خصائص متوازي الأضلاع: الأضلاع والزوايا وتنصيف القطرين

سمِّ الرؤوس قبل قراءة الخصائص

خصائص متوازي الأضلاع تساعدك على إيجاد ضلع أو زاوية أو جزء من قطر مجهول، لكنها تحتاج قراءة صحيحة للرؤوس والعلاقات. سنميز بين المتقابل والمتجاور، ثم نحل أمثلة مستقلة ونفحص القطرين بإحداثيات واضحة. أهم سؤال في الرسم ليس هل يبدو مائلًا أو منتظمًا، بل ما الذي تثبته المعطيات. الصور الآتية رسوم حسابية أصلية؛ لا تحمل قياسات أخذناها من جسم فعلي، ولا نستعمل شكلها وحده بدل البرهان.

متوازي الأضلاع شكل رباعي يتوازى فيه كل ضلعين متقابلين. المستطيل والمعين والمربع حالات خاصة منه؛ إضافة شروط إلى الشكل العام لا تلغي انتماءه إلى متوازي الأضلاع. [3]

نكتب رؤوس شكلنا A,B,C,D بالترتيب حول حدوده. الضلع AB يقابل CD، والضلع BC يقابل AD. أما AB وBC فمتجاوران لأنهما يشتركان في الرأس B. والقطران هما AC وBD، إذ يصل كل منهما رأسين غير متجاورين. كتابة هذا الترتيب تمنع أن تقارن أطوالًا أو زوايا لا تشترط الخاصية مساواتها أصلًا.

إذا دُوّر الرسم أو عُكس اتجاه عرضه، تبقى علاقات الأسماء نفسها ما دامت أسماء الرؤوس محفوظة. ليس الضلع الأعلى دائمًا قاعدة خاصة، وليس المائل نوعًا آخر من الحدود. ارسم إصبعك ذهنيًا حول الرؤوس الأربعة ثم راجع الزوج المتقابل. وعند وصف زاوية بثلاثة أحرف، تذكر أن الحرف الأوسط يحدد الرأس؛ فالزاوية عند أحد الأطراف ليست زاوية تقاطع القطرين في داخل الشكل.

الأضلاع المتقابلة تعطي معادلة واحدة

في متوازي الأضلاع يتساوى كل ضلعين متقابلين في الطول، وتتساوى الزاويتان المتقابلتان. ويقسم كل قطر الشكل إلى مثلثين متطابقين، كما توضحه القضية الرابعة والثلاثون في الكتاب الأول من عناصر إقليدس. [1]

في تمريننا الأول، نعلم أن الرباعي متوازي أضلاع، وطول AB = 4x+1 وطول CD = 2x+9 بالسنتيمتر. نساويهما فنحصل على 4x+1 = 2x+9، ومنها 2x = 8 وx = 4. بعد التعويض نجد كلا الطولين سبعة عشر سنتيمترًا. قيمة المتغير ليست طول الضلع؛ لا تكتب أربعة سنتيمترات جوابًا عن طول AB بينما الأربعة حل للرمز داخل التعبير.

أما الضلع المتجاور فلا نجعله سبعة عشر لمجرد هذه الخطوة. يمكن أن يعطى في المسألة بطول عشرة سنتيمترات، ولا يقع تناقض لأن التساوي المطلوب يربط كل ضلع بمقابله. راجع أيضًا أن التعبيرين الناتجين موجبان في تمرين صالح. إذا أعطى حل معادلة أطوالًا سالبة، فلا تكمل رسم رباعي عادي بهذه الأرقام؛ ارجع إلى المعطيات وإلى العلاقة التي استخدمتها قبل اعتماد الجواب.

الزوايا المتجاورة والمتقابلة

كل زاويتين متجاورتين في متوازي الأضلاع متكاملتان؛ مجموعهما 180°. وإذا كانت إحداهما قائمة، أصبحت الزوايا الأربع قوائم. [2]

إذا كان قياس الزاوية عند A في مثال مستقل ثمانيًا وستين درجة، فزاوية C المقابلة لها بالقياس نفسه. الزاوية عند B تساوي 180-68 = 112°، وكذلك زاوية D. ترتيب القياسات حول الرؤوس هو ثمان وستون، ثم مئة واثنتا عشرة، ثم ثمان وستون، ثم مئة واثنتا عشرة. جمعها يعطي ثلاثمئة وستين، لكن هذا الفحص الأخير لا يغني عن تمييز أي زاويتين متقابلتين.

