حين تتغير مشاهدة واحدة قد يبقى الوسيط ثابتًا أو يتغير، بحسب موضعها بعد الترتيب. سنثبت بقية القيم ونتابع مشاهدة متغيرة في قائمتين أصليتين، ثم نقرأ رسم النتيجة ونحل السؤال العكسي: ما القيم التي تحقق وسيطًا معينًا؟ الأمثلة حسابية مؤلفة وليست بيانات قياس.
الخلاصة السريعة
رتب المشاهدات لكل مجال من القيمة المتغيرة، ثم تابع الخانة الوسطى أو متوسط الخانتين الوسطيتين؛ تغير المدخل وحده لا يضمن تغير الوسيط. [1]
- في قائمة 2 و5 و9 و14 وt: الوسيط 5 عندما t≤5، ويساوي t بين 5 و9، ويثبت عند 9 عندما t≥9.
- في قائمة 1 و4 و7 و10 و13 وt: الوسيط 5.5 عندما t≤4، ويساوي (t+7)/2 بين 4 و10، ويثبت عند 8.5 عندما t≥10.
- الحدود متصلة: التعويض في الأجزاء المجاورة يعطي النتيجة نفسها. القيم المتساوية تبقى مشاهدات مستقلة؛ لا تحذف تكرارها.
- طلب الوسيط الفردي 7 يعطي t=7؛ طلب 5 يعطي كل t≤5، وطلب 9 يعطي كل t≥9. طلب 10 لا يملك حلًا لهذه القائمة.
- طلب الوسيط الزوجي 7.5 يعطي t=8؛ طلب 5.5 يعطي كل t≤4، وطلب 8.5 يعطي كل t≥10. طلب 9 مستحيل هنا.
- افحص مجال t؛ القيد الصحيح أو غير السالب قد يضيق الحلول. تغيير مشاهدة مع عدد ثابت يختلف عن إضافتها أو حذفها وعن تحويل القائمة كاملة.
- في التمرينين الجديدين: الفردي -2 و3 و8 و11 وt يثبت عند 3 و8؛ الزوجي 0 و2 و6 و12 و15 وt يثبت عند 4 و9، ووسطه (t+6)/2.
ثبت ما يتغير في القائمة
توضح ورقة mathcentre أن الوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب الأعداد تصاعديًا، وأنه متوسط القيمتين الوسطيتين عندما يكون العدد زوجيًا. سنطبق هذه القاعدة على قائمتين مؤلفتين، مع إبقاء عدد المشاهدات ثابتًا وتغيير مشاهدة واحدة فقط. [1]
القائمة الأولى تتكون من القيم الثابتة 2 و5 و9 و14، ومعها قيمة خامسة نرمز إليها بالحرف t. ليست t اسمًا للوسيط، بل قيمة مشاهدة يجوز أن تتغير. عندما نضع مكانها عددًا معينًا نحصل على خمس مشاهدات مكتملة، ثم نرتبها ونحسب الوسيط. لذلك نميز منذ البداية بين المدخل المتغير t والنتيجة التي سنسميها M. هذه القيم للتدريب الحسابي، ولا تصف تجربة أو مسحًا أجري فعلًا.
نفترض أن جميع المشاهدات أعداد حقيقية منتهية ولها الأهمية نفسها في الحساب. لا توجد أوزان أو قيم مفقودة، ولا نحول الأعداد إلى فئات. إذا اخترنا وحدة مثل السنتيمتر فإن الأعداد كلها تتبع الوحدة نفسها؛ أما في الصيغ المجردة فيمكن اعتبارها قيمًا بلا وحدة. المجال الرياضي لـ t يشمل الأعداد السالبة والكسور، لكن مثال أطوال فعلية سيحتاج لاحقًا إلى قيد يمنع القيم السالبة، بحسب معنى السؤال.
