المنحنى القلبي: لماذا يثبت الوتر المار برأسه المدبب؟

الخلاصة السريعة

في r=4(1+cosθ)، تجمع النقطتان على شعاعين متعاكسين مسافتين من القطب مجموعهما8، فيكون الوتر بينهما بطول8. على y=x تكون نقطتاه A وB بإحداثيات2±2√2، وميلَا مماسيهما1−√2 و1+√2؛ حاصل ضربهما−1.

• نستخدم إحداثيات قطبية في مستوى ثنائي الأبعاد: x=r cosθ وy=r sinθ. المعادلة r=4(1+cosθ) لها رأس مدبب O=(0,0) عند θ=π. [2] الرمز r مسافة متغيرة من القطب، لا نصف قطر ثابت.
• للزاويتين φ وφ+π، تكون المسافتان4(1+cosφ) و4(1−cosφ)، ومجموعهما8. الطرفان على جهتين متعاكستين من O، ولذلك طول القطعة بينهما هو المجموع، لا الفرق.
• على y=x نأخذ θ=π/4 وθ=5π/4. ينتج A=(2+2√2,2+2√2) وB=(2−2√2,2−2√2)، وطول AB=8. المنتصف M=(2,2)، بينما O يقع بين الطرفين دون أن ينصف القطعة.
• نشتق x وy بالنسبة إلى θ. عند A يكون الميل mA=1−√2، وعند B يكون mB=1+√2، فينتج mA×mB=−1. هذان ميلَا المماسين، وليس الميل1 للمستقيم AB.
• التعامد عام للطرفين المنتظمين: في قاعدة شعاعية مشتركة تكون متجهات المماسين(−4sinφ,4(1+cosφ)) و(−4sinφ,−4(1−cosφ)). حاصل ضربهما القياسي صفر. نستثني sinφ=0 من اختبار متجهين غير صفريين.
• للخط الأفقي يكون الطرفان E=(8,0) وO؛ مماس E رأسي، ومماس الرأس المدبب حدي أفقي. القسمة0/0 لا تحدد ميل الرأس. وجود A وO وB على المنحنى وعلى مستقيم واحد يثبت أنه ليس دائرة.

حدد القطب والمعادلة قبل مقارنة المراجع

الإحداثيات القطبية تحدد موضع نقطة في مستوى بواسطة المسافة r من القطب والزاوية θ من المحور المرجعي. نجعل القطب O=(0,0) والمحور المرجعي هو الاتجاه الأفقي الموجب، ونقيس الزاوية عكس عقارب الساعة بالراديان.

نختار r=4(1+cosθ)، وهي صيغة المنحنى القلبي في المرجع الثاني عند وضع معامله a=2. [2] لأن1+cosθ غير سالب، فإن r≥0؛ لذا نستطيع هنا تفسير r مباشرة بوصفها المسافة من O.

التحويل إلى الإحداثيات الديكارتية هو x=r cosθ وy=r sinθ. هذه علاقات في بعدين، وليست انتقالًا إلى فضاء ثلاثي الأبعاد. تغيير النظام يغير وصف الموضع، ولا يضيف بعدًا إلى المسألة.

يعرض المرجع الأول الصيغة r=a(1−cosθ). [1] عند معامله a=4 نحصل على انعكاس منحنى مثالنا حول المحور الرأسي. لا نستخدم قيمة a نفسها في المرجعين دون قراءة العامل2 والإشارة أمام جيب التمام.

عند θ=π يكون r=0، فتصل النقطة إلى O، وهو الرأس المدبب. وعند θ=0 تكون E=(8,0). تسمية الشكل قلبًا لا تغني عن معادلته؛ سنحدد النقاط والطول والمماس من الحساب.

اجمع مسافتين على شعاعين متعاكسين

خذ اتجاهًا زاويًا φ، ثم الاتجاه المقابل φ+π. جيب تمام الزاوية الثانية هو−cosφ، لذلك r1=4(1+cosφ) وr2=4(1−cosφ). مجموع المسافتين r1+r2=8 مهما تغير الاتجاه.

