المتوسط التوافقي: لماذا لا تزيده الإضافة بالمقدار نفسه؟

الخلاصة السريعة

في مثال 4 و 10، إضافة 3 إلى المدخلين تعطي 91/10، أي 9.1، بينما إضافة 3 إلى المتوسط القديم تعطي 61/7، نحو 8.714. الفرق 27/70؛ لذلك زاد المتوسط بأكثر من 3 في هذا المثال.

• لعددين موجبين a و b، المتوسط التوافقي H = 2ab/(a+b)، وهو مقلوب المتوسط الحسابي لمقلوبيهما. [1] نتناول هنا قيمتين موجبتين، لا بيانات تحوي صفرًا.
• لعددين موجبين ومع إضافة ثابت c > 0 إليهما، المتوسط الجديد لا يقل عن H القديم زائد c. يكون أكبر إذا اختلف العددان، ويتساوى إذا كانا متساويين؛ البرهان التالي يحفظ حالة المساواة.
• في 4 و 10، مجموع المقلوبين 7/20، فيكون H=40/7. وفي 7 و 13، مجموع المقلوبين 20/91، فيكون H=91/10. طرح 61/7 من النتيجة الجديدة يعطي 27/70.
• فرق المقارنة يساوي كسرًا بسطه c(a−b)² ومقامه (a+b)(a+b+2c). للمدخلين الموجبين والإضافة الموجبة يكون المقام موجبًا؛ البسط يساوي 0 بالضبط عند a=b.
• للعددين 4 و 4، المتوسط 4؛ بعد إضافة 3 إليهما يصبح 7، وهو 4 + 3 تمامًا. وللمتوسط الحسابي في 4 و 10، النتيجتان 7 ثم 10؛ الزيادة 3 بالضبط.
• ضرب 4 و 10 في 2 يعطي 8 و 20 ومتوسطًا توافقيًا 80/7، أي ضعف 40/7. تغيير المقياس بالضرب يختلف عن الإضافة. ولا نستعمل 1/0 أو نحذف مدخلًا صفريًا من حساب المقلوبات.

نحسب المتوسط قبل الإضافة وبعدها من المقلوبات

مقلوبا 4 و 10 هما 1/4 و 1/10؛ مجموعهما 7/20. المتوسط الحسابي للمقلوبين 7/40، ومقلوبه 40/7. نقسم على عدد القيم، وهو 2، قبل أخذ المقلوب؛ مقلوب مجموع المقلوبين وحده 20/7 ليس المتوسط المطلوب.

في الزوج الجديد 7 و 13، مجموع المقلوبين 1/7 + 1/13 = 20/91. نصفه 10/91، ومقلوبه 91/10. يمكن أيضًا مراجعة الناتج بضرب 7 و 13 ثم مضاعفته والقسمة على مجموعهما 20.

إضافة 3 إلى المتوسط الأول تعطي 40/7 + 3 = 61/7. للمقارنة الدقيقة نوحد المقام إلى 70: 91/10 تعطي 637/70، و 61/7 تعطي 610/70، والفرق 27/70. لا نقرر المساواة من قيم عشرية مقربة.

الصورة الرئيسية تفصل ثلاث عمليات: متوسط الزوج الأصلي، ومتوسط الزوج بعد الإضافة، ثم إضافة 3 إلى المتوسط الأصلي. كل لوحة تحمل مدخلاتها؛ لا نعامل الرقم 3 مدخلًا ثالثًا في قائمة القيم.

الصيغة لمدخلين موجبين

للقيمتين الموجبتين a و b، متوسطهما التوافقي H = 2ab/(a+b). تنتج الصيغة من مقلوب نصف مجموع 1/a و 1/b. [1]

عند إضافة c، يصبح حاصل الضرب (a+c)(b+c)، والمجموع a+b+2c. لذا نضرب حاصل الضرب الجديد في 2 ونقسم على المجموع الجديد؛ لا نحتفظ بالمقام القديم a+b بعد تغيير المدخلين.

القيم الموجبة تجعل المقلوبات والمجموع والمقام موجبة. هذا هو نطاق الشرح والبرهان، وهو يمنع قسمة على 0 في التعريف. لا ننقل المقارنة التالية إلى قائمة سالبة أو إلى متوسط برمجي له سياسة خاصة للتعامل مع القيم غير الصالحة.