افصل هوية المشاهدة عن رتبتها
يمكن تسمية المشاهدات الثابتة أ وب وج ود، وتسميتها المتغيرة هـ. الأسماء تظل ثابتة حين نرتب القيم، أما الرتبة فتتبع العدد الذي تحمله كل مشاهدة. إذا كانت هـ تساوي 1 تصبح في أول القائمة، وإذا صارت 20 تنتقل إلى آخرها. لا يعني هذا أننا أضفنا سجلًا أو أزلنا آخر. في الحالتين لا يزال لدينا خمس مشاهدات، ولكل منها هوية يمكن تتبعها قبل الترتيب وبعده.
هذه التفرقة تمنع خطأ شائعًا في مسائل المجهول: وضع t في منتصف السطر ثم افتراض أنها الوسيط لأنها كتبت ثالثة. السطر 2 و5 وt و9 و14 ليس ترتيبًا صحيحًا لكل t. يكون مرتبًا بهذه الصورة فقط إذا كانت t بين 5 و9 مع السماح بالتساوي. عند t=12 يجب أن يأتي العدد المتغير بعد 9، وعند t=3 يجب أن يأتي قبل 5. الكتابة التي اخترناها لا تلزم ترتيب القيم.
من المفيد أن ترسم خمس خانات مرقمة من الأول إلى الخامس، ثم تضع فيها القيم المرتبة لكل اختيار. المطلوب في القائمة الفردية هو قيمة الخانة الثالثة، وليس اسم المشاهدة التي تشغلها. قد تكون المشاهدة هـ في تلك الخانة، وقد تكون ب أو ج. وإذا تساوت مشاهدتان فإن ترتيب اسميهما المتساويين لا يغير قيمة الخانة؛ المهم ألا تسقط إحداهما من العد لمجرد أن العدد تكرر.
تتبع الفترة التي تسبق الخمسة
اختر أولًا t=1. تصبح القائمة المرتبة 1 و2 و5 و9 و14، والعدد الثالث هو 5. الآن اختر t=4، فتكون القائمة 2 و4 و5 و9 و14، والوسيط مرة أخرى 5. انتقلت المشاهدة المتغيرة من الخانة الأولى إلى الثانية، لكن قيمة الخانة الثالثة بقيت نفسها. لذلك لا يلزم أن يتغير الوسيط كلما تغير مدخل واحد، حتى عندما تختلف رتبته داخل جزء من القائمة.
لماذا يكفي الشرط t≤5 بدل فحص كل عدد على حدة؟ في هذه الفترة توجد ثلاث مشاهدات لا تزيد على 5: العدد 2، والعدد 5 نفسه، والعدد t. وتوجد مشاهدتان ثابتتان أكبر من 5 هما 9 و14. عند ترتيب المشاهدات الخمس لا يمكن أن تصبح القيمة الثالثة أكبر من 5، لأن لدينا ثلاث قيم لا تتجاوزها. ولا يمكن أن تصبح أصغر منها، لأن القيم الأصغر من 5 لا يزيد عددها هنا على اثنتين.
عند t=5 نحصل على 2 و5 و5 و9 و14. توجد مشاهدتان تحملان العدد 5، لكنهما تحتلان خانتين مستقلتين. القيمة الثالثة تساوي 5، فتدخل نقطة الحد في فترة الثبات. وإذا كانت t=-100 فإن القائمة تبدأ بـ -100 ثم 2 ثم 5؛ يظل الوسيط 5 في النموذج الرياضي نفسه. هذه نتيجة عن القائمة التي حددناها، وليست إذنًا بإدخال طول سالب في بيانات أطوال حقيقية.
حدد الفترة التي تتحرك فيها النتيجة
إذا كان 5<t<9 فإن ترتيب القائمة يصبح 2 و5 وt و9 و14. هنا تحتل المشاهدة المتغيرة الخانة الثالثة، ولذلك يكون M=t. عند t=6 نجد الوسيط 6، وعند t=7.5 نجد الوسيط 7.5. لا نجمع القيم الخمس ونقسمها على خمسة، لأن ذلك سيحسب متوسطها الحسابي. كذلك لا نأخذ متوسط 5 و9؛ القائمة تضم مشاهدة خامسة فعلية تقع بينهما وتستحق مكانها في الترتيب.
