أمامك رسم لجذع، وصورتان لوجهين طويلين. تظهر خطوط متوازية في كليهما؛ فهل يكفي ذلك لتسميتهما المقطع نفسه؟ سنبدأ من موضع القطع بالنسبة إلى محور معلوم، ثم نتتبع ما سيظهر على الوجه. الفكرة ليست حفظ ثلاثة أسماء بجانب صور، بل بناء علاقة تستطيع استعادتها عند تغيير موضع الخط.
الخلاصة السريعة
- المقطع العرضي عمودي على محور الجذع؛ الشعاعي والمماسي موازيان له.
- في نموذجنا يمر المستوى الشعاعي بالمحور، بينما يبعد الآخر عنه ثلاث وحدات.
- اخترنا خمسة حدود دائرية بأنصاف أقطار 1 و 2 و 3 و 4 و 5؛ ليست سجل سنوات لشجرة.
- الخط المزاح لا يصل إلى الحدين الداخليين، ويلامس الثالث ويقطع الرابع والخامس.
- شكل الخطوط في وجه منفرد لا يعيد كل موضع القطع؛ احتفظ بعلامة المحور ومفتاح الرسم.
- لا تختبر هذه الهندسة نوع الخشب أو متانته أو جودة نشره.
اربط الاسم بالمحور أولًا
تعرّف محاضرة علوم الأخشاب بجامعة الموصل العرضي بأنه عمودي على محور الجذع، والشعاعي بأنه يمر باللب موازيًا للمحور، والمماسي بأنه موازٍ للمحور ومماس للحلقات دون المرور باللب. [1]
سنسمّي اتجاه طول أسطوانتنا z، ونرسم في نهايتها اتجاهين متعامدين x وy. عندما ننظر إلى هذه النهاية، يكون z خارج الصفحة نحو القارئ. لذلك لا تجعل «الرأسي على الهاتف» تعريفًا لاتجاه طول الجذع؛ قد تكون الصورة كلها مدارة، بينما تبقى العلاقة بين المحور والوجه كما هي.
في هذا التمرين يكفي أن تكتب ثلاث بطاقات: وجه النهاية عند z ثابت؛ وجه طويل يمر بخط المركز؛ ووجه طويل لا يمر به. نربط البطاقات بالرسم المعروف، ثم نستعمل الأسماء التشريحية. لن نجعل تخمين لون سطح مجهول بديلًا عن موضعه الذي أعطيناه في النموذج.
اصنع أسطوانة ذهنية ذات حدود واضحة
اخترنا أسطوانة نصف قطرها 5 وحدات وطولها 8. داخلها أربعة أسطح أسطوانية أخرى بأنصاف أقطار 1 و 2 و 3 و 4، تشترك كلها في المحور. الحدود رفيعة، ولا نعطيها سماكة أو لون خشب مبكر ومتأخر. اخترنا هذا التبسيط كي يصبح أثر كل مستوى قابلًا للرسم والحساب.
تظهر في وجه النهاية خمس دوائر متراكزة. معادلة أي واحدة منها x²+y²=r²، حيث r واحد من الأعداد الخمسة. تبقى هذه الدوائر نفسها عند كل ارتفاع z لأننا عرّفنا أسطوانات ثابتة القطر. لا نضيف تضيقًا نحو القمة أو عقدًا أو تموجًا لم ندخله في البيانات.
يمكنك إعادة الشكل بمسطرة وفرجار على ورقة، وجعل كل وحدة سنتيمترًا إن شئت. اكتب «نموذج» قربه، ثم ضع خطًا يمر بالمركز وآخر يبعد عنه 3 وحدات. النشاط رسم لخطة هندسية؛ لا يتطلب قطع جذع أو أخذ شريحة من شجرة حية.
مرّر الوجه الأول عبر المركز
نجعل الوجه الشعاعي في المستوى y=0. أثره على النهاية قطر أفقي يمر بالمركز. بالتعويض في معادلة الدائرة نحصل على x²=r²؛ فيظهر تقاطعان عند x يساوي r أو سالب r.
للحد ذي نصف القطر 2 مثلًا موضعان، عند −2 و 2. وحين نمد النظر على طول z من 0 إلى 8، يبقى كل موضع ثابتًا، فيصبح خطًا مستقيمًا على الوجه الطويل. لذلك يظهر في رسم هذا الوجه عشرة خطوط للحدود الخمسة: خمسة إلى كل جانب من خط المركز.