فرق الطرفين يبين متى تكون الزيادة أكبر

لنسمِّ مجموع المدخلين s=a+b وحاصل ضربهما t=ab. المتوسط الأصلي 2t/s. بعد إضافة c، يصبح حاصل الضرب t+cs+c²، والمجموع s+2c. نقارن ضعفي حاصل الضرب الجديد مقسومًا على s+2c مع 2t/s + c.

نوحد المقام إلى s(s+2c). بعد طرح البسطين وتبسيطهما يبقى c(s²−4t). وبما أن s=a+b و t=ab، فإن s²−4t = (a−b)². إذن فرق المقارنة بسطه c(a−b)² ومقامه (a+b)(a+b+2c).

عندما a > 0 و b > 0 و c > 0، المقام موجب والبسط غير سالب. إذا a ≠ b فالمربع موجب والفرق موجب؛ وإذا a=b فالمربع 0 والفرق 0. لذلك يجب أن تشمل العبارة العامة «لا يقل» مع توضيح متى يتحول ذلك إلى «أكبر».

في 4 و 10 و c=3، البسط 3 × 36 = 108، والمقام 14 × 20 = 280، فيكون الفرق 108/280 = 27/70. هذا يطابق حساب المقلوبات المباشر. في الصورة الداخلية، الخط الذهبي يعرض H القديم زائد c، والمنحنى الأزرق المتوسط الجديد؛ يتفقان عند c=0 ويختلفان عند c=3.

يمثل المحور الأفقي الإضافة c من 0 إلى 6، والعمودي قيمة المتوسط، بلا وحدات. إبقاء العددين الأصليين 4 و 10 ثابتين يجعل كل نقطة حسابًا جديدًا للإضافة نفسها. الرسم لا يقيس نظامًا أو أداء جهاز؛ الأرقام نموذج جبري اخترناه.

الأعداد المتساوية ترفض التعميم الصارم

للعددين 4 و 4، مجموع المقلوبين 1/2 ومتوسطهما 1/4، فيكون المتوسط التوافقي 4. بعد إضافة 3 نحصل على 7 و 7 ومتوسطهما 7. فرق المقارنة 0، وليس عددًا موجبًا. والزوج 10 و 10 يعطي 10 ثم 13 بالمنطق نفسه.

يعرض الجدول ثلاثة أزواج أصلية، مع إضافة 3 إلى كل مدخل. العمود الأخير يضيف 3 إلى H القديم وحده. يتفق العمودان الأخيران في الزوجين المتساويين، ويختلفان في 4 و 10. لا تخلط ذلك بإضافة مدخل ثالث له قيمة 3.

للمقارنة الحسابية في الزوج 4 و 10، المتوسط الحسابي 7. الزوج 7 و 13 متوسطه الحسابي 10؛ الزيادة 3. السبب واضح من الجمع: مجموع المدخلين زاد 6، ثم قسمنا على 2. المتوسط التوافقي يعمل بالمقلوبات، ولذلك لا يحافظ هنا على الزيادة نفسها.

الضرب يحفظ المقياس والصفر يحتاج مجالًا آخر

نغير العملية الآن: نضرب 4 و 10 في 2، فنحصل على 8 و 20. المتوسط التوافقي يساوي 2 مقسومًا على مجموع 1/8 و 1/20، أي 80/7. هذا ضعف 40/7 بالضبط؛ لا يستلزم فرقًا إضافيًا كما في جمع 3.

عمومًا عند ضرب المدخلين الموجبين في عامل موجب k، يقسم كل مقلوب على k، فينقسم متوسط المقلوبات على k؛ أخذ مقلوبه يضرب H في k. هذه مراجعة مباشرة للتعريف توضح اختلاف تغيير المقياس عن نقل القيم بإضافة ثابت.

لو أدخلنا 0 مع 4 في تعريف المقلوبات لاحتجنا 1/0، وهو غير معرف. قد يعطي التعبير 2ab/(a+b) عددًا عند وضع a=0، لكن ذلك امتداد خارج نطاق التعريف الموجب الذي استخدمناه، وليس مبررًا لإجراء قسمة على 0.

احتفظ بالزوج الأصلي ونوع التحويل ومقداره. عند الإضافة اكتب هل المدخلان متساويان؛ وعند الضرب سجل العامل الموجب. وإذا أردت استعمال متوسط لقائمة مختلفة، حدد مجالها وتعريفها أولًا بدل الاستدلال من اسم المتوسط وحده.