متباينة ماركوف: المتوسط يعطي حدًا ولا يحدد الاحتمال

الخلاصة السريعة

في مثال البطاقات، يعطي المتوسط 2 عند العتبة 4 حدًا أعلى قدره 2/4 = 1/2، بينما العد المباشر يعطي احتمالًا دقيقًا قدره 1/4. نموذج آخر متوسطه 2 يحقق الحد 1/2 فعلًا.

• متباينة ماركوف تقول إن احتمال بلوغ عتبة موجبة أو تجاوزها لا يزيد على القيمة المتوقعة مقسومة على العتبة، بشرط أن يكون المتغير غير سالب. نفترض متوسطًا محدودًا. هذا حد أعلى، وقد لا يكون مساواة. [1]
• لدينا أربع بطاقات متساوية الفرصة، قيمها 0 و 0 و 0 و 8؛ متوسطها 2. تساوي فرص البطاقات لا يجعل القيمتين المختلفتين 0 و 8 متساويتي الاحتمال؛ فرصتهما 3/4 و 1/4.
• عند العتبة 4، قسمة 2 على 4 تعطي الحد 1/2، لكن بطاقة واحدة فقط تبلغها، فيكون الاحتمال 1/4. الجدول يكرر المقارنة عند العتبات 1 و 2 و 4 و 8 و 9؛ القسمة قد تعطي حدًا أكبر من 1، وعندها لا تضيف معلومة إلى الحد الطبيعي 1.
• القيم 0 و 0 و 4 و 4 تعطي المتوسط 2 أيضًا؛ فرصتها عند بلوغ 4 تساوي 1/2، وتحقق الحد. إذن المتوسط نفسه لا يحدد احتمالًا واحدًا؛ الصورة الرئيسية تقارن النموذجين.
• في النموذج الأول، بلوغ 8 أو تجاوزها احتماله 1/4، بينما تجاوز 8 وحده احتماله 0. العتبة 0 لا تدخل قسمة ماركوف؛ في نموذجنا كل البطاقات تبلغ 0 أو أكثر، فاحتمال الحدث 1 بالعد.
• القيم −8 و 0 و 0 و 8 متوسطها 0، ومع ذلك تبلغ 8 بفرصة 1/4. لا يصح تطبيق شرط عدم السلبية عليها؛ السالب يلغي الموجب في المتوسط. وإذا كانت فرص البطاقات مختلفة، وجب حساب متوسط مرجح واحتمال الحدث بأوزانه، ولا يكفي عد البطاقات.

أربع بطاقات لا تعني قيمتين متساويتي الفرصة

نميز البطاقات بأسماء A و B و C و D، ونمنح كل بطاقة فرصة 1/4. تحمل الثلاث الأولى القيمة 0، وتحمل D القيمة 8. السؤال عن قيمة البطاقة في سحب واحد؛ هذه بطاقات مفترضة للشرح، وليست قياسات جمعناها من تجربة.

مجموع القيم 8 وعدد البطاقات 4، ولذلك المتوسط 8/4 = 2. ولأن فرص البطاقات متساوية، يكون هذا الحساب أيضًا متوسط قيمة السحب وفق نموذجنا. الصفر قيمة حاضرة في ثلاث بطاقات؛ لا نسقطها من العدد.

حدث «القيمة تبلغ 4 أو أكثر» يضم D وحدها؛ فرصته 1/4. أما ظهور 0 فيضم A و B و C، وفرصته 3/4. قسمة 1 على 2 لمجرد وجود قيمتين مختلفتين ستتجاهل تكرار الصفر وآلية الاختيار.

لماذا تمنع القيم غير السالبة احتمالًا أكبر؟

إذا رمزنا للقيمة بـ X، ولمتوسطها المحدود بـμ، وللعتبة الموجبة بـ t، فمتباينة ماركوف هي P(X ≥ t) ≤ μ/t. عدم سلبية X وإيجابية t شرطان للتطبيق. [1]

كل نتيجة تبلغ العتبة تساهم في المتوسط بمقدار لا يقل عن العتبة مضروبة في فرصة تلك النتيجة. ومساهمة باقي النتائج غير سالبة؛ لذلك لا يمكن أن يكون المتوسط أقل من العتبة مضروبة في احتمال بلوغها. [1]

يمكن رؤية ذلك في بطاقاتنا دون حساب تكامل: عند عتبة 4، كل بطاقة تحقق الحدث تضيف إلى مجموع القيم 4 على الأقل. لو حققته ثلاث بطاقات، لأصبح مجموعها 12 على الأقل، ولم تستطع البطاقة الرابعة غير السالبة خفضه إلى 8. لذلك لا يمكن أن يزيد عدد البطاقات المحققة على اثنتين.

