مخروط بقطع مائل: هل يكفي ارتفاع تقاطع المحور لحساب الحجم؟

حجم مخروط بقطع مائل يحتاج مساحة القاعدة وارتفاعها العمودي. [2]

الخلاصة السريعة

لا؛ القطع المائل يعطي حجمًا أكبر من الأفقي عند نقطة المحور نفسها، ضمن الشروط التالية. [4]

مخروط دائري قائم مصمت، رأسه الأصل، 0≤z≤H وx²+y²≤q²z²، حيث q=R/H وR,H>0 منتهيان بالسنتيمتر. نحتفظ بجانب الرأس من z=h+kx؛ h>0 سم وk ميل بلا وحدة. نفترض |qk|<1 وh/(1−|qk|)<H. [1]
ضع Δ=1−q²k²>0. إسقاط القاعدة قطع ناقص مركزه xc=q²hk/Δ؛ أنصاف محوريه qh/Δ,qh/√Δ. في المستوى المائل يتمدد الاتجاه الأول بعامل √(1+k²)؛ المساحة الحقيقية A=πq²h²√(1+k²)/Δ^(3/2) سم². [3]
المسافة العمودية من الرأس إلى مستوى القطع d=h/√(1+k²) سم. حجم الجزء المخروطي V=Ad/3؛ نستعمل مساحة القاعدة الحقيقية وارتفاعًا عموديًا عليها، حتى إذا لم يقابل الرأس مركزها. [2]
إذن V=πq²h³/[3Δ^(3/2)] سم³. للقطع الأفقي نفسه V0=πq²h³/3؛ النسبة V/V0=Δ^(−3/2)≥1، والمساواة فقط k=0. الميلان k,−k يعطيان الحجم نفسه. [4]
مثال مؤلف H=10,R=5,h=3 سم، وk=1: 2≤z≤6<10 سم للقاعدة المائلة. حجم جانب الرأس 2√3π سم³، مقابل 9π/4 سم³ للأفقي؛ النسبة 8/(3√3). [4]
في المثال، القاعدة مركزها (1,0,4) سم، ونقطة المحور (0,0,3) سم. المساحة 2√6π سم²، وd=3/√2 سم. استعمال Ah/3 يعطي خطأً 2√6π سم³. لا نمد النتيجة إلى قطع تصطدم قاعدته بقاعدة المخروط الأصلية. [2][3]

حدد المخروط والجزء القريب من الرأس

مخروط دائري قائم مصمت، رأسه الأصل، 0≤z≤H وx²+y²≤q²z²، حيث q=R/H وR,H>0 منتهيان بالسنتيمتر. نحتفظ بجانب الرأس من z=h+kx؛ h>0 سم وk ميل بلا وحدة. نفترض |qk|<1 وh/(1−|qk|)<H. [1]

نصف قطر المقطع الأفقي qz. الشرط الأخير يبقي القطع الكامل دون القاعدة الأصلية؛ لا نحسب الجزء الآخر المتبقي من المخروط. [1]

اعرف القاعدة ومركزها

ضع Δ=1−q²k²>0. إسقاط القاعدة قطع ناقص مركزه xc=q²hk/Δ؛ أنصاف محوريه qh/Δ,qh/√Δ. في المستوى المائل يتمدد الاتجاه الأول بعامل √(1+k²)؛ المساحة الحقيقية A=πq²h²√(1+k²)/Δ^(3/2) سم². [3]

بالتعويض في سطح المخروط نجد Δ(x−xc)²+y²=q²h²/Δ. الاتجاهان داخل مستوى القطع متعامدان: متجه الأول (1,0,k) والثاني (0,1,0)؛ لذلك يختلف طول الأول عن إسقاطه. [3]

استعمل الارتفاع العمودي

المسافة العمودية من الرأس إلى مستوى القطع d=h/√(1+k²) سم. حجم الجزء المخروطي V=Ad/3؛ نستعمل مساحة القاعدة الحقيقية وارتفاعًا عموديًا عليها، حتى إذا لم يقابل الرأس مركزها. [2]

عند كسر t من المسافة العمودية من الرأس، مساحة المقطع الموازي t²A. لذلك V=Ad∫_[0,1]t²dt=Ad/3. [2]

قارن بقطع أفقي عند المحور نفسه

إذن V=πq²h³/[3Δ^(3/2)] سم³. للقطع الأفقي نفسه V0=πq²h³/3؛ النسبة V/V0=Δ^(−3/2)≥1، والمساواة فقط k=0. الميلان k,−k يعطيان الحجم نفسه. [4]

تحقق مستقل بإحداثيات أسطوانية: 0≤θ≤2π، و0≤r≤qh/(1−qk cosθ)، وr/q≤z≤h+kr cosθ. نكامل عنصر الحجم r dz dr dθ؛ حدّاه الرأسيان سطح المخروط ومستوى القطع. [4]

مثال بمخروط ثابت

مثال مؤلف H=10,R=5,h=3 سم، وk=1: 2≤z≤6<10 سم للقاعدة المائلة. حجم جانب الرأس 2√3π سم³، مقابل 9π/4 سم³ للأفقي؛ النسبة 8/(3√3). [4]

هنا q=1/2 وΔ=3/4. قطعنا الكامل تحت H=10، ولذلك لا يقصه القرص الأصلي. المقارنة تحافظ على المخروط وh، وتغير الميل فقط؛ ليست تجربة قص مادة. [4]

مساحة الإسقاط ومساحة القاعدة المائلة — المساحة الحقيقية تختلف عن إسقاطها. [3]

ارفض الارتفاع غير العمودي

في المثال، القاعدة مركزها (1,0,4) سم، ونقطة المحور (0,0,3) سم. المساحة 2√6π سم²، وd=3/√2 سم. استعمال Ah/3 يعطي خطأً 2√6π سم³. لا نمد النتيجة إلى قطع تصطدم قاعدته بقاعدة المخروط الأصلية. [2][3]

نقارن الحسابين A×(3/√2)/3 وA×3/3. الثاني يزيد بعامل √2 لأنه استبدل المسافة العمودية بارتفاع المحور. مساحة القاعدة ليست مساحة سطح المخروط كله. [2][3]

المراجع

راجع حجم المخروط والارتفاع العمودي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.