معادلة والد: هل يجب أن يستقل عدد الحدود عن قيمها؟

تصف معادلة والد متوسط المجموع عند التوقف. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ تكفي شروط معادلة والد الآتية. [1]

لحدود X_i مستقلة متماثلة التوزيع، E|X_i|<∞، وعدد حدود N يمثل زمن توقف بمتوسط E(N)<∞: E(S_N)=E(X_1)E(N). قرار التوقف عند n يستعمل القيم حتى n دون المستقبل. S_N=X_1+…+X_N يشمل حد التوقف. [1][2]
مثال مؤلف بلا وحدة: كل X_i يساوي 1 أو 3، باحتمال 1/2 لكل منهما؛ الحدود مستقلة، فمتوسط الحد 2. نتوقف بعد الأول إن كان 3، وإلا نأخذ ثانيًا ثم نتوقف؛ N≤2، وE(N)=1.5. [4]
لهذه القاعدة: المجاميع 2,4,3 باحتمالات 1/4,1/4,1/2، فيكون متوسط المجموع 3=2×1.5. اعتماد N على X_1 لا يمنع صحة المعادلة. المتوسط ليس نتيجة ثابتة لكل مسار. [1][3]
قارن قاعدة تنظر إلى X_2: تختار N=1 إن كان الثاني 3، وإلا N=2. المجاميع 2,1,4,3 متساوية الاحتمال؛ متوسطها 2.5 رغم E(N)=1.5؛ متوسط الإضافة 0.5. ليست زمن توقف للمشاهدات المتتابعة؛ قرار إنهاء الأولى يحتاج الثانية. [2][3]
في الأولى S_N=X_1+X_2 I(N=2)؛ I واحد عند تحقق الشرط، وصفر خلافه. أخذ الثاني يقرره الأول، فيستقل عن X_2؛ متوسط الإضافة 2×1/2=1. الشروط كافية؛ مخالفتها لا تنفي كل مساواة عددية. [1]

افحص شروط معادلة والد

لحدود X_i مستقلة متماثلة التوزيع، E|X_i|<∞، وعدد حدود N يمثل زمن توقف بمتوسط E(N)<∞: E(S_N)=E(X_1)E(N). قرار التوقف عند n يستعمل القيم حتى n دون المستقبل. S_N=X_1+…+X_N يشمل حد التوقف. [1][2]

التوقف عند خطوة ما يختلف عن اختيار خطوة بعد رؤية قيم لاحقة. [2]

ضع قاعدة من المشاهدات

مثال مؤلف بلا وحدة: كل X_i يساوي 1 أو 3، باحتمال 1/2 لكل منهما؛ الحدود مستقلة، فمتوسط الحد 2. نتوقف بعد الأول إن كان 3، وإلا نأخذ ثانيًا ثم نتوقف؛ N≤2، وE(N)=1.5. [4]

الاحتمال وزن للقيمة؛ نحسب المتوسط بجمع حاصل ضرب كل قيمة في احتمالها. [4]

احسب المتوسط من المسارات

لهذه القاعدة: المجاميع 2,4,3 باحتمالات 1/4,1/4,1/2، فيكون متوسط المجموع 3=2×1.5. اعتماد N على X_1 لا يمنع صحة المعادلة. المتوسط ليس نتيجة ثابتة لكل مسار. [1][3]

النتائج ليست تجربة منفذة؛ الشجرة تجمع فرعي التوقف عند الأول في نهاية واحدة. [3]

اكشف النظر إلى المستقبل

قارن قاعدة تنظر إلى X_2: تختار N=1 إن كان الثاني 3، وإلا N=2. المجاميع 2,1,4,3 متساوية الاحتمال؛ متوسطها 2.5 رغم E(N)=1.5؛ متوسط الإضافة 0.5. ليست زمن توقف للمشاهدات المتتابعة؛ قرار إنهاء الأولى يحتاج الثانية. [2][3]

تساوي متوسط العدد لا يثبت صلاحية القاعدة. في الثانية، الحد الإضافي يكون 1 باحتمال 1/2، وصفرًا خلافه. [3]

فسر استقلال قرار الاستمرار

في الأولى S_N=X_1+X_2 I(N=2)؛ I واحد عند تحقق الشرط، وصفر خلافه. أخذ الثاني يقرره الأول، فيستقل عن X_2؛ متوسط الإضافة 2×1/2=1. الشروط كافية؛ مخالفتها لا تنفي كل مساواة عددية. [1]

لا نحتاج استقلال N عن المتتالية كلها؛ نحتاج أن يقرر الماضي أخذ الحد التالي. [1]

متوسط المجموع وقاعدتا التوقف — أصلي: `A` تعتمد على الأول؛ `B` تنظر إلى الثاني. الأخضر متوسط المجموع، والبرتقالي حاصل ضرب المتوسطين؛ بلا وحدة، ولا نتائج قياس. [4]

المراجع

مفهوم الاحتمالات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.