الارتباط المتبادل: لماذا تنعكس إشارة التأخير؟

ثبت التعريف وحدود المتتاليات

للمدخلات الحقيقية نستخدم rₓᵧ[m]=Σₙ x[n+m]y[n]، حيث يمر n على الأعداد الصحيحة ونعتبر القيم خارج السجل صفرًا. هذا ارتباط خام بلا تطبيع. [1]

نختار x=[3,−2,1] بفهارس 0 و 1 و 2، وقيم بلا وحدة فيزيائية. ثم y=[0,3,−2,1] بفهارس 0 إلى 3. إذن y[n]=x[n−1] لكل عدد صحيح n بعد الامتداد الصفري؛ انتقلت كل قيمة خطوة إلى اليمين.

هذه إزاحة خطية: لم نعد قيمة النهاية إلى البداية. نكتب x[−1]=0 و x[3]=0، مثلًا، لأنهما خارج السجل. لو استخدمنا فهرسة دائرية لأصبح سؤال المحاذاة مختلفًا.

عند m=−1 نقابل x[n−1] مع y[n]. الجداءات غير الصفرية هي 3×3 و(−2)×(−2) و 1×1؛ مجموعها 9+4+1=14. هذه محاذاة النسخة كاملة.

عند m=0 نجمع القيم ذات الفهرس نفسه: 3×0+(−2)×3+1×(−2)+0×1=−8. عدم محاذاة السجلين يعطي قيمة سالبة هنا رغم أنهما نسختان متماثلتان بعد الإزاحة.

نحسب عند m=−3،−2،−1،0،1،2،3: rₓᵧ=[3,−8,14,−8,3,0,0]. مثلًا عند −3 يوجد جداء 3×1=3، وعند −2 مجموع 3×(−2)+(−2)×1=−8. وخارج هذا المدى النتيجة صفر.

فرق بين محور التأخر وتأخير النسخة

النسخة y متأخرة عينة واحدة، لكن قمة تعريفنا عند m=−1. السبب يظهر في n+m: عندما يكون m=−1، نقرأ من x القيمة التي سبقت فهرس y بعينة واحدة.

لنسخة خطية كاملة y[n]=x[n−d]، بدل متغير الجمع إلى j=n−d. يصبح rₓᵧ[m]=Σⱼ x[j+d+m]x[j]=rₓₓ[m+d]. هذا برهان من التعريف، مشروط بالنسخة الكاملة والامتداد الصفري.

في المثال، الارتباط الذاتي لـ x عند −2 إلى 2 هو [3,−8,14,−8,3]. بإزاحة فهرسه عينة نحصل على قيم الارتباط السابقة. قيمة الصفر الذاتي مجموع مربعات x، وهي 14.

بتبديل المدخلين، rᵧₓ[m]=Σₙ y[n+m]x[n]. ضع j=n+m، ثم استخدم أن جداء عددين حقيقيين لا يتغير بتبديلهما؛ الناتج rₓᵧ[−m]. تنعكس القائمة حول التأخر صفرًا، وتصبح القمة عند +1.

للأصل والنسخة المختارين، نقول إن تأخير y بالنسبة إلى x هو d=−m للقمة عند −1، أي عينة واحدة. إذا افترضنا معدل أخذ عينات مشتركًا Fs=20 Hz، فالعينة 1/20 ثانية، والتأخير 0.05 s.

التحويل إلى ثوانٍ يعتمد على المعدل المشترك المفترض، ولم نقس جهازًا أو زمن انتقال حقيقيًا. سجّل ترتيب الإشارتين وتعريف m والمعدل قبل كتابة رقم تأخير.

التطبيع والقطبية يغيران قراءة القمة

أحد خيارات التطبيع يقسم الارتباط على الجذر التربيعي لحاصل ضرب طاقتي الإشارتين. [1]

نمد x إلى أربع نقاط بإلحاق صفر: [3,−2,1,0]. لا تتغير المجاميع الخام. طاقته 9+4+1=14، وطاقة y كذلك 14؛ المقام √(14×14)=14. لذا القيم المطبعة هي [3/14,−4/7,1,−4/7,3/14,0,0].

نحسب جداءات العينات مباشرة بلا طرح المتوسط. هذا ليس حساب بيرسون على انحرافات أزواج عن متوسطيهما. كذلك 14 الخام ليست معاملًا محصورًا بين −1 و 1؛ لا نبدل بين نتيجة خام ونتيجة مطبعة.

نختار q=−y=[0,−3,2,−1]. بخطية الجمع، r_xq[m]=−rₓᵧ[m]؛ القيم [−3,8,−14,8,−3,0,0]. أفضل تطابق بالمقدار المطلق عند −1، لكن علامة الارتباط سالبة بسبب عكس جميع القيم.

إذا طلبنا أكبر قيمة موجبة فقط، وجدنا 8 عند −2 و 0 بدل المحاذاة −1. اختيار الأكبر موجبًا والأكبر مطلقًا سؤالان مختلفان؛ يلزم تحديد هل تسمح المقارنة بقطبية معكوسة.

توثق finddelay اختيار أكبر مقدار مطلق للارتباط المطبع، ثم إعادة سالب موضعه. [2] لم نشغل الدالة هنا؛ المثال يشرح معنى هذا الاختيار ولا يقدم نتيجة تنفيذ برنامج.

قمتان متساويتان لا تعطيان جوابًا وحيدًا

ننشئ تسجيلًا آخر z=[3,−2,1,0,3,−2,1]. توجد نسخة x عند بداية الفهارس 0 و 4. هذا تسجيل مختار ذو تكرارين محدودين، ولا نفترض أنه إشارة دورية لا نهائية.

من خطية التعريف، z[n]=x[n]+x[n−4]، ومنه r_xz[m]=rₓₓ[m]+rₓₓ[m+4]. عند m=0 يعطي الحد الأول 14 والثاني صفرًا؛ عند −4 يحدث العكس. عند −2 نجمع 3+3=6.

المتتالية عند m=−6 إلى 6 هي [3,−8,14,−8,6,−8,14,−8,3,0,0,0,0]. أكبر مقدار مطلق 14 عند موضعين، −4 و 0؛ لا يوجد في القيم وحدها ما يجعل أحد التكرارين الحدث الوحيد المقصود.

تستخدم finddelay قاعدة لاختيار التأخير الأصغر مقدارًا عند تعادل القمم، وإذا تعادل موجب وسالب بالمقدار نفسه تختار الموجب. [2] هذه قاعدة اختيار ناتج، ولا تجعل المحاذاة الأخرى غير موجودة.

في تسجيلنا، القمتان تقابلان تأخيرين محتملين 4 و 0 عينات؛ اختيار الأصغر يعطي صفرًا. لو حصرنا البحث في تأخر −2 إلى 2 فلن نرى القمة −4؛ وإذا بحثنا من −6 إلى −3 سنرى القمة −4 وحدها. الرقم يتأثر بما سمحنا بالبحث فيه.

لم نجمع إشارة مشوشة أو نحسب عدم يقين في التأخير. مع سجلات فعلية لا تكون النسخ مثالية بالضرورة؛ يحتاج تفسير التقدير إلى تشابه كافٍ. [2]

صف النتيجة بوصفها محاذاة وفق تعريف ومجال وقاعدة للقطبية والتعادل. وجود قمة لا يحدد وحده لماذا تأخرت الإشارة، أو يثبت مسارًا فيزيائيًا بعينه.