يمكن تفسير الحركة في هذه الفترة خطوة بخطوة. عندما نزيد t من 6 إلى 7 تبقى المشاهدتان 2 و5 قبلها، وتبقى 9 و14 بعدها. ما تغير هو العدد في الخانة الثالثة وحده، فتزداد النتيجة واحدًا أيضًا. هذا التطابق بين زيادة المدخل وزيادة الوسيط يخص الفترة الوسطى لقائمتنا. لا نمده إلى t=20، لأن المشاهدة المتغيرة عندئذ لم تعد في الخانة التي يعتمد عليها الوسيط.
عند الحد الآخر t=9 تصبح القائمة 2 و5 و9 و9 و14. القيمة الثالثة 9، كما أن التعويض في الصيغة M=t يعطي 9. إذن لا يوجد اختلاف في النتيجة عند وصل الفترة الوسطى بالفترة التالية. نستطيع كتابة الفترة الوسطى بشروط تشمل طرفيها، بشرط أن تعطي الصيغ المجاورة القيمة نفسها عند الطرفين. استخدام شروط لا تتداخل أسهل في جدول تعليمي، لكن التداخل المتفق ليس خطأ حسابيًا.
برهن الثبات بعد التسعة واقرأ الرسم
إذا كانت t أكبر من 9 فقد تأتي قبل 14 أو بعدها، لكن ترتيب أول ثلاث قيم لا يتغير: 2 ثم 5 ثم 9. عند t=12 تصبح القائمة 2 و5 و9 و12 و14، وعند t=100 تصبح 2 و5 و9 و14 و100. الوسيط 9 في الحالتين. تغيير آخر مشاهدة قد يغير أكبر عدد في القائمة، لكنه لا يغير القيمة الثالثة ضمن هذه الفترة. لا نقول إن المشاهدة الكبيرة اختفت؛ هي موجودة في موضع لا يحدد هذا الوسيط.
الرسم الأول يعرض المدخل t أفقيًا والنتيجة M رأسيًا. من اليسار يظهر جزء أفقي عند 5، ثم جزء مائل يصل النقطة (5,5) بالنقطة (9,9)، وبعده جزء أفقي عند 9. إذا أردت قراءة النتيجة عند t=7 فابدأ من 7 على المحور الأفقي، واصعد إلى الخط، ثم اقرأ 7 على المحور الرأسي. الرقم على محور المدخل والرقم على محور النتيجة متساويان هنا لأنك داخل الفترة المائلة.
عرض الرسم يقتصر على مجال من -5 إلى 20 لتبقى التفاصيل واضحة. الأجزاء الأفقية ليست مقصورة رياضيًا على حواف الصورة؛ الصيغة الأولى مستمرة لكل t≤5، والثالثة لكل t≥9 ضمن المجال المعلن للأعداد الحقيقية المنتهية. هذا رسم لقيم محسوبة، وليس سلسلة قياسات زمنية أو توزيع احتمال. المسافة الأفقية فيه تمثل فرق القيم المختارة لـ t، ولا تمثل عدد المشاهدات أو مرور الوقت.
انتقل إلى ست مشاهدات
ننشئ الآن قائمة ثانية مستقلة من القيم الثابتة 1 و4 و7 و10 و13، ومعها t. لدينا ست مشاهدات في كل اختيار. وفق قاعدة الوسط التي أعلنّاها نأخذ متوسط قيمتي الخانتين الثالثة والرابعة بعد الترتيب. قد تكون t إحدى هاتين القيمتين، وقد لا تكون. لا ننقل حدود 5 و9 من القائمة الأولى إلى هذه القائمة، لأن العناصر الثابتة والرتب المطلوبة تغيرت؛ يجب بناء ترتيب جديد.
عند t=0 تصبح القائمة 0 و1 و4 و7 و10 و13. الوسطيتان هما 4 و7، فيكون M=(4+7)/2=5.5. وعند t=3 تصبح القائمة 1 و3 و4 و7 و10 و13، فتظل الوسطيتان نفسيهما. إذا كانت t=4 نحصل على 1 و4 و4 و7 و10 و13؛ ما زالت الخانة الثالثة تحمل 4 والرابعة تحمل 7. لذلك يكون الوسيط 5.5 لكل t≤4، بما في ذلك الحد نفسه.
