كاسيني: حاصل الجارين ومربع الحد

الترقيم أولًا

نبدأ بـF0=0 وF1=1؛ كل حد لاحق مجموع سابقيه. [2]

نحسب تباعًاF2=1،F3=2،F4=3،F5=5،F6=8،F7=13،F8=21،F9=34،F10=55،F11=89. مثلًاF9=13+21=34؛ العدد9 ترتيب، والعدد34 قيمة.

في مثالn=8، الجارانF7 وF9 هما13 و34؛ حاصل ضربهما442. مربع الحدF8 هو21²=441. الفرق442−441=1، رغم أن21 عدد فردي.

أما عندn=9 فالحد الأوسط34 زوجي، لكن الفرق21×55−34²=1155−1156=−1. من يختار الإشارة بحسب زوجية34 بدل ترتيب9 سيحصل على الإشارة الخطأ.

ترتيب الطرح

نعرفDn بحاصل الجارين ناقص مربع الأوسط؛ متطابقة كاسيني تقولDn=(−1)^n. [1]

عندn=10، حاصل الجارين34×89=3026، ومربع55 يساوي3025؛ الفرق1. المثالان8 و10 يعطيان الإشارة نفسها لأن ترتيبيهما زوجيان.

إذا طرحت حاصل الجارين من المربع، تغيرت النتيجة: في مثال8 تحصل على441−442=−1، وفي مثال9 تحصل على1156−1155=1. العمليتان صحيحتان؛ المهم تحديد أي فرق تقصده.

المقارنة في الصورة جدول حسابي؛ لا تمثل فرقًا في طول أو مساحة مقيسة، ولا تكبر الوحدة بصريًا لتوحي بأن442 ضعف441.

برهان انقلاب الإشارة

البداية: D1=F0F2−F1²=0−1=−1. [1]

من علاقة الحدود: D(k+1)=(F(k+1)+Fk)Fk−(Fk+F(k−1))F(k+1)=Fk²−F(k−1)F(k+1)=−Dk. [1]

إذا كانDk=(−1)^k، فالتالي(−1)^(k+1)؛ مع البداية يثبت الاستقراء جميعn≥1. [1][3]

في الانتقال من8 إلى9 ننتقل من1 إلى−1، ثم عند10 إلى1. هذه الأعداد تراجع أمثلة الخطوة؛ المساواة الرمزية تفسر استمرارها بعد آخر صف في الجدول.

n=1 يحتاجF0؛ أماn=0 فيحتاجF(−1) غير المعرف هنا.

البدايات مهمة

جرب متتالية مستقلة تبدأ بـG0=1 وG1=3، وكل حد تال مجموع سابقيه. تحصل علىG2=4،G3=7،G4=11،G5=18. قاعدة الجمع نفسها، لكن البداية مختلفة.

فرق الجارين ناقص المربع عندn=1 يساوي1×4−3²=4−9=−5. عندn=2 يساوي3×7−4²=21−16=5. عندn=3 يساوي4×11−7²=44−49=−5، وعندn=4 يساوي7×18−11²=126−121=5.

يمكن إعادة الجبر بكتابةG بدلF: الفرق التالي سالب السابق. لكن البداية هنا−5، فيبقى المقدار5 في الأمثلة ويستمر انقلاب الإشارة؛ قاعدة الجمع وحدها لا تجعل المقدار1.

راجع ثلاثة أمور في تطبيقك: البدايتان، وفهرس الحد الأوسط، وترتيب الطرح. مثلًا معG2=4 لا تنقل نتيجةF2=1 إلى هذه المتتالية؛ وعندF8=21 لا تستعمل فردية21 لتحديد الإشارة.