ولو أعطيت زاويتان متجاورتان بالتعبيرين 3t+10 و5t+10، نكتب 8t+20 = 180، فيخرج t = 20. القياسان سبعون ومئة وعشر، وليسا عشرين وعشرين. نعوض في التعبيرين ثم نجمعهما للتحقق. ولو كان التعبيران لزاويتين متقابلتين بدل متجاورتين، لاستخدمنا المساواة بينهما. وصف الموقع جزء من المعطى، وتغيير هذا الوصف يغير المعادلة التي نحلها.

ما معنى أن القطرين ينصفان بعضهما؟

ينصف كل قطر من قطري متوازي الأضلاع القطر الآخر. إذا تقاطعا عند O، فلدينا AO = OC وBO = OD؛ لا تنص هذه الخاصية على تساوي القطرين كاملين. [2]

افترض أن AO = 3y+2 وOC = 5y-6، وأن O تقاطع القطرين في متوازي أضلاع. نساوي النصفين: 3y+2 = 5y-6، فيخرج y = 4. كل نصف طوله أربعة عشر، فيكون القطر AC ثمانية وعشرين. إذا أعطيت بعد ذلك BO = 9، يكون OD = 9 وBD = 18. لم يكن بين الأربعة عشر والتسعة شرط مساواة.

اسم «النصف» متعلق بالقطر الذي ينتمي إليه. نصف قطعة طولها ثمانية وعشرون يختلف عن نصف قطعة طولها ثمانية عشر، مع تحقق التنصيف للقطعتين. لهذا اكتب في ورقة الحل أربعة أسماء للأجزاء بدل قائمة أرقام بلا نسبتها إلى قطريها. وإذا كان المعطى طول القطر كاملًا، اقسمه على اثنين لإيجاد كل جزء منه؛ أما إذا كان المعطى أحد النصفين، فضاعفه عند طلب الطول الكامل.

قطر واحد يقسم الشكل إلى مثلثين

عند رسم القطر AC في الرباعي المرتب ABCD، تظهر منطقتا المثلثين ABC وCDA. يتساوى AB مع CD، وBC مع DA، ويشترك المثلثان في AC. هذه ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة المتساوية، فتثبت مطابقة المثلثين. ربط الأسماء بهذه الطريقة يبين أن التناظر لا يتبع موضع كلمة يمين أو يسار في الورقة. [1]

في نموذجنا اللاحق ستكون رؤوس المثلث الأول صفرًا وصفرًا، وستة وصفرًا، وثمانية وأربعة. المثلث الآخر يصل ثمانية وأربعة، واثنين وأربعة، وصفرًا وصفرًا. تسلسل الأطوال المتناظرة هو ست وحدات، ثم جذر عشرين، ثم جذر ثمانين في كليهما. الأعداد تؤكد المطابقة في هذا المثال، لكننا لا نحتاج إلى تقريب الجذور لإثباتها؛ يكفي بقاء القيم الدقيقة والضلع المشترك.

إذا خصصت لأحد المثلثين لونًا في رسمك، فقد تبدو المساحة الملونة مختلفة بصريًا بسبب زاوية العرض أو موقعها. لا تبنِ الجواب على مقدار ما يبدو واسعًا على الشاشة. في المثال ثَبَت التطابق من المعطيات والعلاقات، وهو ما يسمح بمقارنة المثلثين. ولا نستنتج أن كل خط يصل رأسًا إلى نقطة على ضلع مقابل يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين؛ الذي استعملناه هنا قطر يصل رأسين متقابلين.

نموذج إحداثيات يمكن فحصه

نختار رؤوسًا أصلية A(0,0), B(6,0), C(8,4), D(2,4)، ونصلها بهذا الترتيب. الإزاحة من A إلى B هي ست وحدات أفقيًا، مثل الإزاحة من D إلى C. والإزاحة من A إلى D وحدتان أفقيًا وأربع رأسيًا، مثل الإزاحة من B إلى C. هكذا تكون الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية، دون استنتاج ذلك من ميل الرسم وحده.