المسافة بين موضعي الحد الخامس 10 وحدات. وفي النصف الأيمن من الوجه تتباعد الحدود 1 و 2 و 3 و 4 و 5 بوحدة واحدة. هذه النتيجة تخص أنصاف الأقطار المتساوية الفرق التي اخترناها؛ لا تزعم انتظام المسافات في أي عينة خشبية.
ازح الوجه الثاني ثلاث وحدات
الوجه الثاني يقع عند x=3، ويمتد موازيًا للمحور z. أثره على النهاية خط رأسي في يمين الدوائر، ولا يمر بالمركز. إنه يلامس حد نصف القطر 3 عند النقطة التي فيها y يساوي صفرًا، ويقطع الحدين الأكبر منه.
هنا تصبح المعادلة 9+y²=r². إذا كان r أقل من 3 فلا يوجد تقاطع حقيقي: لا يصل المستوى إلى ذلك السطح الداخلي. وعند r يساوي 3 يوجد موضع واحد y يساوي 0. وعند 4 نحصل على y=±√7≈±2.646، وعند 5 نحصل على y=±4.
| نصف القطر | مواضع y على الوجه الثاني | عدد المواضع |
|---|---|---|
| 1 | لا تقاطع | 0 |
| 2 | لا تقاطع | 0 |
| 3 | 0 | 1 |
| 4 | −√7, +√7 | 2 |
| 5 | −4, +4 | 2 |
ينتج خمسة خطوط على الوجه الطويل الثاني، وعرض الوجه داخل الأسطوانة الخارجية 8 وحدات. أدرجنا خط التماس الأوسط مرة واحدة، لا مرتين؛ فالحلان عند الصفر يتطابقان. ولو عددت إشارتَي موجب وسالب على أنهما موضعان مختلفان عند الصفر، لخرج عدد زائد لا تراه في الرسم.
راجع ما حدث للتباعد
في يمين الوجه الثاني، المسافة من 0 إلى جذر 7 نحو 2.646، ثم من جذر 7 إلى 4 نحو 1.354. الحدود التي تباعدت شعاعيًا بوحدة واحدة لم تظهر بفواصل متساوية هنا. السبب في نموذجنا أن الخط المزاح يقطع الدوائر بمواضع مختلفة؛ لم نغير أنصاف الأقطار بين الرسمين.
وهذا يوضح خطأ عمليًا في قراءة الشكل: إذا وضعت مسطرة على الوجه الثاني ووجدت فجوة كبيرة ثم صغيرة، فلا تعيدهما إلى نصفَي قطر مختلفين قبل معرفة موضع الوجه. في ورقتنا نعرف الإزاحة 3، ولذلك نستطيع إعادة العلاقة r=√(9+y²). عند y يساوي 4 نستعيد نصف القطر 5.
لماذا لا تبدو رسومنا ككل ألواح الخشب؟
كل خط في الوجهين مستقيم لأن أسطح نموذجنا ثابتة القطر على طول z. لم نرسم نموذجًا مخروطيًا، ولهذا لا يصح أن نضيف أقواسًا مدببة على الوجه الثاني ثم نقول إنها خرجت من المعادلات نفسها. تغيير الصورة يحتاج تغيير النموذج الذي ولدها.
ولا نسمي الخطوط العشرة عشر حلقات؛ هي تقاطعان لكل حد واحد، على جانبي المركز. كذلك لا نحسب عمرًا من العدد 5: لقد اخترناه للرسم قبل أي مشاهدة. هذه نقطتان يمكن كشفهما بمقارنة صورة النهاية بالوجه الطويل، دون معلومات عن نوع شجرة.
اختبر قراءة جديدة دون إعادة حفظ الصور
غيّر إزاحة الوجه الثاني من 3 إلى 4. أي الحدود يصل إليه؟ الحدود 1 و 2 و 3 لا تلتقي به؛ الحد 4 يلامسه عند الصفر، والحد 5 يقطعه عند ±3 لأن 25−16=9. يصبح عرضه 6 وحدات وفيه ثلاثة خطوط للحدود. قارن النتيجة بحالة الإزاحة 3 قبل رسمها.
وإذا أعدت الإزاحة إلى الصفر، صار المستوى مارًا بالمحور، وتعود مواضع كل حد إلى موجب r وسالبه. بهذه الحركة ينتقل سؤالك من «ما اسم الخطوط؟» إلى «أين يقع الوجه؟». سجل المحور والموضع والحدود التي يتقاطع معها، ثم سمِّ المقطع؛ هذا ما يسمح لقارئ آخر بمراجعة رسمك.