نسمي النقطتين U وV. في اتجاه الوحدة e=(cosφ,sinφ)، تكون U=r1e وV=−r2e. علامة السالب تحدد الشعاع المقابل؛ النقطتان ليستا على الشعاع نفسه.

الفرق U−V=(r1+r2)e=8e، وطول e يساوي1. إذن UV=8. هذه هي خاصية الوتر المار بالرأس المدبب في الصيغة المختارة. [1][2]

عندما sinφ≠0، تكون المسافتان موجبتين، وتقع O داخل القطعة بين الطرفين. ومع ذلك فإن O نفسها نقطة على المنحنى؛ المستقيم يلتقي هنا بالرأس وبطرفين منتظمين.

أما φ=0 أوφ=π، فتكون إحدى المسافتين صفرًا. عندئذ يصبح الرأس نفسه أحد طرفي القطعة الأفقية؛ تبقى قيمة الطول8، لكن فحص مماس الطرف الصفري يحتاج إلى حد، لا إلى مشتقة منتظمة.

لا نطرح r1 وr2 لحساب طول الوتر. الفرق يخص نقطتين على الاتجاه نفسه في حالات أخرى، بينما النقطتان المختارتان هنا على جهتين متقابلتين. اتجاه الشعاع جزء من الحساب.

وتر مائل بإحداثيات جذرية دقيقة

نأخذ الخط y=x. الاتجاهان هما θ=π/4 وθ=5π/4. جيب الزاوية وجيب تمامها في الاتجاه الأول√2/2، وفي الثاني−√2/2.

في الاتجاه الأول rA=4+2√2. نضرب في√2/2 فنجد A=(2+2√2,2+2√2). في الاتجاه الثاني rB=4−2√2؛ الضرب في−√2/2 يعطي B=(2−2√2,2−2√2).

إحداثيا A موجبان، وإحداثيا B سالبان، فتقع O=(0,0) بينهما على الخط نفسه. مجموع البعدين OA+OB=8، لكنهما غير متساويين: نحو6.828427 ونحو1.171573.

فرق كل إحداثي بين الطرفين4√2. لذلك AB=√((4√2)²+(4√2)²)=8. هذه مراجعة إحداثية مستقلة عن جمع المسافتين القطبيتين.

المنتصف M=(A+B)/2=(2,2). ليس M هو القطب O، رغم مرور الوتر به. لذلك لا نعامل القطعة بوصفها قطر دائرة مركزها O؛ ثبات الطول لا يثبت التنصيف.

الجدول يجمع القطب والطرفين والمنتصف والطرف الأفقي E. الرسم الرئيسي يعرض المنحنى الكامل، والوتر المائل الذهبي، ومماسي الطرفين؛ أما الرأس O فهو نقطة ثالثة على هذا الوتر.

احسب ميلي المماسين عند الطرفين

من x=4(1+cosθ)cosθ وy=4(1+cosθ)sinθ، نشتق فنحصل على x′=−4sinθ(1+2cosθ) وy′=4(cosθ+cos2θ). الشرط x′≠0 يسمح بقسمة y′ على x′ للحصول على الميل.

عند θ=π/4 نجد x′=−4−2√2 وy′=2√2. لذلك mA=(2√2)/(−4−2√2)=1−√2. الميل سالب، وهو نحو−0.414214.

وعند θ=5π/4 نجد x′=−4+2√2 وy′=−2√2. لذلك mB=(−2√2)/(−4+2√2)=1+√2، وهو نحو2.414214. المشتقتان الأفقيتان غير صفريتين في هذين الموضعين.

حاصل الضرب mA×mB=(1−√2)(1+√2)=−1، ولذلك يتعامد المماسان. صيغة كل منهما y−yA=mA(x−xA) وy−yB=mB(x−xB)، مع إحداثيات الطرف المعني.

الخط AB نفسه ميله1، لأن الطرفين على y=x. لا نخلط خط الوتر بمماس أحد طرفيه. الوتر يصل نقطتين من المنحنى، والمماس يصف اتجاهه المحلي عند نقطة بعينها.

