مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها: الإشارة والمقام والتقريب

افحص الإشارة قبل مقارنة الأرقام

قد يبدو الكسر ذو البسط الأكبر أكبرَ عددًا، وقد تبدو العشرية ذات الخانات الأكثر أبعد عن الصفر. سنفحص هذين الانطباعين بحسابات واضحة، ونبني ترتيبًا لقائمة تجمع الكسور والسوالب والصفر والعشريات. الأمثلة الآتية أُنشئت لهذا الشرح، والرسوم توضّح قيمها المحددة. الهدف أن تختار طريقة تحقق مناسبة وتكتب علاقة صحيحة، لا أن تحفظ سهم المقارنة ثم تتوقع اتجاهه من شكل الأرقام وحده.

العدد النسبي يُكتب على صورة a/b، حيث البسط والمقام عددان صحيحان والمقام غير صفر. على خط الأعداد الأفقي المعتاد تزيد القيم باتجاه اليمين؛ العدد الواقع إلى اليسار أصغر من الواقع إلى اليمين. [1]

خذ القيم 7/(-12) و(-9)/(-20) و0/5. الأولى سالب سبعة على اثني عشر، والثانية موجب تسعة على عشرين، والثالثة صفر. اكتبها بإشارات ظاهرة ومقامات موجبة: -7/12 و9/20 و0. صار ترتيب هذه المجموعة واضحًا دون جمع مقاماتها؛ السالب يقع قبل الصفر والموجب بعده. هذه الخطوة تمنع أن تقرأ الرقم تسعة في البسط وتغفل السالبين اللذين ألغى أحدهما أثر الآخر.

ولتحويل 7/(-12)، اضرب البسط والمقام في سالب واحد؛ تحصل على (-7)/12. تغيير المقام وحده يجعل قيمة أخرى موجبة، فلا يصح اعتباره تحسينًا للكتابة. أما 5/0 فلا نضعه في القائمة أصلًا: لم يحقق شرط الكسر المذكور. عند استقبال ورقة أرقام، صحح التمثيل وافصل المدخل غير المعرّف قبل ترتيب البقية، ولا تمنحه موضعًا افتراضيًا قرب الصفر.

خط الأعداد يوضح موضع السالب

نختار في الرسم خطًا من سالب واحد إلى موجب واحد، ونضع -5/8 عند سالب خمسة أثمان الوحدة، و-7/12 عند سالب سبعة أجزاء من اثني عشر. الأول يساوي -0.625، والثاني نحو -0.5833. لذلك يكون سالب خمسة أثمان إلى اليسار، ويكون سالب سبعة على اثني عشر أقرب إلى الصفر. الرسم وسيلة لقراءة حسابنا، ويمكن التحقق من النتيجة بكسور دقيقة أيضًا.

الحكم في هذا الزوج هو -5/8 < -7/12. إذا تجاهلت السالب وقارنت المقدارين، وجدت 5/8 > 7/12؛ وهنا يكمن الخطأ المحتمل. المقدار يخبرنا بمسافة النقطة عن الصفر، بينما الترتيب يخبرنا أي نقطة تقع أكثر إلى اليمين. السؤالان مختلفان في المجموعة السالبة. اكتب في الحل عبارة «قيمة العدد» أو «مقداره» بحسب المطلوب، حتى لا تستبدل نتيجة أحد السؤالين بالآخر.

ليس من الضروري أن يرسم الطالب كل نقطة بدقة ملليمترية. في الزوج السابق الفرق صغير، وقد تتقارب العلامتان في رسم يدوي. استخدم الخط لتوقع الاتجاه، ثم الحساب لإثباته. وإذا رسمت الاثنين في موضع واحد لأن المقياس ضيق، فهذا قصور في دقة الرسم لا برهان على المساواة. يمكن تكبير الجزء بين سالب ثلثين وسالب نصف، أو الاكتفاء بكتابة المقامين المشتركين كما نفعل لاحقًا.

المقام المشترك الموجب يجعل الوحدة واحدة

الكسور المتكافئة لها القيمة نفسها. ضرب البسط والمقام في العدد غير الصفري نفسه يحفظ قيمة الكسر: a/b = (a×k)/(b×k)، بشرط b ≠ 0 وk ≠ 0. [2]

في المثال 11/30 و13/30، يمثل كل جزء واحدًا من ثلاثين جزءًا متساويًا من الوحدة، ولدينا أحد عشر جزءًا في الأول وثلاثة عشر في الثاني. لهذا يكون 11/30 < 13/30. والمقارنة -17/30 مع -13/30 تعطي -17/30 < -13/30 أيضًا؛ نحن نقارن البسطين مع إشاراتهما. لا نستخرج الرقم سبعة عشر وحده وننسى أنه يحدد نقطة سالبة على الخط.

