قاعدة الأسطوانة: هل تفتح مسارًا أقصر من الجانب؟

أقصر مسار على جانب الأسطوانة وقاعدتها يتأثر بالسطوح المسموحة. [3]

الخلاصة السريعة

نعم، في مثالنا يوجد عبر القاعدة مسار أقصر من كل مسار جانبي. [2]

أسطوانة دائرية قائمة: R,H>0 منتهيان بالسنتيمتر، والقاعدة z=0. نقطتان متقابلتان P=(R,0,d),Q=(−R,0,d)، حيث 0<d<H. نسمح بمسارات متصلة ناعمة على أجزاء، دون عوائق. [3]
على الجانب وحده، أقل طول L_side=πR؛ يحققه نصف دائرة عند z=d. نصف المحيط، لا القطر، يصل الطرفين دون دخول الداخل. [1]
عبر قرص القاعدة: نزول d، وقطر 2R، وصعود d. طول المرشح L_base=2d+2R؛ نجمع أطوال أجزائه. [2]
إذا d<(π−2)R/2، فإن L_base<L_side؛ إذن أقل مسار جانبي يفقد أمثليته بعد توسيع السطح المسموح. هذا شرط كافٍ لهذه المقارنة. [2]
مثال مؤلف: R=6,H=20,d=2 سم. الجانب 6π≈18.849556 سم؛ عبر القاعدة 2+12+2=16 سم. المقارنة حسابية، دون تجربة أو عائق مفترض. [2]
لا نثبت أمثلية 16 سم على السطح كله؛ مساواة المرشحين أو فشل الشرط لا يحسم أقصر مسارات السطح الموسع. [2]

عين السطوح المسموحة

أسطوانة دائرية قائمة: R,H>0 منتهيان بالسنتيمتر، والقاعدة z=0. نقطتان متقابلتان P=(R,0,d),Q=(−R,0,d)، حيث 0<d<H. نسمح بمسارات متصلة ناعمة على أجزاء، دون عوائق. [3]

الجانب x²+y²=R²,0≤z≤H، والقرص x²+y²≤R²,z=0؛ القطر هنا على سطح القاعدة، لا داخل حجم الأسطوانة. [3]

أثبت الحد الجانبي

على الجانب وحده، أقل طول L_side=πR؛ يحققه نصف دائرة عند z=d. نصف المحيط، لا القطر، يصل الطرفين دون دخول الداخل. [1]

نتابع زاوية θ باستمرار؛ فرق الطرفين (2k+1)π لعدد صحيح k. السرعة √(R²θ′²+z′²)≥R|θ′|؛ بالتكامل L≥R|Δθ|≥πR. نصفا الدائرة يحققان الحد. [4]

أضف مسار القاعدة

عبر قرص القاعدة: نزول d، وقطر 2R، وصعود d. طول المرشح L_base=2d+2R؛ نجمع أطوال أجزائه. [2]

الحافتان A=(R,0,0),B=(−R,0,0). الأجزاء PA,AB,BQ متصلة، ولا تمر بالحجم الداخلي. [3]

استخرج شرطًا كافيًا

إذا d<(π−2)R/2، فإن L_base<L_side؛ إذن أقل مسار جانبي يفقد أمثليته بعد توسيع السطح المسموح. هذا شرط كافٍ لهذه المقارنة. [2]

نعيد ترتيب متباينة الطولين؛ لا نحصر جميع مسارات السطح الموسع. [2]

احسب المثال

مثال مؤلف: R=6,H=20,d=2 سم. الجانب 6π≈18.849556 سم؛ عبر القاعدة 2+12+2=16 سم. المقارنة حسابية، دون تجربة أو عائق مفترض. [2]

النسبة d/R=1/3 أصغر من (π−2)/2≈0.570796. نبقي π حتى التقريب. [2]

مقارنة طولين مع ارتفاع النقطتين — الأخضر مرشح، لا أقل طول للسطح كله. [2]

اقرأ حدود النتيجة

لا نثبت أمثلية 16 سم على السطح كله؛ مساواة المرشحين أو فشل الشرط لا يحسم أقصر مسارات السطح الموسع. [2]

فرد الجانب يحفظ أطواله؛ لا يحول قرص القاعدة إلى جزء من المستطيل. إضافة القاعدة العليا لا تلغي صلاحية المرشح السفلي. [3]

المراجع

راجع جانب الأسطوانة وقواعدها

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.