الخط الأخضر عند A والأحمر عند B يمثلان المماسين المحسوبين. لا نستنتج التعامد من انطباع عن الرسم؛ حاصل ضرب الميلين يثبته، ومقياس المحورين المتساوي يعرضه بصورة صحيحة.

أثبت التعامد دون قسمة على ميل

في الاتجاه φ نستعمل متجه الوحدة الشعاعي e=(cosφ,sinφ)، والمتجه العمودي عليه n=(−sinφ,cosφ). كلاهما طوله1 وحاصل ضربهما القياسي صفر، فيشكلان قاعدة متعامدة في المستوى.

مشتقة الموضع r e تساوي r′e+r n، لأن مشتقة e بالنسبة إلى الزاوية هي n. عند U يكون متجه المماس v1=−4sinφ e+4(1+cosφ)n.

عند الزاوية المقابلة φ+π تنعكس إشارتا e وn، بينما مشتقة المسافة تصبح4sinφ. إذا عبرنا عن المتجه في القاعدة الأصلية نفسها، حصلنا على v2=−4sinφ e−4(1−cosφ)n.

حاصل الضرب القياسي v1·v2=16sin²φ−16(1−cos²φ)=0. استعملنا تعامد e وn وهوية sin²φ+cos²φ=1. لذلك يتعامد المتجهان غير الصفريين عند الطرفين المنتظمين.

هذا البرهان يشمل المماس الرأسي أيضًا؛ لا نحتاج إلى ميل محدود لكل خط. لكنه يحتاج متجهين غير صفريين: إذا sinφ=0، يصل أحد الطرفين إلى الرأس وتنعدم مشتقته، فنراجع الحالة بالحد.

لا تعني عمودية المماسين أن الوتر ينصف الزاوية بينهما أو يمر بنقطة تقاطعهما. الخاصية التي أثبتناها تخص اتجاهي خطين عند طرفين محددين، لا كل العلاقات التي قد يوحي بها الشكل.

الوتر الأفقي والرأس الذي ليس مركز دائرة

في الاتجاه الأفقي، تكون E=(8,0) عند θ=0 والرأس O=(0,0) عند θ=π. طول EO=8 مثل الوتر المائل، لكن الرأس هنا طرف للقطعة، وليس نقطة داخلها.

عند E تكون المشتقة(0,8)، فيكون المماس x=8 رأسيًا. عند O تنعدم المشتقتان، فلا نحسب ميلًا من0/0. الرأس نقطة صالحة على المنحنى؛ علينا استعمال الاتجاه الحدي.

نكتب θ=π+u قرب الرأس. من التوسعات المحلية نجد x≈−2u² وy≈−2u³، فيقترب اتجاه المماس من الأفقي y=0 عندما u→0. تتلاقى شعبتان عند الرأس المدبب، والمماس الحدي أفقي.

إذن يظل مماسا طرفي الوتر الأفقي متعامدين، لكن إثباته يجمع مشتقة منتظمة عند E وحدًا عند O. لا نستبدل بهذا التحليل حاصل ضرب ميلين أحدهما غير معرف.

المنحنى ليس دائرة عند أي مركز. في المثال المائل، النقاط A وO وB ثلاث نقاط مختلفة من المنحنى تقع على مستقيم واحد. مستقيم واحد لا يقطع دائرة غير منعدمة في ثلاث نقاط مختلفة؛ هذه حجة تتجاوز مجرد تغير البعد من O.

كما أن O على المنحنى، وليست مركزًا يثبت منه نصف قطر. ثبات طول الوتر المار بها هو خاصية للقلبية، ولا يتيح استيراد جميع خصائص قطر الدائرة. الصورة الداخلية تقارن الوتر المائل بالوتر الأفقي، مع مماس الرأس الحدي.

الرسومان يحددان نقاطًا وخطوطًا محسوبة، بمقياس متساوٍ أفقيًا ورأسيًا في كل صورة. لا نعالج مساحة الشكل أو محيطه أو توليده بعجلة متدحرجة؛ المثال مخصص للوتر والمماسين واستثناء الرأس.