أما 6/(-10) و4/(-10)، فلا نطبق عبارة «البسط الأكبر يعطي الأكبر» على مقام سالب. بعد التطبيع يصبحان -6/10 و-4/10، فتظهر النتيجة -6/10 < -4/10. يحتفظ الحل هنا بالشرط الذي جعل مقارنة البسطين صحيحة: مقام واحد موجب. يمكنك كتابة الشرط أعلى ورقة التدريب حتى تتأكد منه قبل كل استعمال، بدل اكتشاف تبدل الاتجاه بعد إنجاز ترتيب القائمة كاملة.

وحّد المقامات دون تغيير القيمة

لنقارن 7/12 و5/8. المقام أربعة وعشرون مناسب، لأن اثني عشر في اثنين يساوي أربعة وعشرين، وثمانية في ثلاثة يساوي أربعة وعشرين. نكتب 7/12 = 14/24 و5/8 = 15/24. أصبح الفرق جزءًا واحدًا من أربعة وعشرين، ولذلك الأول أصغر. ضرب البسط والمقام معًا هو الذي حافظ على قيمة كل عدد، وليس زيادة المقام منفردًا.

لا يلزم استخدام أصغر مقام مشترك كي يكون الحل صحيحًا. لو اخترنا ستة وتسعين، لوجدنا 56/96 و60/96، وتبقى العلاقة نفسها. المقام الأصغر هنا يخفف الكتابة والحساب، لكنه ليس شرطًا لصحة التكافؤ. اختر عددًا تقسمه المقامات المعطاة دون بواقي، ثم تحقق من العامل الذي تحتاجه كل قيمة. كتابة المقام الجديد فقط تحت البسط القديم تحوّل المهمة إلى مقارنة أعداد أخرى.

في الزوج السالب -7/12 و-5/8 نستعمل المقام نفسه فنحصل على -14/24 و-15/24. البسط سالب أربعة عشر أكبر من سالب خمسة عشر، إذ يقع أقرب إلى الصفر. هكذا نجد -7/12 > -5/8 بطريقة لا تعتمد على تقريب عشري أو دقة الرسم. اكتب خطوة المقام المشترك كاملة في أول تمارينك؛ تختصرها لاحقًا عندما يصبح حفظ الإشارة والعامل أمرًا واضحًا لديك.

لماذا ينجح الضرب التبادلي بعد ضبط المقامات؟

نشتق طريقة أخرى من فرق العددين. بعد جعل b وd موجبين، يكون a/b - c/d = (ad-bc)/(bd). المقام bd موجب، فتحدد إشارة البسط إشارة الفرق. إذا كان ad-bc موجبًا كان العدد الأول أكبر، وإذا كان سالبًا كان أصغر، وإذا كان صفرًا كانت القيمتان متساويتين. هذا اشتقاق يفسر ما نفعله، ويبين سبب عدم إهمال إشارة المقامات.

في 7/12 و5/8، نحسب 7×8 = 56 و5×12 = 60. الفرق بين الناتجين سالب أربعة، والمقام المشترك بالضرب ستة وتسعون، فيكون فرق الكسرين -4/96 = -1/24. لم نجمع الكسرين ولم نحصل على الكسر الأكبر من حاصل الضرب وحده؛ استعملنا الناتجين لتحديد اتجاه المقارنة. اكتب ترتيب البسط والمقام لكل طرف حتى لا تعكس الضربين أثناء الحل.

جرّب الآن العدد الأول 3/(-4) والثاني 1/2. لو قارنت ستة بسالب أربعة دون شرط الإشارة، لاستنتجت خطأً أن الأول أكبر. طبّع الأول إلى -3/4، ثم قارن سالب ستة بأربعة، فتحصل على النتيجة الصحيحة: الأول أصغر. في البرهان قبل التطبيع كان مقام الفرق سالبًا، وهذا يغير علاقة البسط بالنتيجة. أبسط إجراء تعليمي هو تثبيت المقامات الموجبة أولًا.

السالبان: افصل القيمة عن مقدارها

نأخذ زوجًا جديدًا -3/5 و-11/20. بتوحيد المقام يصبح الأول -12/20، والثاني يبقى -11/20، ومنه -3/5 < -11/20. المقداران الموجبان في هذا المثال ثلاثة أخماس وأحد عشر على عشرين، والأول أكبر بمقدار جزء من عشرين. لكن وضعهما إلى يسار الصفر يجعل العدد ذي المسافة الأكبر أصغر قيمة. راجع أولًا هل ورقة السؤال تطلب العدد الأكبر أم البعد الأكبر عن الصفر.