لاحظ أن 5.5 لا تظهر في أي من القائمتين المذكورتين. هذا لا يمنع أن تكون الوسيط، لأننا اخترنا قاعدة متوسط الوسطيتين للعدد الزوجي. لا نبحث عن مشاهدة تحمل النتيجة ولا نقربها إلى 5 أو6 لكي نجعلها أحد الأعداد. وإذا كانت القيم بالسنتيمتر فإن متوسط قيمتين بالسنتيمتر يبقى بهذه الوحدة. أما الرتبتان الثالثة والرابعة فهما موضعان بلا وحدة قياس، ولا نجمعهما لحساب الوسيط.
تابع الوسطيتين قبل السبعة وبعدها
عندما يكون 4<t<7 يصبح الترتيب 1 و4 وt و7 و10 و13. الوسطيتان t و7، ومن ثم M=(t+7)/2. وعندما يكون 7<t<10 يصبح الترتيب 1 و4 و7 وt و10 و13. تبدل موضع t مع العدد 7، لكن الوسطيتين ما زالتا العددين نفسيهما. متوسطهما لا يتغير بمجرد تبديل ترتيبهما، فتظل الصيغة M=(t+7)/2 صالحة في الفترتين.
عند t=7 نحصل على 1 و4 و7 و7 و10 و13. الوسطيتان متساويتان، والوسيط 7. التعويض في الصيغة المشتركة يعطي (7+7)/2=7، فيغطي الحد الداخلي أيضًا. لذلك نستطيع جمع الفترتين في عبارة واحدة: عندما تقع t بين 4 و10 يكون الوسيط (t+7)/2. السبعة نقطة يتبدل عندها موضع المشاهدة المتغيرة بين الخانتين، لكنها لا تستلزم تبديل صيغة النتيجة.
خذ t=8 مثالًا عدديًا: الوسطيتان 7 و8، فالوسيط 7.5. إذا زادت t إلى 9 صارت الوسطيتان 7 و9، والوسيط 8. الزيادة في المدخل كانت واحدًا، لكن النتيجة زادت نصفًا فقط؛ إحدى الوسطيتين تغيرت والأخرى بقيت 7. وإذا زادت t بمقدار 0.4 داخل الفترة نفسها، تزيد النتيجة 0.2. هذه العلاقة تصف هذا الجزء من الرسم ولا تشمل الأجزاء التي تثبت فيها الوسطيتان.
ثبت النهاية العليا وافحص الوصل
إذا كانت t≥10 فإن ترتيب القيم يجعل الخانة الثالثة 7 والرابعة 10. عند t=11 تكون القائمة 1 و4 و7 و10 و11 و13، وعند t=30 تكون 1 و4 و7 و10 و13 و30. في الحالتين M=(7+10)/2=8.5. وعند t=10 تتكرر العشرة، لكن الوسطيتين تبقيان 7 و10. إذن لدينا فترة ثبات ثانية تبدأ من 10 وتمتد إلى ما بعد الجزء المعروض في الرسم.
تحقق من الوصل عند 4: الصيغة الوسطى تعطي (4+7)/2=5.5، وهي قيمة الجزء الأفقي الأدنى. وعند 10 تعطي (10+7)/2=8.5، وهي قيمة الجزء الأفقي الأعلى. ليس هناك قفز بين الأجزاء. الرسم الثاني يوضح جزءًا مائلًا أقل انحدارًا من نظيره في القائمة الأولى عندما نستخدم المقاييس العددية نفسها للمحورين؛ الزيادة في M نصف الزيادة في t داخل الجزء المائل.
اقرأ النقطتين الملونتين على الرسم باعتبارهما حدود تغير الصيغة، لا قيمتين خارج نطاق القاعدة. الطرف عند 4 ينتمي إلى الثبات الأدنى، والطرف عند 10 إلى الثبات الأعلى، ويعطي التعويض في الجزء المائل القيمة نفسها في كليهما. إذا رسمت خطًا متقطعًا عموديًا من الحد إلى المحور فهو دليل قراءة فقط، وليس مشاهدة سابعة أو جزءًا إضافيًا من دالة الوسيط.
