المعادلات التفاضلية المتجانسة: اختبار النسبة وطريقة التعويض

ما الاختبار المناسب للرتبة الأولى؟

نركز هنا على الصورة y′=F(y/x) حيث x≠0. إذا أمكن كتابة الطرف الأيمن بدلالة النسبة وحدها، نستخدم تعويض النسبة. فمثلًا y′=2y/x+(y/x)² يعتمد على v=y/x من خلال الدالة F(v)=2v+v². ^[1]

يمكن التحقق أيضًا بتغيير x و y معًا إلى tx و ty، حيث t≠0 وتبقى النقاط ضمن مجال الدالة. نسبتهما لا تتغير: (ty)/(tx)=y/x. لذلك لا يتغير الطرف الأيمن في هذه الصورة، ويكون متجانسًا من الدرجة صفر. ^[2]

لا يكفي أن تكون دالة ما متجانسة من درجة أخرى لنستنتج أن المعادلة y′=f(x,y) تسمح بهذا التعويض مباشرة. مثلًا الدالة 3x−2y تتضاعف عند مضاعفة المتغيرين، وليست دالة في النسبة وحدها. أما في الصورة M dx+N dy=0، فإن تجانس M و N من الدرجة نفسها يجعل نسبتهما من الدرجة صفر حيث تسمح القسمة. ^[2]

لماذا نضع y=vx؟

نعرّف v(x)=y(x)/x، فتكون y=vx. لأن v دالة في x لا ثابتًا، تعطينا قاعدة اشتقاق حاصل الضرب y′=v+xv′. حذف الحد xv′ يغير المعادلة ويضيع معظم الحلول.

بالتعويض في الصورة العامة نجد v+xv′=F(v)، ومنها xv′=F(v)−v. إذا لم يكن المقام صفرًا، نستطيع فصل المتغيرات: dv/[F(v)−v]=dx/x، ثم نكامل ونعيد v=y/x. ^[1]

لكن قبل القسمة نفحص كل قيمة ثابتة v=r تحقق F(r)=r. قد تعطي حلًا من الصورة y=rx، ثم يختفي من بعض خطوات الفصل لأننا قسمنا على صفر عند تلك القيمة. فحصه في المعادلة الأصلية هو الذي يثبت قبوله.

مثال أصلي: حل مع شرط ابتدائي

أوجد حل y′=2y/x+(y/x)² مع y(1)=1. بافتراض x≠0 نضع y=vx، فنحصل على v+xv′=2v+v²، أي xv′=v(1+v).

نفحص أولًا القيمتين v=0 و v=−1. تعطيان الحلين y=0 و y=−x حيث x≠0. كلاهما يحقق المعادلة الأصلية، لكن لا يحقق أي منهما الشرط y(1)=1.

للقيم الأخرى نفصل: dv/[v(1+v)]=dx/x. وبالكسور الجزئية 1/[v(1+v)]=1/v−1/(1+v)، فيكون التكامل ln|v|−ln|1+v|=ln|x|+C.

على فترة الحل يمكن كتابة النتيجة بثابت جديد K: v/(1+v)=Kx. ومنه v=Kx/(1−Kx)، وبعد إعادة المتغير نحصل على y=Kx²/(1−Kx). الحل الصفري موجود في هذه العائلة عند K=0، لكن الحل y=−x يحتاج إلى ذكر مستقل.

بتطبيق الشرط الابتدائي: 1=K/(1−K)، ومن ثم K=1/2. إذن الحل الذي نبحث عنه هو y=x²/(2−x) على فترة مناسبة تحتوي x=1.

التحقق من الحل وتحديد مجاله

اشتقاق y=x²/(2−x) يعطي y′=x(4−x)/(2−x)². وفي الطرف الآخر، التعويض يعطي 2y/x+(y/x)²=2x/(2−x)+x²/(2−x)²=x(4−x)/(2−x)². تطابق الطرفين يراجع النتيجة، ثم y(1)=1 يراجع الشرط.

المعادلة الأصلية لا تعرف عند x=0، والصيغة التي وجدناها لا تعرف عند x=2. الفترة القصوى المتصلة التي تحتوي نقطة الشرط x=1 وتبقى داخل هذين القيدين هي 0<x<2. كون صيغة الحل نفسها قابلة للتقييم عند x=0 لا يجعل المعادلة الأصلية معرفة هناك.

الرسم الداخلي يعرض جزءًا من الحل في هذه الفترة. يزداد قرب x=2 ويظهر خط التقارب الرأسي، بينما يبين الخط الصفري حلًا آخر لا يمر بنقطة الشرط. رسم عدة حلول يساعد على تذكر أن الشرط الابتدائي يختار واحدًا منها.

التجانس الخطي معنى مختلف

في المعادلة الخطية من الرتبة الأولى y′+p(x)y=q(x)، تسمى المعادلة متجانسة عندما يكون q(x)=0 على مجال الدراسة. هذا اختبار للطرف الذي لا يحتوي الدالة المجهولة أو مشتقتها، ويختلف عن اختبار النسبة السابق. ^[3]

مثلًا y′=2y/x، حيث x≠0، يحقق المعنيين: هو خطي متجانس، ويعتمد على y/x. أما y′=(sin x)y فهو خطي متجانس، لكنه لا يعتمد عمومًا على y/x وحدها. مثالنا الذي يحتوي (y/x)² متجانس بمعنى النسبة، لكنه غير خطي في y.

لذلك حدد الصورة التي تدرسها قبل اختيار الطريقة. ثم تابع ثلاث مراجعات: هل احتسبت مشتقة v كاملة؟ هل استبعدت حلًا عند القسمة؟ وهل مجال النتيجة متصل ويحتوي نقطة الشرط دون المرور بموضع لا تعرف فيه المعادلة؟