وحدتي عرض. وبالمثل، استعمال خمسة عشر بوصفه عدد نقاط التقلب سيدخل الزيادة النسبية إلى مستوى البداية مكان الفرق الذي عرفناه، ويعطي أثرًا لا يخص هذه الحركة.

احتفظي باسم متغير التقلب وتمثيله وتوقيت البداية والنهاية عند نقل القيمة من تقرير إلى آخر. لا يكفي أن يتشابه اسم الحساسية أو عدد الخانات العشرية. نحن وحدنا تعريفًا تعليميًا محددًا؛ لم نفحص اتفاقية منصة بعينها، ولذلك لا نفترض أن حقلًا يحمل اسم فانا في أي نظام يستخدم الوحدة التي اختارها مثالنا.

افصلي الأثر المختلط عند تحرك الأصل أيضًا

ننتقل إلى سين تساوي اثنتين وفاء تساوي ثلاثًا. حد حركة الأصل الخطية يضيف 0.8، وحد التقلب المنفرد يضيف 0.36. ويضيف مربع حركة الأصل 0.08، بينما يضيف حاصل ضرب الحركتين 0.06. مجموع الإضافات 1.3، فيكون السعر النهائي 6.3 بدل خمسة. كل هذه الحدود موجودة صراحة في دالتنا، فلا نحتاج نسبة الباقي إلى سبب مجهول.

إذا اكتفينا بحساسيتي السعر الابتدائيتين، سنجمع 0.8 و0.36 فقط، فنحصل على 6.16. وحتى إذا أضفنا حد مربع سين وصار التقدير 6.24، يبقى الفرق 0.06. سبب الباقي هنا الحد المختلط الذي يجمع حركة الأصل وحركة التقلب، وليس خطأ جمع أو عمولة أو فرق تنفيذ. لم نضع مصروفات أو تعاملًا نقديًا في الدالة حتى نسميه أيًا من ذلك.

ومن زاوية دلتا، رفع التقلب أولًا جعلها 0.43 عند سين صفر بدل 0.4. ضرب هذه الحساسية في حركة الأصل اثنتين يعطي 0.86 بدل 0.8، بفارق 0.06 نفسه. ثم يظل حد مربع سين لازمًا لنتيجة الدالة الكاملة؛ تحديث دلتا بسبب التقلب لا يلغي أثر تغيرها مع حركة الأصل. هذا تفسير لتركيب الصيغة، لا وصف لمسار تداول نفذناه.

والأهم ألا نضيف الحد المختلط مرتين. إذا استعملنا دلتا المحدثة بالتقلب في هذا الفرع، فقد دخلت مساهمة 0.06 ضمن حاصل ضربها في حركة الأصل. إضافة المقدار نفسه مرة ثانية إلى الناتج ستكرر الأثر. ينبغي تحديد نقطة تقييم كل حساسية والخطوات التي اشتمل عليها الحساب، بدل جمع كل الأرقام التي تحمل أسماء مألوفة دون مراجعة نطاقها.

قارني أربعة سيناريوهات متسقة

يمكن كشف الحد المختلط بمربع من الحالات. البداية، بلا حركة للمدخلين، قيمتها خمسة. حركة الأصل وحده إلى سين اثنتين تعطي 5.88، وحركة التقلب وحده إلى فاء ثلاث تعطي 5.36، وتحركهما معًا يعطي 6.3. نجمع الحالة المشتركة والبداية، ونطرح الحالتين المنفردتين، فيبقى 0.06. بهذه المقارنة تلغى الحدود التي تخص حركة واحدة دون الأخرى في دالتنا.

وقسمة الباقي على حاصل ضرب الحركتين، اثنتين في ثلاث، تعيد 0.01. يساوي هذا فانا التي حسبناها بالمشتقة لأن الحد المختلط في صيغتنا بسيط وثابت المعامل. لا نعمم التطابق الدقيق على دوال أخرى عبر مسافات محدودة؛ فقد تختلف الحساسية داخل المجال. كذلك لا يعطينا عرض حالتين فقط قيمة الأركان الأخرى المفقودة مهما بدت النتيجتان متقاربتين.

وفي التطبيق الحسابي لهذا المربع، يجب تثبيت تعريف المدخلين وبقية الشروط بين الأركان. لو غيرنا عاملًا ثالثًا في الحالة المشتركة فقط، لم يعد الفرق المتبقي معزولًا للأثر الذي أردنا فحصه. لا نسمي أي فرق غير مفسر فانا قبل مراجعة ما اختلف بين الحالات، ولا نعوض الأركان غير المعروفة بأصفار حتى نكمل عملية الطرح.

ضعي حدودًا لما يستنتجه المثال

لو عرض علينا تقرير أن دلتا ارتفعت من 0.4 إلى 0.43 دون بقية المدخلات، فلن نستنتج منه وحده أن التقلب ارتفع ثلاث نقاط. في دالتنا، تغير سين يمكنه تحريك دلتا أيضًا، فحركة أصل قدرها ثلاثة أرباع وحدة مع ثبات فاء ترفع دلتا بالمقدار نفسه. تشابه الناتج لا يثبت تشابه السبب، حتى داخل صيغة نعرفها بالكامل.

ولنفرض تحرك الأصل بهذه الثلاثة أرباع والتقلب بالنقاط الثلاث معًا. تصبح دلتا ستة وأربعين جزءًا من مئة، أي تزيد ستة أجزاء من مئة عن البداية. قسمة هذه الزيادة كلها على فرق التقلب تعطي جزأين من مئة، بينما فانا الدالة جزء واحد من مئة. سبب المبالغة أن تغير الأصل ساهم بنصف زيادة دلتا ولم نثبته في المقارنة. إذا فصلنا مساهمته المعروفة في الدالة، بقيت زيادة التقلب ثلاثة أجزاء من مئة، وبقسمتها على نقاطه الثلاث نعيد المعامل الصحيح. لا نستنتج إمكانية فصل مماثل من سجل ناقص؛ هنا استطعنا ذلك لأننا عرفنا الصيغة والمدخلات، لا لأن قسمة أي فرقين مرصودين تكفي لحساب مشتقة جزئية.

كذلك لم نحسب عدد عقود أو مضاعفًا أو مركز أصل مقابلًا لنقرر عملية تحوط. انتقال حساسية الوحدة إلى تعرض مركز يحتاج بياناته وتعريف وحداته، وهذه المعلومات خارج بطاقتنا. لا يثبت المثال أن طرفًا في السوق سيشتري أو يبيع مقدارًا معينًا عند تغير التقلب، ولا يقدم تنبؤًا بتدفق صفقات أو سعر إغلاق.

تبدأ المراجعة بتسمية الناتج المطلوب: سعر أم دلتا. ثم نحدد مدخل التقلب ووحدته، وما الذي ثبت، ونقطة تقييم الحساسية، وما إذا كنا جمعنا الأثر المختلط مسبقًا. بهذه الأسئلة يظل حساب فانا واضحًا ومحدودًا، دون تحويل دالة اخترعناها لتفسير المشتقات إلى دليل على نموذج سوق أو ربح أو اتجاه مقبل.