استرجع القيمة المجهولة من وسيط مطلوب
نعود إلى القائمة الفردية 2 و5 و9 و14 وt. إذا طلب السؤال وسيطًا يساوي 7، فنبحث في الفترات الثلاث. الفترة الأولى تعطي 5 فقط، والأخيرة تعطي 9 فقط، فلا تصلحان. في الفترة الوسطى M=t، ولذلك t=7. نتحقق بإعادة الترتيب: 2 و5 و7 و9 و14، وقيمتها الثالثة 7. الحل ليس نتيجة تخمين موضع t في السطر؛ إنه استبعاد للفترات غير المناسبة ثم تعويض داخل الفترة المناسبة.
إذا طلب السؤال وسيطًا يساوي 5، فالحل ليس t=5 وحده. كل t≤5 تعطي النتيجة المطلوبة: يمكن أن تختار 0 أو3 أو5 وتراجع الترتيب. وإذا كان المطلوب وسيطًا يساوي 9 فكل t≥9 حل، بما فيها 9 و12 و100. أما طلب وسيط يساوي 10 فلا يملك حلًا لهذه القائمة عندما تتغير t وحدها؛ أعلى قيمة تستطيع الخانة الثالثة بلوغها هي 9 مهما ارتفعت المشاهدة المتغيرة.
للقائمة الزوجية نريد M=7.5. في الجزء المائل نحل (t+7)/2=7.5، فنضرب الطرفين في اثنين ونحصل على t+7=15، ثم t=8. الشرط 4<t<10 متحقق، ونراجع أن الوسطيتين 7 و8. إذا طلبنا M=5.5 فالحلول t≤4؛ وإذا طلبنا M=8.5 فالحلول t≥10. طلب M=9 مستحيل هنا. حل المعادلة وحده لا يكفي؛ يجب أن يوافق الناتج شرط الجزء الذي استخدمناه.
أضف قيود السؤال إلى مجموعة الحلول
افترض أن t عدد صحيح من 0 إلى20. عند طلب وسيط فردي يساوي 5 تصبح الحلول 0 و1 و2 و3 و4 و5، بدل جميع الأعداد الحقيقية التي لا تزيد على 5. الصيغة الحسابية نفسها بقيت صحيحة، لكن المجال المسموح تقاطع مع مجموعة الحلول الأصلية. وإذا كان t عددًا صحيحًا مطلوبًا لوسيط زوجي 7.25، فإن المعادلة الوسطى تعطي t=7.5، وهو خارج مجال الأعداد الصحيحة؛ لا يوجد حل تحت هذا القيد.
إذا فرضت أن t طول غير سالب بلا قيد على كونه عددًا صحيحًا، فحل الوسيط الفردي 5 يصبح 0≤t≤5. أما إذا كان الطول يجب أن يكون موجبًا فنكتب 0<t≤5. اذكر الفرق بدل إخفائه في عبارة «كل قيمة صغيرة». ولا تختلق قيدًا عمليًا غير وارد في السؤال؛ في تمرين مجرد تكون القيمة السالبة مشروعة ما دام المجال الأعداد الحقيقية. المجال جزء من المسألة، لا تعديل تجريه لإجبار الجواب على عدد واحد.
يمكن أن يطلب السؤال تقريب الوسيط إلى منزلة عشرية بدل مساواته بدقة. هذا سؤال مختلف: قيمة مقربة مثل 7.5 قد تنتج عن أكثر من وسيط دقيق، بحسب قاعدة التقريب المعلنة. أمثلتنا تطلب مساواة دقيقة وتحسب حدودها دون تقريب. إذا أردت توسيعها إلى مجال تقريب، اكتب مجال النتائج المقبولة أولًا ثم استرجع قيم t المناسبة له؛ لا تعامل الرمز يساوي بوصفه قريبًا من بلا تصريح.
