متباينة برنولي: لماذا لا يعطي الحد الخطي القيمة نفسها؟

الخلاصة السريعة

الحد الخطي في المثال الأول 8/5 يساوي 200/125، بينما القوة 216/125؛ الفرق 16/125. في المثال السالب، الحد 2/5 يساوي 50/125 والقوة 64/125؛ الفرق 14/125. إذن الحد يعطي مقارنة من أسفل، لا القيمة الدقيقة للقوة.

• لـ x > −1 و n صحيح موجب، (1+x)ⁿ ≥ 1+nx؛ المساواة عند n=1 أو x=0. [1] نراجع x=−1 أيضًا.
• للأس 3 و x=1/5، القوة 216/125 والحد 8/5، والفجوة 16/125. وعند x=−1/5، القوة 64/125 والحد 2/5، والفجوة 14/125؛ سالب x لا يجعل الأساس 1+x سالبًا هنا.
• لـ n=3، الفجوة x²(3+x) غير سالبة عند x ≥ −1. المساواة للأس الصحيح الموجب عند x=0 أو n=1.
• نكتب الفجوة Dₙ بين القوة وحدها الخطي. علاقتها Dₙ₊₁ = (1+x)Dₙ + nx² تكشف الإشارة عندما x ≥ −1؛ لا نحتاج افتراض أن كل معامل تالٍ أصغر من سابقه.
• في x=−1 والأس 3، الأساس 0 والقوة 0 والحد −2، فتبقى المقارنة صحيحة. أما x=−4 والأس 3 فيعطي −27 مقابل −11؛ هذا خارج المجال ويمنع التعميم إلى جميع x.
• عند a=1/2 و x=3، القوة 2 والحد 5/2. عمومًا لـ a أكبر من 0 وأصغر من 1 و x > −1 و x ≠ 0 ينعكس الاتجاه. [1]

نحسب الطرفين ونحافظ على الأقواس

في x=1/5، الأساس 1+x يساوي 6/5. تكرار ضربه ثلاث مرات يعطي 216/125. الحد الخطي 1+3x يساوي 1 + 3/5 = 8/5، أي 200/125. طرح الحد من القوة يعطي 16/125، وهو 0.128 بالضبط.

في x=−1/5، الأساس 4/5. مكعبه 64/125، بينما 1+3x = 1 − 3/5 = 2/5، أي 50/125. الفرق 14/125، وهو 0.112. الإشارة السالبة في x تصغر الأساس إلى 4/5، لكنها لا تجعله −4/5.

الصورة الرئيسية تعرض القوة والحد والفجوة لكل اختيار. القيم بلا وحدات وتمثل حسابًا جبريًا، لا بيانات نمو مقاسة. تغيير 1/5 إلى −1/5 يغير المدخل؛ لا نفترض أن الفجوتين متساويتان بسبب تساوي القدرين المطلقين.

الأقواس أساسية: نرفع 1+x كاملًا إلى الأس 3. التعبير 1+x³ مختلف؛ في x=1/5 يعطي 126/125، لا 216/125. كذلك ضرب 3 في x لا يعني تكعيب x، والحد الخطي 1+3x يبقى عملية أخرى.

المكعب يكشف الفرق في صورة عاملين

مفكوك (1+x)³ هو 1+3x+3x²+x³. طرح 1+3x يترك 3x²+x³، أي x²(3+x). هذه هوية نستطيع مراجعتها بالتوزيع، وليست تقديرًا عشريًا.

في x=1/5، المربع 1/25 والعامل 3+x يساوي 16/5؛ حاصل ضربهما 16/125. وفي x=−1/5، المربع نفسه 1/25، لكن العامل الثاني 14/5؛ الحاصل 14/125. هذا يفسر اختلاف الفجوتين دون الحاجة إلى تخمين من الرسم.

عند x ≥ −1، لدينا 3+x ≥ 2 و x² ≥ 0؛ فرق المكعب ينعدم عند x=0 فقط. افحص العاملين، لا المربع وحده.

عند x=−4، المربع 16 والعامل 3+x يساوي −1، فالفرق −16. بالقيم المباشرة (1−4)³ = −27 والحد 1 + 3 × (−4) = −11. هذا المثال خارج المجال؛ وجود المربع لم يمنع الفجوة السالبة.

