حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى

حدد الرتبة والخطية قبل اختيار الطريقة

الرتبة الأولى تعني أن أعلى مشتقة ظاهرة هي المشتقة الأولى. أما الخطية فتعني إمكان كتابة المعادلة في الصورة a(x)y′+b(x)y=c(x)، دون قوى غير خطية للدالة المجهولة أو حاصل ضربها في مشتقتها. يمكن أن تكون معاملات الدالة والمشتقة دوال في المتغير المستقل. ^[1]

على مجال لا يساوي فيه a(x) صفرًا، نقسم عليه فنحصل على الصورة القياسية y′+p(x)y=q(x). نحدد عندئذ p=b/a و q=c/a. لا تتجاوز هذه القسمة نقطة يتلاشى فيها المقام دون فحص؛ فهي قد تغير المجال الذي يمكن العمل عليه. ^[1]

في هذا السياق، المعادلة المتجانسة المرتبطة هي y′+p(x)y=0، وتكون غير متجانسة عندما لا تكون q صفرًا على المجال كله. هذا استعمال لكلمة «متجانسة» في المعادلات الخطية، وليس تعريف المعادلات التي تستعمل نسبة المتغيرين. ومثال y′+y²=x من الرتبة الأولى لكنه غير خطي، فلا نضعه مباشرة في القاعدة الآتية. ^[1][2]

عامل التكامل يأتي من قاعدة اشتقاق حاصل الضرب

نبحث عن دالة غير صفرية نسميها عامل التكامل ونرمز لها μ. عندما نضرب الصورة القياسية بها يصبح الطرف الأيسر μy′+μpy. نريد أن يكون مشتقة حاصل ضرب، أي (μy)′=μy′+μ′y؛ لذا نختارها بحيث تحقق μ′=pμ. ^[2]

من ذلك نأخذ μ(x)=e^(∫p(x)dx). نحتاج عاملًا واحدًا فقط؛ لذلك يمكن اختيار أي ثابت مناسب عند حساب التكامل في الأس. أما الثابت الذي ينشأ بعد تكامل المعادلة كلها فنحتفظ به للحصول على عائلة الحلول.

بعد الضرب نحصل على (μy)′=μq، ثم بالتكامل μy=∫μq dx+C، وبالتالي y=(∫μq dx+C)/μ. الرمز C ثابت التكامل، ووجود الشرط الابتدائي يسمح بتحديده. اختر مجالًا تكون فيه المعاملات والتكاملات صالحة، ثم طبق الخطوات عليه. ^[1][2]

مثال محلول بشرط ابتدائي

نريد حل y′+2y=3eˣ مع الشرط y(0)=4. المعادلة قياسية أصلًا: p=2 و q=3eˣ. عامل التكامل μ=e^(∫2 dx)=e²ˣ.

نضرب الطرفين به: e²ˣy′+2e²ˣy=3e³ˣ. الطرف الأيسر مشتقة e²ˣy، ولذلك (e²ˣy)′=3e³ˣ. بتكامل الطرفين نحصل على e²ˣy=e³ˣ+C، وبعد القسمة y=eˣ+Ce⁻²ˣ.

عند الصفر يصبح الشرط 4=1+C، فيكون C=3. الحل المطلوب إذن y=eˣ+3e⁻²ˣ. معامل الدالة الأسية الثانية لم يأت من عامل التكامل وحده؛ الذي حدده هو الشرط الابتدائي.

للتحقق، المشتقة y′=eˣ−6e⁻²ˣ. وعند إضافة 2y=2eˣ+6e⁻²ˣ تلغى الحدود المتعاكسة، ويصبح المجموع 3eˣ كما طلبت المعادلة. كذلك y(0)=1+3=4. الفحصان يتناولان المعادلة والشرط معًا.

تغيير الثابت يعيدنا إلى النتيجة نفسها

الحل العام للمعادلة المتجانسة y′+2y=0 هو y=Ce⁻²ˣ. في طريقة تغيير الثابت نستبدل C بدالة مجهولة u(x)، فنكتب y=u e⁻²ˣ. الهدف إيجاد الدالة التي تجعل الحل يحقق الطرف غير المتجانس. ^[2][3]

بقاعدة حاصل الضرب y′=u′e⁻²ˣ−2u e⁻²ˣ. بعد التعويض في المثال تلغى حدود u، فنصل إلى u′e⁻²ˣ=3eˣ، أي u′=3e³ˣ. بالتكامل u=e³ˣ+C، ولذلك y=eˣ+Ce⁻²ˣ مرة أخرى.

يمكن تفسير الحل بوصفه حلًا خاصًا eˣ، مضافًا إليه حل للمعادلة المتجانسة Ce⁻²ˣ. في الشرط الذي اخترناه يكون الحد الثاني 3e⁻²ˣ. الرسم داخل المقال يعرض مساهمة كل حد في قيم الحل؛ انخفاض أحد الحدين لا يمنع ارتفاع المجموع لاحقًا. ^[3]

المجال: انتبه عند القسمة على المتغير

لنأخذ مثالًا آخر xy′+2y=x². عند العمل على المجال x>0 نقسم على x فنحصل على y′+(2/x)y=x. عامل التكامل e^(∫2/x dx)=x²، ثم (x²y)′=x³. بالتكامل x²y=x⁴/4+C، فيكون y=x²/4+C/x².

هذا الحل يحقق المعادلة عند x>0: مشتقته x/2−2C/x³، ومن ثم xy′+2y=x²/2−2C/x²+x²/2+2C/x²=x². لا يجعل هذا الفحص التعبير الذي يحتوي C/x² معرفًا عند الصفر.

يمكن كذلك العمل على مجال سالب لا يعبر الصفر، مع استعمال القيمة المطلقة في تكامل اللوغاريتم. أما نقطة الصفر في المعادلة الأصلية فتحتاج فحصًا مستقلًا؛ لا ندخلها تلقائيًا في حل اشتققناه بعد القسمة عليها. بعض الحلول الخاصة قد تمتد إليها، لكن ذلك لا يبرر توسيع مجال العائلة كلها. ^[1]

أخطاء تستحق الفحص قبل اعتماد الحل

• حدد p و q بعد تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية، لا قبل القسمة على معامل المشتقة.
• لا تنس ثابت التكامل في الحل العام، ولا تضع ثابتًا جديدًا مستقلًا في كل خطوة دون تتبع علاقته بما قبله.
• استعمل قاعدة حاصل الضرب كاملة عند تغيير الثابت؛ إغفال مشتقة u يبقيك في المعادلة المتجانسة.
• تحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية، ثم افحص الشرط الابتدائي ومجال الحل.

الأسماء تساعد على تنظيم الطريقة، لكن صحة الحل تظهر في الجبر والتحقق والمجال. إذا لم تكن المعادلة خطية، أعد تحديد نوعها بدل فرض عامل التكامل الخاص بهذه الصورة عليها.