ميز التغيير الواحد من عمليتين مختلفتين
إضافة مشاهدة إلى القائمة الفردية ترفع العدد من خمسة إلى ستة وتغير الرتب المطلوبة، بينما استبدال قيمة المشاهدة الخامسة يبقي العدد خمسة. مثلًا عند t=20 تكون القائمة 2 و5 و9 و14 و20 ووسيطها 9. إذا أضفنا إليها 100 صار العدد ستة، وأصبحت الوسطيتان 9 و14، والوسيط 11.5. هذه نتيجة عملية أخرى؛ لا تصلح حجة لنقض فترة الثبات التي برهناها مع خمس مشاهدات.
الحذف مختلف أيضًا. إذا حذفنا 20 من القائمة السابقة بقيت 2 و5 و9 و14، والوسيط (5+9)/2=7. لم نخفض قيمة المشاهدة المتغيرة، بل أزلناها وغيرنا العدد إلى أربعة. يمكن أن تتشابه بعض النتائج مصادفة بين عمليتين، لكن العد يحدد القاعدة التي نطبقها. لذلك اكتب في ورقة الحل «استبدال مشاهدة مع بقاء العدد» أو «إضافة» أو «حذف» قبل الاستفادة من أي صيغة خاصة بمثال.
أما تغيير كل القيم بإضافة عدد ثابت إليها أو أخذ جذورها فينتمي إلى سؤال ثالث. هنا لم نغير القيم الثابتة أصلًا، ولذلك لا نستنتج أحكامًا عامة عن تحويل قائمة كاملة. وكذلك لا نستخدم ثبات الوسيط لإثبات صحة مشاهدة أو خطئها؛ الرسم يبين أثر اختيار عددي في ترتيب معلن. معرفة كيف قيس عدد في الواقع تحتاج معلومات عن سجله وطريقة القياس، وهي خارج تمريننا المؤلف.
تدرب على قائمة جديدة ثم راجع الحل
استخدم قائمة فردية جديدة من -2 و3 و8 و11 ومعها t. قبل قراءة الجواب، ضع t=-5 ثم t=6 ثم t=20، ورتب المشاهدات الخمس في كل مرة. ستجد الوسيط 3 ثم6 ثم8. الفترات الكاملة هي: M=3 عندما t≤3، وM=t عندما 3<t<8، وM=8 عندما t≥8. طلب وسيط 4 يعطي t=4، وطلب وسيط 8 يعطي كل t≥8، وطلب وسيط 2 لا يملك حلًا. الأعداد جديدة، لكن طريقة متابعة الخانة الثالثة باقية.
لتمرين زوجي خذ 0 و2 و6 و12 و15 ومعها t. عند t≤2 تكون الوسطيتان 2 و6، فالوسيط 4. بين 2 و12 تكون الوسطيتان t و6 بأي ترتيب، فالوسيط (t+6)/2. وعند t≥12 تكون الوسطيتان 6 و12، فالوسيط 9. إذا طلبت وسيطًا 8 فالحل t=10، وهو داخل الفترة الوسطى. وإذا طلبت وسيطًا 4.5 فالحل t=3. افحص كل جواب بإعادة ترتيب قائمته بدل الاكتفاء بالصيغة.
في نهاية الحل احتفظ بالقائمة الثابتة، وعدد المشاهدات، ومجال t، والرتبة أو الرتبتين المستخدمتين، وحدود الفترات. تحقق من نقاط التساوي لأن إسقاط مشاهدة مكررة يبدل المسألة. ثم اختبر قيمة داخل كل فترة وقيمة عند كل حد، وقارن النتيجة بالصيغة والرسم. هذه المراجعة لا تحل محل البرهان على كل فترة، لكنها تكشف أخطاء نقل الأرقام أو ترتيب القيم، وتترك للقارئ جوابًا محددًا يستطيع تتبعه خطوة بخطوة.
المصادر ومتابعة القراءة
- mathcentre: المتوسطات والوسيط والمنوال (يفتح في نافذة جديدة)mathcentre.ac.uk
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.