منتصف القطر AC يساوي ((0+8)/2,(0+4)/2) = (4,2). ومنتصف BD يساوي ((6+2)/2,(0+4)/2) = (4,2) أيضًا. جمع إحداثيي الطرفين وقسمتهما على اثنين يعطي في كل مرة النقطة نفسها. لا نجمع جميع إحداثيات الرؤوس الأربعة ثم نسمي المتوسط منتصفًا لقطر من غير تعيين طرفيه؛ لكل قطر زوج طرفين محدد في الحساب.

هذا النموذج ليس مستطيلًا، لأن ضلع AD يزيد إحداثييه الأفقي والرأسي معًا، بينما AB أفقي؛ فالزاوية بينهما غير قائمة. وليس معينًا، لأن مربع طول AB ست وثلاثون، ومربع طول AD عشرون. يبقى مع ذلك متوازي أضلاع. المثال يجعل الشروط التي لم نضفها واضحة: التوازي المقابل لا يفرض قيام الزاوية ولا تساوي كل الأضلاع.

تنصيف القطرين لا يعني تساويهما أو تعامدهما

في الإحداثيات السابقة، مربع طول AC هو 8²+4² = 80، ومربع طول BD هو (-4)²+4² = 32. لذلك طول الأول 4√5، وطول الثاني 4√2، وهما مختلفان. منتصفهما واحد كما حسبنا، فنملك مثالًا واضحًا يتحقق فيه التنصيف دون تساوي الطولين. لا نحتاج إلى قياس صورة القطرين بمسطرة الشاشة لإظهار هذا الفرق.

ولفحص التعامد في المثال، اتجاه القطر الأول (8,4) واتجاه الثاني (-4,4). حاصل ضرب مركبات الاتجاهين وجمعها هو 8×(-4)+4×4 = -16، لا صفر. ويمكن قراءة النتيجة نفسها من الميلين: الأول نصف والثاني سالب واحد، فحاصل ضربهما سالب نصف، وليس سالب واحد. هذان فحصان حسابيان لهذا الزوج الذي لا يحوي خطًا رأسيًا، فلا ننقل طريقة ضرب الميلين إلى حالة ميل غير معرّف.

أما نصفا AC فكل منهما 2√5، ونصفا BD فكل منهما 2√2. احتفظ بالمقارنة داخل القطر الواحد عند تطبيق التنصيف. قول إن أربع القطع الداخلية متساوية يضيف شرطًا لم يتحقق في نموذجنا. كلمة «كل منهما» في وصف القطرين تعني أن لكل قطر منتصفه المشترك مع الآخر، ولا تعني أن كل قياس في الرسم يساوي بقية القياسات.

متى تثبت الخاصية نوع رباعي جديد؟

في رباعي بسيط غير منعدم، تنصيف القطرين كلٍّ منهما الآخر شرط كافٍ لإثبات أنه متوازي أضلاع. ومن الشروط الكافية أيضًا تساوي كل زوج من الأضلاع المتقابلة، أو وجود زوج متقابل متوازٍ ومتساوٍ معًا. [2]

نفرق بين صيغة تبدأ برباعي معلوم أنه متوازي أضلاع، فتستخرج منه علاقة، وصيغة تبدأ برباعي جديد وتبحث عن دليل تصنيفه. الأولى استعمال مباشر للخاصية، والثانية استعمال شرط كافٍ. إذا كتبت مساواة نصفين دون إثبات المساواة الأخرى، لم تتحقق بعد عبارة تنصيف القطرين بعضهما. لا تستعمل النتيجة الجزئية كأنها الشرط الكامل، ولو كان الرسم قريبًا من الصورة التي تعرفها.

وفي النموذج الإحداثي، تساوي المنتصفين يكافئ جمع إحداثيات طرفي AC ومطابقتها لجمع طرفي BD: A+C = B+D. بإعادة ترتيب هذه العلاقة نحصل على B-A = C-D وD-A = C-B. أي إن الإزاحتين المتقابلتين متساويتان، فتتوازي الأضلاع. اشترطنا رباعيًا بسيطًا غير منعدم، حتى لا ندرج أربع نقاط على خط واحد كأنها شكل ذو داخل صالح لهذه المسألة.

