نظرية الجذور النسبية: المرشح ليس جذرًا بعد

ابدأ بكسر مختزل

نحتاج معاملات صحيحة وكسرًا مختزلًا؛ البسط يقسم الثابت والمقام يقسم المعامل الرئيس. [1]

فيP(x)=6x³−7x²−x+2، المعامل الرئيس6 والثابت2. القواسم الموجبة للثابت1 و2، وللمعامل1 و2 و3 و6. نجمع الكسور مع الإشارتين، ثم نوحد المتساوي منها.

مثلًا2/2 يكرر1، و2/6 يكرر1/3. القائمة المتميزة±1،±2،±1/2،±1/3،±2/3،±1/6 تحوي ست قيم موجبة وست سالبة؛ وجود رقم في القائمة لا يثبت أنه جذر.

العدد4/6 يساوي2/3، وهو جذر سنفحصه. لكن4 لا يقسم الثابت2؛ لا توجد مخالفة للنظرية لأن4/6 غير مختزل. بعد الاختزال يكونp=2 وq=3، فيقسم2 الثابت و3 المعامل6.

افحص المرشحين

الجذر هو قيمة تجعلP(x)=0؛ تربط مبرهنة العامل الجذرr بالعاملx−r. [2]

عند1، نحصل على6−7−1+2=0. وعند−1/2، نحصل على−3/4−7/4+1/2+2=0. وعند2/3، نحصل على16/9−28/9−6/9+18/9=0.

أما1/3 فيعطي2/9−7/9−3/9+18/9=10/9، وهو غير صفر. والمرشح2 يعطي48−28−2+2=20. كلاهما في القائمة، وكلاهما يفشل الاختبار.

القسمة علىx−1 تكتب كثير الحدود حاصل ضرب خارج وقاسم مع باقي؛ الباقي صفر في مثالنا. [3]

نحسبP(x)=(x−1)(6x²−x−2). ونحلل الخارج:6x²−x−2=(2x+1)(3x−2). بضرب العاملين الأخيرين نجد6x²−4x+3x−2، ثم الضرب فيx−1 يعيد6x³−7x²−x+2.

إذن الجذور1،−1/2،2/3. التحليل إلى العوامل الخطية الثلاثة يمنع وجود جذر آخر للمثال؛ أما مجرد اختبار هذه القيم الثلاث وحده فلا يقدم تحليلًا كاملًا لمعادلة مختلفة.

لماذا يظهر القاسمان؟

نكتبP(p/q)=0 ونضرب فيq^n. جميع الحدود إلا الأخير تحتويp، فيقسمp حاصلa0q^n؛ وبالاختزال يقسمa0. [1]

وبالمثل جميع الحدود إلا الأول تحتويq؛ لذاq يقسمanp^n، ومع الاختزال يقسمan. الشرطان ضروريان، ولا يكفيان وحدهما. [1]

في مكعبنا تصبح المساواة6p³−7p²q−pq²+2q³=0. عندp=2 وq=3:48−84−18+54=0. أماp=1 وq=3 فيعطي6−21−9+54=30؛ بقسمة30 على27 نستعيد10/9، فلا يصلح1/3 جذرًا.

يعنيp|2 أن2 مضاعف صحيح لـp، ولا يعني أنp يساوي2. لذلك لم نحذف−1 من قائمة الاختبار؛ وهو مرشح أيضًا، لكنه يعطيP(−1)=−6−7+1+2=−10.

حدود القائمة

فيH(x)=x²−3، المعامل الرئيس1 والثابت−3؛ المرشحون النسبيون±1 و±3. القيم±1 تعطي−2، والقيم±3 تعطي6؛ لا جذر نسبي ضمن القائمة الكاملة.

لكنH(x)=0 تعنيx²=3، فتوجد الجذور الحقيقية±√3. فشل المرشحين ينفي الجذر النسبي فقط، ولا يحول المعادلة إلى معادلة بلا حلول حقيقية. [2]

إذا أخذناQ(x)=xP(x)=6x⁴−7x³−x²+2x، فالثابت صفر. نستخرجx: يوجد الجذر0، ثم نطبق القائمة السابقة علىP، فنحصل على0،1،−1/2،2/3. لا نختزل المعادلة بقسمة علىx دون الاحتفاظ بالصفر.

وإذا كتبناP(x)/2=3x³−(7/2)x²−(1/2)x+1، فإن المعاملات ليست كلها صحيحة. نضرب المعادلة في2 لاستعادةP(x)=0 قبل استعمال قاعدة القواسم؛ الضرب بثابت غير صفري يحافظ على الجذور.

راجع المعاملات الصحيحة، والاختزال، والإشارتين، ثم القيمة الدقيقة للتعويض. لا تستبدل2/3 بتقريب0.67 لتطلب ناتجًا يساوي صفرًا تمامًا.