علاقة الفجوة تبرهن المقارنة لكل أس صحيح موجب

عرّف Dₙ = (1+x)ⁿ−(1+nx). بالتوزيع نجد Dₙ₊₁ = (1+x)Dₙ + nx². عند n=1 الفجوة 0. إذا x ≥ −1، فالعامل 1+x غير سالب؛ العلاقة تثبت عدم سلبية الفجوات تباعًا.

مثلًا في x=−1/5، فجوة الأس 2 هي 1/25. علاقة الانتقال إلى الأس 3 تضربها في 4/5، ثم تضيف 2/25. النتيجة 4/125 + 10/125 = 14/125، وهي نتيجة حساب القوة والحد مباشرة. لا نضرب المتباينة في x نفسه، وهو سالب هنا.

إذا n > 1 و x ≠ 0 فالحد المضاف موجب والفجوة موجبة. أما x=0 أو n=1 فالمساواة صحيحة. [1]

في x=1/5، فجوة الأس 2 أيضًا 1/25. لكن العامل في الانتقال 6/5 بدل 4/5؛ تصبح الفجوة 6/125 + 10/125 = 16/125. تغيير العامل يحفظ الفرق بين المثالين، مع أن الحد المضاف 2/25 متطابق فيهما.

المساواة والحد الصفري يفحصان مباشرة

عند x=0 والأس 3، القوة 1 والحد 1، فالفجوة 0. وعند n=1 و x=1/5، القوة 6/5 والحد 6/5. هذان مثالان لحالتَي المساواة، ولا نكتب «أكبر دائمًا» ثم ننسى إدخالهما.

عند x=−1 والأس 3، نكعّب 0 فنحصل على 0، والحد 1 − 3 = −2. الفرق 2 موجب. في علاقة الفجوة يصبح العامل 1+x صفرًا؛ الحد المضاف هو الذي يبقى، ولا تتطلب الخطوة قسمة على 0.

الجدول يستعمل أسسًا صحيحة موجبة فقط، ويعرض الفجوة بعد طرح الحد الخطي من القوة. لا يحتوي 0⁰؛ نحن لم نضع n=0 ضمن النسخة التي نثبتها. ولا نخلط x=−1، الذي يجعل الأساس 0، مع x=0 الذي يجعل الأساس 1.

نجاح الحد الصفري هنا لا يبرر إسقاط شرط x ≥ −1. الحالة x=−4 التي حسبناها خارج هذا المجال، وأسها 3 صحيح موجب، ومع ذلك فشلت المقارنة. افحص المجال والأس معًا قبل استخدام القاعدة.

تغيير الأس يغير المقارنة ومعنى الحد

النسخة السابقة للأس الصحيح الموجب. إذا كان a أكبر من 0 وأصغر من 1 و x > −1 و x ≠ 0، تنعكس متباينة برنولي. [1]

اختر a=1/2 و x=3. الأساس 4، وقوته للنصف هي الجذر الرئيسي 2؛ لأن 2²=4. الحد 1+ax يساوي 1 + 3/2 = 5/2، أي 2.5. القوة 2 أصغر من الحد 2.5؛ الصورة الداخلية تفصل هذا التغيير عن تغيير مجال x.

لا نقول إن كل أس غير صحيح يعكس العلامة: عند a=3/2 و x=3، القوة 4^(3/2) = 8، والحد 11/2 = 5.5؛ القوة أكبر. المثال الأول يتعلق بأس بين 0 و 1، لا بكل كسر دون فحص.

الحد الخطي ليس قيمة بديلة دقيقة. في مثال 1/5 والأس 3، استبدال القوة بالحد يحذف 16/125. وإذا أردت تقريبًا بخطأ معين، فاعرف حجم هذه الفجوة؛ المتباينة وحدها تعطي اتجاه المقارنة ولا تضمن خطأ صغيرًا لأي مدخل.

راجع الأساس 1+x والأس ونوع العلاقة المطلوبة. إن أردت القيمة فاحسب القوة؛ وإن أردت حدًا فاكتب اتجاهه وشروطه. لا تحول علامة المقارنة إلى مساواة، ولا تنقل شرط الأس الصحيح إلى مثال كسري دون إعادة الفحص.