نفس القطع الناقص: لماذا يختلف حجمه عند تغيير محور الدوران؟

حجم دوران القطع الناقص يتغير مع المحور الذي ندير المنطقة حوله. نقارن الشكل نفسه بحسابين. [2]

الخلاصة السريعة

الدوران حول المحور الأصغر يعطي حجمًا أكبر عندما يكون المحوران مختلفين. [2]

نثبت المنطقة الممتلئة x²/a²+y²/b²≤1، حيث a>b>0 منتهيان بالسنتيمتر، والمركز (0,0). هما نصفا المحورين؛ الطولان الكاملان 2a,2b. ندير المنطقة كلها، لا حدها وحده. [2]
حول المحور الأكبر x: نصف قطر القرص b√(1−x²/a²)، و−a≤x≤a. تكامل مساحة القرص يعطي Vx=4πab²/3 سم³. النصفان العلوي والسفلي يمسحان الجسم نفسه؛ لا نضاعف الحجم. [1]
حول المحور الأصغر y: نصف قطر القرص a√(1−y²/b²)، و−b≤y≤b. التكامل يعطي Vy=4πa²b/3 سم³. يتغير مجال التكامل ونصف قطر القرص معًا. [3]
النسبة Vy/Vx=a/b>1. الأول أنصاف محاوره (a,b,b)، والثاني (a,b,a). إذا سمحنا بالحالة الدائرية a=b=r>0، ينتج الحجم نفسه 4πr³/3 سم³. [2]
مركز المنطقة الهندسي عند الأصل بالتناظر، والمحوران يقطعان داخلها. مبرهنة بابوس للحجم بصيغة المحور الخارجي تشترط ألا يقطع المحور المنطقة؛ لا يصح هنا استنتاج حجم صفري من ثبات المركز. [4]
مثال مؤلف a=6,b=2 سم: المحوران الكاملان 12,4 سم؛ Vx=32π وVy=96π سم³، والنسبة 3. نولد مجسمين مختلفين؛ لا ندير مجسمًا موجودًا لتغيير حجمه. [1]

ثبت المنطقة ومحوريها

نثبت المنطقة الممتلئة x²/a²+y²/b²≤1، حيث a>b>0 منتهيان بالسنتيمتر، والمركز (0,0). هما نصفا المحورين؛ الطولان الكاملان 2a,2b. ندير المنطقة كلها، لا حدها وحده. [2]

الدوران الأول ينتج مجسمًا ممدودًا على محور x، والثاني مجسمًا مفلطحًا على محور y. أنصاف المحاور، لا الأطوال الكاملة، هي أبعاد قانون المجسم الناقصي. [2]

احسب الدوران حول الأكبر

حول المحور الأكبر x: نصف قطر القرص b√(1−x²/a²)، و−a≤x≤a. تكامل مساحة القرص يعطي Vx=4πab²/3 سم³. النصفان العلوي والسفلي يمسحان الجسم نفسه؛ لا نضاعف الحجم. [1]

مساحة المقطع Ax=πb²(1−x²/a²). الدالة الأصلية بعد إخراج πb² هي x−x³/(3a²)؛ قيمتها بين −a,a تساوي 4a/3. هذا قرص واحد عند كل موضع. [1]

احسب الدوران حول الأصغر

حول المحور الأصغر y: نصف قطر القرص a√(1−y²/b²)، و−b≤y≤b. التكامل يعطي Vy=4πa²b/3 سم³. يتغير مجال التكامل ونصف قطر القرص معًا. [3]

نكتب Ay=πa²(1−y²/b²). بعد إخراج πa²، نعوض في y−y³/(3b²) بين −b,b؛ الفرق 4b/3. المقطع ممتلئ حتى المحور، فلا نطرح قرصًا داخليًا. [3]

قارن الحجمين وافحص الدائرة

النسبة Vy/Vx=a/b>1. الأول أنصاف محاوره (a,b,b)، والثاني (a,b,a). إذا سمحنا بالحالة الدائرية a=b=r>0، ينتج الحجم نفسه 4πr³/3 سم³. [2]

الحجم العام للمجسم الناقصي 4πuvw/3 لأنصاف محاور u,v,w. التعويض بالمجموعتين يعيد الحجمين، ثم القسمة تلغي العامل المشترك. عند تساوي النصفين، تزول المقارنة الصارمة ويصبح الجسم كرة. [2]

لماذا لا نطبق بابوس هنا؟

مركز المنطقة الهندسي عند الأصل بالتناظر، والمحوران يقطعان داخلها. مبرهنة بابوس للحجم بصيغة المحور الخارجي تشترط ألا يقطع المحور المنطقة؛ لا يصح هنا استنتاج حجم صفري من ثبات المركز. [4]

عدم تقاطع المحور شرط في المبرهنة المذكورة، وليس تفصيلًا يمكن حذفه. نحسب اتحاد النقاط الممسوحة بالأقراص مباشرة، بدل جمع إسهامات متداخلة أو استعمال مسافة مركز غير صالحة. [4]

مساحتا الأقراص عبر مجالين مختلفين — الإحداثي الأفقي هو x أو y بحسب المنحنى. [3]

مثال بنفس الشكل وبمحورين

مثال مؤلف a=6,b=2 سم: المحوران الكاملان 12,4 سم؛ Vx=32π وVy=96π سم³، والنسبة 3. نولد مجسمين مختلفين؛ لا ندير مجسمًا موجودًا لتغيير حجمه. [1]

في المثال، نعوض 4π×6×2²/3=32π، ثم 4π×6²×2/3=96π. القسمة 96/32=3 بلا وحدة. المسألة حجم هندسي، ولا تحسب مساحة السطح أو كتلة مادة. [1]

المراجع

راجع أنصاف المحورين ومساحة الشكل

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.