شريحة كرة: هل تكفي مساحتها المنحنية لتحديد حجمها؟

مساحة شريحة الكرة لا تحدد حجمها؛ نقارن موضعين داخل الكرة نفسها بارتفاع واحد. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ المساحة المنحنية ثابتة عند تثبيت نصف قطر الكرة وارتفاع الشريحة، لكن الحجم يتغير بموضعها. [1]

كرة مصمتة مثالية x²+y²+z²≤R²، ونصف قطر منتهٍ R>0 سم. الشريحة بين مستويين متوازيين z=c−h/2,c+h/2، حيث h>0 منتهٍ و|c|+h/2≤R. c موضع منتصف الشريحة من مركز الكرة، لا نصف قطر. [4]
مساحة السطح المنحني S=2πRh سم²، تستبعد الوجهين المسطحين. تعتمد على نصف قطر الكرة وارتفاع الشريحة، ولا تعتمد على c. لا نساويها بمساحة المقطع المحوري الملوّن في الرسم. [3]
مساحة القرص عند z هي A(z)=π(R²−z²). تكاملها بين c−h/2,c+h/2 يعطي V=πh(R²−c²−h²/12) سم³. تحرك المستويين مع حفظ المسافة بينهما يغير المقاطع التي نجمعها. [2]
عند تثبيت R,h، الفرق V(0)−V(c)=πhc²≥0. أكبر حجم عند c=0 فقط؛ يقل مع زيادة |c|. الموضعان c,−c يعطيان الحجم نفسه، فلا يحدد الحجم إشارة الموضع. [2]
مثال مؤلف: R=5,h=2 سم. الشريحة −1≤z≤1 لها c=0,V=148π/3cm³؛ والشريحة 2≤z≤4 لها c=3,V=94π/3cm³. لكل منهما S=20πcm²، مع فرق حجم 18πcm³. الارتفاع نفسه لا يعني الحجم نفسه. [1]
للجسم المغلق أضف الوجهين: S_closed=S+π(a²+b²)، حيث a,b نصفا قطري قرصي القطع. في المثال النتيجتان 68π,50πcm²؛ الثبات يخص المنحني وحده. لا ثقب أو كثافة أو قياس أو تصميم تصنيع في الحساب. [1]

حدد الكرة والمستويين

كرة مصمتة مثالية x²+y²+z²≤R²، ونصف قطر منتهٍ R>0 سم. الشريحة بين مستويين متوازيين z=c−h/2,c+h/2، حيث h>0 منتهٍ و|c|+h/2≤R. c موضع منتصف الشريحة من مركز الكرة، لا نصف قطر. [4]

تحد الحدود المسموحة جميع المقاطع داخل الكرة؛ عند مماسة أحد المستويين للقطب يصبح قرصه نقطة. [4]

استبعد الوجهين من المساحة المنحنية

مساحة السطح المنحني S=2πRh سم²، تستبعد الوجهين المسطحين. تعتمد على نصف قطر الكرة وارتفاع الشريحة، ولا تعتمد على c. لا نساويها بمساحة المقطع المحوري الملوّن في الرسم. [3]

لـρ(z)=√(R²−z²) داخل الكرة، عنصر السطح 2πρ√(1+ρ′²)dz=2πRdz. عند القطب نأخذ النهاية؛ لا نضع مشتقة منتهية هناك. [3]

اجمع مساحات الأقراص

مساحة القرص عند z هي A(z)=π(R²−z²). تكاملها بين c−h/2,c+h/2 يعطي V=πh(R²−c²−h²/12) سم³. تحرك المستويين مع حفظ المسافة بينهما يغير المقاطع التي نجمعها. [2]

دالة أصلية لمساحة المقطع π(R²z−z³/3)؛ نطرح قيمتها عند المستوى السفلي من العليا. [2]

افحص أثر موضع الشريحة

عند تثبيت R,h، الفرق V(0)−V(c)=πhc²≥0. أكبر حجم عند c=0 فقط؛ يقل مع زيادة |c|. الموضعان c,−c يعطيان الحجم نفسه، فلا يحدد الحجم إشارة الموضع. [2]

إذا h=2R، يسمح الشرط بـc=0 فقط؛ هذه الكرة كلها. لا يوجد حينها موضع مزاح للمقارنة. [2]

قارن شريحتين مؤلفتين

مثال مؤلف: R=5,h=2 سم. الشريحة −1≤z≤1 لها c=0,V=148π/3cm³؛ والشريحة 2≤z≤4 لها c=3,V=94π/3cm³. لكل منهما S=20πcm²، مع فرق حجم 18πcm³. الارتفاع نفسه لا يعني الحجم نفسه. [1]

مربعا نصفي قطري الوجهين 24,24 في المركز و21,9 في الشريحة المزاحة، بوحدة سم². [1]

حجم الشريحة مع موضع منتصفها — للمساحة المنحنية قيمة واحدة عبر المجال المرسوم. [2]

ميز المنحني من الجسم المغلق

للجسم المغلق أضف الوجهين: S_closed=S+π(a²+b²)، حيث a,b نصفا قطري قرصي القطع. في المثال النتيجتان 68π,50πcm²؛ الثبات يخص المنحني وحده. لا ثقب أو كثافة أو قياس أو تصميم تصنيع في الحساب. [1]

عمومًا a²=R²−(c−h/2)²,b²=R²−(c+h/2)². قرصا الوجهين جزء من الحد، وليس حجم الشريحة. [1]

المراجع

راجع حجم الكرة الكاملة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.