اختزال الكسور: الوصول إلى أبسط صورة دون تغيير القيمة

الخلاصة السريعة

اختزال الكسر هو كتابة قيمة الكسر نفسها ببسط ومقام أصغر، بقسمة كليهما على عامل مشترك. وتكون الصورة في أبسط حال عندما لا يبقى عامل مشترك أكبر من 1. ^[1]

• نقسم البسط والمقام على العامل المشترك نفسه، مع مقام غير صفري. ^[1]
• في مثالنا: 84/150 = 14/25 بعد القسمة على 6.
• التحليل إلى عوامل أولية يوضح العوامل المشتركة. ^[2]
• نلغي عوامل في حاصل ضرب، ولا نلغي حدًا منفردًا من مجموع. ^[1]
• اختزال الكسر لا يغير إشارته. ^[1]

الاختزال بعامل مشترك واحد

يمكن تنفيذ الاختزال على مراحل أو حذف العوامل المشتركة دفعة واحدة؛ الهدف أن تنتهي إلى بسط ومقام لا يشتركان في عامل أكبر من 1. ^[1]

نختار 84/150. القسمة على 2 تعطي 42/75، ثم على 3 تعطي 14/25. وبالقسمة مباشرة على 2 × 3 = 6 نحصل على النتيجة نفسها: 84 ÷ 6 = 14 و 150 ÷ 6 = 25.

في مثالنا، عوامل 14 الموجبة هي 1 و 2 و 7 و 14، وعوامل 25 هي 1 و 5 و 25. المشترَك الوحيد هو 1؛ لذلك توقفنا عند 14/25. أما 6 فهو أكبر عامل مشترك للبسط والمقام الأصليين، كما يتبين أيضًا من التحليل في القسم التالي.

تحقق بالضرب المتقاطع في الأعداد المختارة: 84 × 25 = 2100 و 150 × 14 = 2100. وتساوي 84/150 قيمة 0.56، وكذلك 14/25 = 0.56. الصورة الرئيسية تعرض الشريط نفسه بطول مماثل، دون رسم 150 خانة صغيرة.

التحليل إلى عوامل أولية

العدد المركب يمكن كتابته حاصل ضرب أعداد أولية، وقد يتكرر العامل الأولي. يوضح هذا التحليل الأجزاء التي يمكن أن يشترك فيها البسط والمقام. ^[2]

في مثالنا 84 = 2 × 2 × 3 × 7، و 150 = 2 × 3 × 5 × 5. يظهر 2 و 3 في الجهتين؛ حاصل ضربهما 6. بعد حذف نسخة واحدة من كل منهما يبقى 2 × 7 في البسط و 5 × 5 في المقام.

الرسم داخل المقال يميز نسختي 2 و 3 المشتركتين، ويترك نسخة 2 الإضافية في البسط. لا نحذف كل ظهور للرقم 2 لمجرد وجوده في المقام مرة؛ عدد النسخ المشتركة جزء من حساب هذا المثال.

جرب 90/126: التحليل 90 = 2 × 3 × 3 × 5 و 126 = 2 × 3 × 3 × 7. العامل المشترك الأكبر 18، فتكون النتيجة 5/7. ويتحقق الحساب من 90 × 7 = 126 × 5 = 630.

الإشارة والفرق بين العامل والحد

نختار الكسر −84/150. بعد القسمة على 6 يصبح −14/25، بقيمة −0.56. ونختار 0/15: القسمة على 15 تعطي 0/1 = 0. أما 84/0 فلا يدخل في تماريننا لأنه لا يمثل كسرًا ذا مقام صالح.

تأمل المثال (6 + 9)/6. لا نحذف 6 من أحد حدود البسط ونحذف المقام؛ حساب القيمة أولًا يعطي 15/6 = 5/2 = 2.5. والكتابة الصحيحة للتحليل هنا هي (3 × (2 + 3))/(3 × 2)، ثم إلغاء العامل 3 المشترك.

لو حذفنا 6 من المجموع والمقام كما لو كان البسط حاصل ضرب، فقد نكتب خطأ 1 + 9 = 10. لا يساوي 10 الناتج 2.5 الذي تحققنا منه. تمييز الضرب من الجمع قبل الإلغاء يمنع هذه القفزة.

وللمراجعة، 35/49 يصير 5/7 بالقسمة على 7، بينما 35/48 يبقى دون عامل مشترك أكبر من 1: عوامل 35 الأولية 5 و 7، وعوامل 48 هي 2 و 2 و 2 و 2 و 3. الاختزال يحتاج عاملًا مشتركًا فعليًا، لا مجرد رغبة في تصغير الأرقام.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: المضاعفات والقواسم: الفرق بينهما وكيف تجد كلًا منهما.