صفيحة مثلثة بثقب: هل يكفي ملتقى المتوسطات؟

إزالة جزء تغيّر توزيع الكتلة، ولو بقيت الرؤوس الخارجية. [4]

الخلاصة السريعة

نحسب مركز المادة الباقية؛ لا نكتفي بالمتوسطات. [4]

صفيحة مثلثة رقيقة، كثافتها السطحية ثابتة σ>0؛ قبل الثقب مركزها G ملتقى المتوسطات. الثقب مثلث داخلها تمامًا؛ مساحتا الصفيحة والثقب A,a تحققان 0<a<A. [2]
إذا كان H مركز الجزء المزال، فمركز الباقي C=(AG−aH)/(A−a). المعادلة للإحداثيين؛ المساحات سم²، والمراكز سم. الطرح يمثل إزالة المادة. [1]
الإزاحة C−G=a(G−H)/(A−a)؛ تتجه بعيدًا عن H عندما H≠G. يبقى المركز عند G إذا وفقط إذا H=G. [4]
مثالنا بالسنتيمتر: رؤوس الخارج (0,0),(18,0),(0,12)؛ A=108 سم²، وG=(6,4) سم. نحسب مركز المثلث بمتوسط إحداثيات رؤوسه. [2]
ثقب مساحته a=3 سم² ومركزه H=(2,5/3) سم يترك مساحة 105 سم² ومركزًا C=(214/35,61/15) سم؛ الإزاحة (4/35,1/15) سم. [3]
ثقب آخر برؤوس (5,10/3),(8,10/3),(5,16/3) سم له المساحة نفسها ومركزه H=G=(6,4) سم؛ لذلك C=G. قد يقع المركز في الفراغ. الكثافة المتغيرة تحتاج أوزان الكتلة. [4]

حدد المادة التي تحسب مركزها

صفيحة مثلثة رقيقة، كثافتها السطحية ثابتة σ>0؛ قبل الثقب مركزها G ملتقى المتوسطات. الثقب مثلث داخلها تمامًا؛ مساحتا الصفيحة والثقب A,a تحققان 0<a<A. [2]

الكثافة السطحية كتلة لكل مساحة، لا لكل حجم. نفترض تجانس الصفيحة الأصلية؛ متوسط الرؤوس يحدد مركز مثلثها الكامل. [2]

اطرح المساحة وعزمها

إذا كان H مركز الجزء المزال، فمركز الباقي C=(AG−aH)/(A−a). المعادلة للإحداثيين؛ المساحات سم²، والمراكز سم. الطرح يمثل إزالة المادة. [1]

العزم الأول يجمع الموضع مضروبًا في كتلة صغيرة. الكتلة المتبقية σ(A−a)؛ عزمها σAG−σaH. نقسم ونلغي σ؛ لا نفترض كتلة سالبة. [1]

اتجاه الإزاحة وشرط انعدامها

الإزاحة C−G=a(G−H)/(A−a)؛ تتجه بعيدًا عن H عندما H≠G. يبقى المركز عند G إذا وفقط إذا H=G. [4]

المعامل a/(A−a) موجب؛ لذلك الإزاحة على امتداد الخط من H نحو G. انعدامها يكافئ G−H=0، مهما اختلف موضع رؤوس الثقب. [4]

ابدأ بالمثلث الكامل

مثالنا بالسنتيمتر: رؤوس الخارج (0,0),(18,0),(0,12)؛ A=108 سم²، وG=(6,4) سم. نحسب مركز المثلث بمتوسط إحداثيات رؤوسه. [2]

المساحة 18×12/2=108، والإحداثيان (0+18+0)/3=6 و(0+0+12)/3=4. المتوسط يصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل؛ تقاطعهما يخص المثلث الكامل. [2]

احسب الباقي بعد الثقب

ثقب مساحته a=3 سم² ومركزه H=(2,5/3) سم يترك مساحة 105 سم² ومركزًا C=(214/35,61/15) سم؛ الإزاحة (4/35,1/15) سم. [3]

رؤوس الثقب (1,1),(4,1),(1,3) سم؛ مساحته 3×2/2=3. البسط (648−6,432−5)=(642,427) سم³؛ قسمته على 105 تعطي المركز المذكور. [3]

ثقب متمركز — المركز في فراغ الثقب. [1][4]

ثقب لا يحرّك المركز

ثقب آخر برؤوس (5,10/3),(8,10/3),(5,16/3) سم له المساحة نفسها ومركزه H=G=(6,4) سم؛ لذلك C=G. قد يقع المركز في الفراغ. الكثافة المتغيرة تحتاج أوزان الكتلة. [4]

الثقب الثاني متمركز حول G، التي تقع داخله؛ مركز المادة الباقية قد يكون في هذا الفراغ. مع كثافة متغيرة نطرح كتلًا وعزومًا محسوبة بالتكامل، بدل المساحات وحدها. [4]

المراجع

راجع الكثافة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.