أقرب نقطة على الدائرة: المسافة4 والمماس أطول

حدد نوع المسافة وطرفي القطر

لنقطة خارج الدائرة، طرفا القطر الممتد إلى تلك النقطة هما الأقرب والأبعد على المحيط. [1]

نستعمل دائرة س²+ص²=25 ونقطة ق=(9،0). نصف القطر5، وبعد ق عن المركز9؛ إذن ق خارجها لأن81>25. القياس المطلوب طول القطعة المستقيمة من ق إلى نقطة على المحيط.

المستقيم ق و هو ص=0. تعويضه في الدائرة يعطي س=5 أو−5، فتكون ن=(5،0) وف=(−5،0). طول ق ن=9−5=4، وطول ق ف=9−(−5)=14.

ن=(5،0) تقع بين و وق، أما ف فتقع في الجهة الأخرى من و. الفرق9−5 يخص الطرف القريب؛ الجمع9+5 يخص الطرف البعيد.

بوجه عام، إذا كان d>r>0، فالمسافة الدنيا d−r والعليا d+r. [1] لا نستعمل الطرح السالب كطول إذا نقلنا النقطة إلى داخل الدائرة.

لماذا لا تعطي نقطة أخرى مسافة أصغر؟

في مثلث غير منعدم، مجموع أي ضلعين أكبر من الثالث. [2]

اختر أ على دائرة المثال، بعيدًا عن ن وف. المثلث و أ ق غير مستقيم. لدينا9<5+ق أ، فتكون ق أ>4؛ وكذلك ق أ<5+9=14. الحساب يثبت الحدين لكل هذه النقاط، لا لأربع نقاط مرسومة فقط.

عند ن وف تصطف النقاط على مستقيم، فلا نطبق المتباينة الصارمة الخاصة بمثلث غير منعدم. نحسب مباشرة:4 و14. وهكذا يتحقق كل حد عند طرف واحد.

نختار أ=(3،4) وب=(3،−4). كل منهما على الدائرة لأن9+16=25. مربعا بعديهما عن ق هما(9−3)²+(±4)²=36+16=52؛ لذلك ق أ=ق ب=√52≈7.211.

التساوي بين هاتين المسافتين لا يعني أنهما الأقصر. فهما أكبر من4 وأصغر من14. التناظر حول ص=0 يبدل إشارة ص دون تغيير مربع البعد إلى ق.

مسافة مطلوبة: نقطة أم نقطتان أم لا شيء؟

لنقطة(س،ص) على دائرتنا، نكتب ل²=(س−9)²+ص². بتعويض س²+ص²=25، تصبح ل²=25−18س+81=106−18س.

إذن س=(106−ل²)/18، ثم ص²=25−س². نفترض ل≥0 لأنها طول. يثبت التعويض أن الحل، إن وجد، يقع على الدائرة ويبعد ل عن ق؛ لا يكفي حساب قيمة س وحدها.

إذا4<ل<14، فإن16<ل²<196، ومنها−5<س<5. إذن ص²>0 ويكون ص=±√(25−س²): نقطتان مختلفتان، إحداهما فوق المحور والأخرى تحته. عند ل=4 نحصل على س=5 وص=0، وعند ل=14 على س=−5 وص=0؛ لا نعد الصفر مرتين.

المسافة√52 تعيد س=(106−52)/18=3 وص=±4، فتستعيد أ وب. أما طلب ل=2 فيعطي س=17/3>5، وطلب ل=15 يعطي س=−119/18<−5؛ كلاهما يجعل ص² سالبًا ولا يعطي نقطة حقيقية.

هذه المراجعة الجبرية مستقلة عن ترتيب الأقواس في الرسم. لكل مسافة في المجال المفتوح زوج واحد هنا؛ الاستثناء هما الطرفان، ولكل منهما نقطة واحدة.

إذا طلبنا ل=7، نجد س=19/6 وص=±√539/6. مربع المسافة إلى ق هو(35/6)²+539/36=1764/36=49؛ نقطتان رغم أن الإحداثيات ليست أعدادًا صحيحة.

نقطة التماس ونقل الرسم لا يغيران الحدين

المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. [3] هذا شرط مختلف عن وقوع النقطة الأقرب على المستقيم و ق.

في مثالنا نختار ت=(25/9،5√56/9). مربع بعدها عن و يساوي625/81+1400/81=25، فتقع على الدائرة. متجه و ت=(25/9،5√56/9) ومتجه ت ق=(56/9،−5√56/9)؛ ضربهما الداخلي1400/81−1400/81=0.

خط ق ت مماس فعلًا: متجهه عمودي على و ت، وكل نقطة ت+λ(ت ق) لها مربع بعد عن و يساوي25+λ²×56. يساوي25 عند λ=0 وحدها، أي ت. ومربع ق ت=(56/9)²+(5√56/9)²=4536/81=56، فطولها≈7.483.

المسافة4 عند ن أصغر من√56؛ أما ق ن فليست قطعة مماس، لأن خطها ص=0 يقطع الدائرة عند ن وف. اقتراب طرف قطعة من الرسم لا يقرر إن كان الخط مماسًا.

يمكن نقل المثال بمقدار(2،−1): تصبح الدائرة(س−2)²+(ص+1)²=25، ومركزها(2،−1)، وق=(11،−1). ينتقل ن إلى(7،−1) وف إلى(−3،−1)؛ فروق الإحداثيات تعطي4 و14 كما كانت.

إذا اختير ق=(2،0) داخل الدائرة الأصلية، فمسافته إلى ن3 وإلى ف7؛ الطرح2−5=−3 ليس طولًا. وإذا اختير المركز نفسه، فكل نقاط المحيط تبعد5. لذلك تبقى صيغتنا وعدّ النقطتين مقيدين بالنقطة الخارجية. الأعداد العشرية هنا مقربة لثلاث منازل، والجذور هي القيم الدقيقة.