تساوي القطرين وحده لا يكفي

نختار مثالًا مضادًا أصليًا برؤوس P(0,0), Q(8,0), R(6,3), S(2,3). القطر PR مربع طوله 6²+3² = 45، والقطر QS مربع طوله (-6)²+3² = 45. إذن يتساويان في الطول. لكن الضلعين الأفقيين طولهما ثمان وحدات وأربع وحدات، فلا تتساوى الأضلاع المتقابلة، ولا يكون هذا الرباعي متوازي أضلاع.

منتصف PR هو (3,1.5)، ومنتصف QS هو (5,1.5). اشتراك الإحداثي الرأسي لا يجعلهما نقطة واحدة، لأن الإحداثي الأفقي مختلف. هذه هي المعلومة التي كشفها فحص التنصيف ولم يكشفها تساوي الطولين. ويمكن أيضًا فحص الميلين الجانبيين: الإزاحة إلى الأعلى من أحد الطرفين تختلف في اتجاهها الأفقي عن الأخرى، فلا نحصل على زوجَي أضلاع متوازية.

المثال يرد على عبارة محددة هي «قطران متساويان إذن الشكل متوازي أضلاع». لا يرد على خاصية المستطيل داخل عائلة متوازي الأضلاع، لأن تلك العبارة تحمل معطى سابقًا بأن الشكل من العائلة. عند قراءة شرط في مسألة، احتفظ بما كان معلومًا قبل الشرط وما أُضيف إليه. حذف المعطى السابق قد يحول قاعدة صحيحة إلى تعميم يبطله رباعي آخر مثل المثال الذي رسمناه.

الأشكال الخاصة تحتفظ بخصائص الشكل العام

المستطيل متوازي أضلاع زواياه الأربع قائمة، والمعين متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متساوية. ويجمع المربع الشرطين: تساوي الأضلاع وقيام الزوايا. لا يكفي نقل تعريف حالة خاصة إلى الشكل العام. [3]

لو كان لدينا متوازي أضلاع إحدى زواياه تسعين درجة، فإن زاوية مجاورة لها تكون تسعين أيضًا، لأن مجموعهما مئة وثمانون. وبالتقابل تحصل الزاويتان الباقيتان على القياس نفسه. هذا استنتاج من العلاقات التي سبق استعمالها، ويظهر كيف يقود شرط واحد على زاوية إلى تعريف المستطيل. لا نفترض أن كل متوازي أضلاع مستطيل لأن رسمًا في كتاب جاء بزوايا قائمة.

وفي نموذجنا الأول الضلعان المتجاوران ليسا متساويين؛ لذلك لا نصنفه معينًا. وفي مثال آخر قد يتساويان دون أن تصبح الزاوية قائمة، فيكون المعين غير المربع ممكنًا. المطلوب أن تجمع الشروط المناسبة للاسم الذي تريد إثباته. عندما تسأل المسألة عن خصائص متوازي الأضلاع العام، لا تضف مساواة قطرين أو تعامدهما لمجرد أنك تحفظ هذه العلامة من رسم حالة خاصة درستها قبله.

لا يعني تنصيف القطر الآخر أن القطر ينصف زاوية الرأس أيضًا. للتوضيح نختار مستطيلًا مستقلًا عرضه ست وحدات وارتفاعه ثلاث وحدات. زاوية الرأس قائمة، أي تسعون درجة. اتجاه القطر من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين يزيد ست وحدات أفقيًا وثلاثًا رأسيًا؛ زاوية ميله على الضلع الأفقي نحو 26.565°، وتبقى مع الضلع الرأسي زاوية نحو 63.435°. ليستا خمسًا وأربعين لكل منهما، فلا ينصف هذا القطر زاوية الرأس في المستطيل المؤلف، مع أن المستطيل متوازي أضلاع.

