مبرهنة إنستروم كاكيا: حلقة للجذور عند إيجابية المعاملات

رتب المعاملات من الثابت

نستعمل النسخة التي تشترط معاملات حقيقية موجبة تمامًا لكل قوة من0 إلىn. ثم نحسب نسب المعاملات المتجاورة ak/a(k+1)، ونأخذ الأصغر والأكبر. [2]

في P(z)=2+3z+4z²، نكتب القائمة بحسب الأسس التصاعدية: a0=2 وa1=3 وa2=4. النسب2/3 و3/4؛ بالمقارنة الدقيقة8/12<9/12، فنختار r=2/3 وR=3/4.

النتيجة حلقة مغلقة حول الأصل:2/3≤|z|≤3/4. لا تحتاج المعاملات أن تتساوى، ولا أن تكون أعدادًا صحيحة؛ الشرط هنا الإيجابية الحقيقية. [1]

قلب النسب إلى3/2 و4/3 سيعطي حلقة أخرى، ولن تكون حصرًا لجذور P. أما ضرب P كله في5، فتكون المعاملات10 و15 و20، وتبقى النسب2/3 و3/4؛ هذا يتضح بإلغاء5 من كل كسر.

إذا كان هناك حد غائب، فمعامله0؛ لا تحذفه من الفحص ثم تعامل الحدود الباقية كأن أسسها متجاورة.

تحقق من الجذر والمقدار

لحل4z²+3z+2=0، نجد المميز9−32=−23، ولذلك الجذران z=(−3±i√23)/8. الجزء الحقيقي−3/8، والجزء التخيلي±√23/8.

لمقدارu+vi نستخدم√(u²+v²)، أي المسافة من الأصل في المستوى العقدي. [3]

إذن مربع مقدار كل جذر يساوي9/64+23/64=32/64=1/2؛ فالمقدار1/√2. للمقارنة دون تقريب، مربعا الحدين4/9 و9/16. نجد4/9<1/2 لأن8<9، و1/2<9/16 لأن8<9.

إذًا كلا الجذرين داخل الحلقة فعلًا. التقريب0.7071 يقع بين0.6667 و0.75، لكنه عرض مساعد؛ المقارنة بالكسور هي التحقق الدقيق.

القيمةz=0.7 حقيقية وداخل الحلقة من حيث المقدار، لكنها ليست جذرًا: P(0.7)=2+2.1+1.96=6.06. بل P(x)>0 لكلx≥0 لأن جميع حدوده غير سالبة والثابت2 موجب.

الحصر لا يعطي زاوية الجذر أو الجزء الحقيقي؛ نحتاج حل المعادلة لذلك. [2][3] في مثالنا الجزء الحقيقي−3/8 لا يقع بين2/3 و3/4، وهذا لا يخالف المبرهنة لأن المقارنة تخص المقدار.

عندما تصبح الحلقة دائرة

حدا المبرهنة غير صارمين: r≤|z|≤R. يمكن أن تقع الجذور على الحد، لذلك لا تستبدل العلامتين بعلامتي<. [1]

لنأخذ Q(z)=1+2z+4z². النسب1/2 و2/4 متساويتان؛ r=R=1/2، فلا تبقى سماكة للحلقة، بل دائرة واحدة.

الجذران(−1±i√3)/4، لأن المميز4−16=−12، والقانون يعطي(−2±2i√3)/8. مربع المقدار1/16+3/16=1/4، فيكون المقدار1/2 بالضبط.

الدائرة كلها ليست مجموعة الجذور: النقطةz=1/2 تقع عليها، لكن Q(1/2)=1+1+1=3. الجذران فقط يحققان المعادلة في المثال.

هذا يبين أهمية الفصل بين منطقة تحتوي الجذور وقائمة القيم التي تصفر كثير الحدود؛ انعدام سماكة الحلقة لا يجعل كل زوايا الدائرة حلولًا.

افحص الإيجابية قبل القسمة

في H(z)=1+z²، قائمة المعاملات1،0،1. المعامل0 ليس موجبًا تمامًا، وتظهر القسمة1/0 ضمن النسب؛ الصيغة المعروضة لا تنطبق. [2]

وجود حلين±i بمقدار1 لا يعالج القسمة على صفر. نعرفهما من z²=−1، لا من قائمة نسب سليمة لهذه النسخة من المبرهنة.

وفي T(z)=1+z−z²، هناك معامل سالب. لو تجاهلت الشرط واستعملت مقادير المعاملات1،1،1، لخرجت بدائرة نصف قطرها1؛ لكن الجذور الحقيقية(1±√5)/2 لا تقع عليها.

الجذر الموجب أكبر من1 لأن√5>1. ومقدار السالب(√5−1)/2 أصغر من1 لأن√5<3، وهي مقارنة تتبع5<9. إذن استبدال كل معامل بمقداره أدى إلى حصر خاطئ لجذور T الأصلية.

ابدأ بدرجة غير صفرية، وافحص كل معامل حتى الثابت، ثم احسب النسب باتجاه صحيح. إذا فشل الشرط، اختر طريقة أخرى تناسب المعادلة؛ لا تستخدم الحلقة بوصفها نتيجة عامة لكل كثير حدود.