بطاقتان من أربع تعنيان حدًا أعلى 1/2. لكن هذا الاستدلال لا يقول إن هناك بطاقتين فعلًا؛ نعرف من القيم الأصلية أن هناك بطاقة واحدة. استعملنا في الحد المتوسط وعدم السلبية، واستعملنا في الجواب الدقيق معرفة القيم كلها.

نغير العتبة ونقارن الحد بالعد المباشر

يبقى المتوسط 2، ونختبر في كل سطر حدث بلوغ العتبة المذكورة أو تجاوزها. عمود القسمة يستخدم 2 مقسومة على العتبة، وعمود الاحتمال يعد البطاقات الأصلية التي تحقق الحدث. جميع هذه العتبات موجبة.

عند العتبة 1، النتيجة 2 حد أعلى صحيح لكنه أضعف من المعلومة البديهية أن أي احتمال لا يتجاوز 1. نستخدم 1 بدلًا منه كحد أوضح، ولا نسمي 2 احتمالًا. وعند العتبة 2 يعطي الحساب 1، لكنه لا يحدد الجواب الدقيق 1/4.

عند العتبة 8 يتساوى الحد 1/4 مع الاحتمال الدقيق 1/4 في هذا النموذج. وعند 9 ينخفض الحد إلى 2/9، لكن القيمة القصوى المعروفة هي 8، فالحدث مستحيل واحتماله 0. معرفة توزيع القيم تضيف معلومات لا يحملها المتوسط وحده.

متوسط واحد واحتمالان مختلفان

استبدل قيم البطاقات بالنموذج 0 و 0 و 4 و 4، وأبق فرص البطاقات الأربع متساوية. مجموع القيم 8 ومتوسطها 2، لكن هناك بطاقتين تبلغ قيمتهما 4. الاحتمال الدقيق 2/4 = 1/2، ويساوي حد ماركوف عند العتبة 4.

الصورة الرئيسية تعرض النموذجين في صفين مستقلين. البطاقات الذهبية تبلغ 4 أو أكثر: واحدة في صف 0 و 0 و 0 و 8، واثنتان في صف 0 و 0 و 4 و 4. في كل صف أربع بطاقات متساوية الفرصة؛ لا نجمع الصفين في تجربة من ثماني بطاقات.

هذا المثال يبين أن معرفة المتوسط 2 مع عدم السلبية لا تتيح ضمان حد أصغر من 1/2 عند العتبة 4 لجميع النماذج: النموذج الثاني يحقق 1/2 فعلًا. أما إذا عرفنا أن القيم هي قيم الصف الأول، فيمكن حساب 1/4 مباشرة. دقة المعلومات المتاحة تحدد قوة الجواب.

علامة المقارنة والصفر والسالب تغير التطبيق

تنتبه صيغة السؤال إلى المساواة عند الحد. في البطاقات الأصلية، حدث «8 أو أكثر» يضم D، وفرصته 1/4؛ حدث «أكبر من 8» لا يضم أي بطاقة، وفرصته 0. لا تحذف المساواة عند نقل السؤال إلى العد.

وإذا كانت العتبة 0، فلا نقسم 2 على 0. نرجع إلى النموذج: كل القيم غير سالبة، لذلك جميع البطاقات تحقق حدث بلوغ 0 أو تجاوزه، واحتماله 1. هذا جواب بالعد، وليس ناتجًا عن صيغة قسمة عند عتبة صفرية.

أما القيم −8 و 0 و 0 و 8، بفرص 1/4 للبطاقات أيضًا، فمجموعها 0 ومتوسطها 0. مع ذلك هناك بطاقة قيمتها 8، واحتمال بلوغ 8 هو 1/4. قسمة المتوسط 0 على 8 ستعطي 0 لو تجاهلنا الشرط؛ الصورة الداخلية تظهر أن القيمة السالبة ألغت الموجبة في الجمع، فالنموذج لا يستوفي عدم السلبية.

ولا يتطلب الحد أن تتساوى فرص النتائج. لكن حساب المتوسط في نموذج غير متساوي الفرص يحتاج ضرب كل قيمة في احتمالها ثم جمع المساهمات، وحساب الحدث يحتاج جمع احتمالات النتائج التي تحققه. العد على أربع بطاقات صحيح هنا لأننا فرضنا فرصًا متساوية.

تعامل مع المتوسط كمعطى من النموذج، لا كضمان أن كل سحب يعطينا 2 ولا كمتوسط مجهول نستبدله بقياس قصير بلا مبرر. جميع حساباتنا لتجربة واحدة محددة؛ لا تدعي البطاقات المفترضة أن عملية واقعية تتبع هذه الاحتمالات.