يمكنك توقع ذلك في الرسم بوصل زاوية مستطيل طويل نسبيًا بالزاوية المقابلة، لكن التحقق هنا يعتمد على أبعاد محددة لا على المظهر. تنصيف قطعة مستقيمة سؤال عن طولَي جزأين، وتنصيف زاوية سؤال عن قياسَي زاويتين. الاحتفاظ باسم الشيء المنصوف يمنع أن تنقل نتيجة الأول إلى الثاني. وما أثبتناه مثال مضاد للادعاء العام، لا نفي لكل حالة خاصة؛ فهناك أشكال إضافية الشروط قد يتحقق فيها تنصيف زوايا الرأس. في المسألة الحالية لا نمنح الشكل شرطًا إضافيًا قبل وجود دليل عليه.

اقرأ المعطيات ولا تقِس الرسم بدلها

إذا قدمت ورقة رسمًا بلا مقياس وبجواره AO = 14، فلا تحاول إثبات أن BO يساويه من عدد البكسلات التي يحتلها الخط. إن كان الشكل معلومًا متوازي أضلاع، يمكنك استنتاج OC = 14، لكن BO يحتاج معطى آخر. يمثل نقص المعطيات جوابًا ممكنًا في السؤال، ولا نملؤه بقيمة اخترناها من الرسم لأن الشكل بدا متناسقًا.

وكذلك سهم توازٍ على زوج واحد من الأضلاع لا يرسم لنا الزوج الآخر تلقائيًا. ابحث عن علامة ثانية أو شرط كافٍ مثل تساوي ذلك الزوج مع توازيه. الأرقام على ضلعين متجاورين لا تحقق شرط تساوي الضلعين المتقابلين. يمكن أن تكتب جدولًا صغيرًا للمعطى والنتيجة: ما المقارنة التي أعرفها؟ ما الشكل المعلوم؟ وما الشرط الذي لم يثبت بعد؟ هذا يمنع القفز من تشابه بصري إلى حكم هندسي.

بعد حل متغير، أعده إلى العلاقات الأصلية. في تمرين الضلعين حصلنا على سبعة عشر وسبعة عشر، وفي تمرين الزاويتين حصلنا على سبعين ومئة وعشر، وفي تمرين القطر حصلنا على أربعة عشر وأربعة عشر. تختلف طريقة التحقق باختلاف الخاصية. لا يكفي أن معادلة ما أعطتك عددًا صحيحًا؛ ينبغي أن يكون العدد مناسبًا للطول أو الزاوية أو الجزء الذي وصفته المسألة، وأن يحقق الشروط السابقة معًا.

تدريبات أصلية تجمع الخصائص

في متوازي أضلاع، نصفا قطر واحد 2z+5 و4z-7. المساواة تعطي 2z = 12، ومنه z = 6. طول كل نصف سبعة عشر، وطول القطر أربعة وثلاثون. وإذا كان القطر الآخر كاملًا اثنين وعشرين، فنصفاه أحد عشر لكل منهما. بيان هذين الزوجين معًا تدريب على عدم مساواة أجزاء من قطرين مختلفين، وعلى الفصل بين قيمة المتغير وطول القطعة بعد التعويض.

وفي تمرين زاوية، القياسان المتجاوران 2u+15 و4u+15. مجموعهـما مئة وثمانون، فيخرج 6u+30 = 180 وu = 25. القياسان خمسة وستون ومئة وخمسة عشر؛ والزاويتان المقابلتان لهما تحتفظان بهذين القياسين. إذا بدلت في وصف السؤال المتجاورتين بالمتقابلتين، احتجت إلى معادلة أخرى. اقرأ وصف الرؤوس قبل نسخ نموذج حل تمرين سابق.

وأخيرًا، هل يكفي قول إن قطري رباعي متساويان لإثبات أنه متوازي أضلاع؟ الجواب لا، ونموذجنا الثاني يقدم مثالًا مضادًا. وهل يكفي أن ينصف كل قطر الآخر في رباعي بسيط غير منعدم؟ نعم، وهو الشرط الذي فحصناه بمنتصفين متطابقين. اعتمد علاقة واضحة أو مثالًا مضادًا صحيحًا، ثم اذكر ما بقي غير معلوم. بهذه الطريقة تصبح الخصائص أدوات للفهم والبرهان، لا قائمة علامات توضع على كل رسم يشبه الشكل المألوف.