يمكن تفسيرها بوحدات متساوية: تحرك من الصفر اثنتي عشرة خطوة طول كل منها جزء من عشرين إلى اليسار، ثم قارن ذلك بإحدى عشرة خطوة إلى اليسار. نهاية الحركة الثانية أكثر يمينًا. هذا وصف لمثالنا، وليس تعليمًا بأن تتجاهل الرموز وتتصور دينًا أو ربحًا في كل مسألة. الصورة العددية كافية، أما اختيار قصة فمفيد فقط حين تحدد القصة معنى الإشارة والوحدة بوضوح.

ولفحص جوابك، أضف إلى العددين قيمة واحدة تجعل قراءتهما سهلة. إضافة واحد إلى سالب ثلاثة أخماس تعطينا خمسي الوحدة، وإضافته إلى سالب أحد عشر على عشرين تعطينا تسعة على عشرين. وبما أن 8/20 < 9/20، فإن ترتيب النقطتين بقي نفسه بعد تحريكهما المقدار ذاته. هذا تحقق ثان مستقل عن قراءة مقدار السالب، ويساعد على كشف جواب قلب الإشارة مرتين بدل مرة واحدة.

مقارنة العشريات الدقيقة دون عدّ الخانات

لمقارنة عشريتين، حاذِ الفاصلتين، وأكمل المنازل الناقصة بأصفار إلى اليمين عند الحاجة، ثم قارن القيم مع مراعاة الإشارة. إضافة أصفار في نهاية الجزء العشري لا تغير القيمة. [1]

في مثالنا 0.46 و0.405، نكتب الأولى 0.460. كلاهما الآن مكتوب بألف أجزاء الوحدة: أربعمئة وستون جزءًا، وأربعمئة وخمسة أجزاء. النتيجة 0.46 > 0.405، رغم أن كتابة العدد الثاني الأصلية تحتوي خانات أكثر. الصفر الذي أضفناه في آخر الأولى أبقى القيمة، بينما وضع صفر بين الأربعة والستة كان سيعطينا عددًا مختلفًا. مكان الخانة هو ما يحدد وزنها.

وفي الزوج -0.46 و-0.405، يصبحان -460/1000 و-405/1000. السالب أربعمئة وستون أصغر من السالب أربعمئة وخمسة، لذا -0.46 < -0.405. يمكن أن تحاذي الفاصلتين كما تفعل مع الموجبين، لكن لا تحذف السالب وتستخدم الحكم الناتج كأنه حكم القيم الأصلية. التحويل إلى كسور هنا يجعل الخطوة مرئية ويصل هذه الطريقة بما تعلمناه عن المقام الموجب المشترك.

إذا كانت الورقة تعرض قيمة منتهية على أنها دقيقة، فاستعمل خاناتها كما هي. أما إذا قالت «مقرب إلى منزلتين»، فقد فقدت معلومات لا يمكن استعادتها بزيادة أصفار شكلية. نميز في الفقرة التالية بين عدد مكتوب 0.33 تحديدًا، وبين شاشة تعرض 0.33 تمثيلًا مقربًا لقيمة أخرى. السؤال عن القيمة المكتوبة غير السؤال عن القيمة الأصلية التي خرج منها العرض؛ اقرأ وصف الرقم قبل المقارنة.

التقريب قد يخفي فرقًا حقيقيًا

نختار 333/1000 و1/3. الأول يساوي 0.333 بدقة، والثاني يبدأ بتكرار الثلاثات دون انتهاء. إذا عرضنا كليهما مقربًا إلى منزلتين بعد الفاصلة، نرى 0.33 في الحالتين. لكن بالحساب الدقيق نكتب 333/1000 = 999/3000 و1/3 = 1000/3000. لذلك الأول أصغر بجزء واحد من ثلاثة آلاف. العرض المتطابق لا يحول القيمتين إلى عدد واحد.

هذه الملاحظة لا تعني أن الرقمين المكتوبين بدقة 0.33 و0.33 مختلفان؛ هما متساويان. الفرق يتعلق بسياق العرض: هل الرقم هو المطلوب نفسه، أم اختصار مقرب لمصدر آخر؟ عند حل مسألة الكسور، احتفظ بالكسر الأصلي إلى أن تنهي المقارنة، ثم قدّم التقريب إذا احتجته لوصف الحجم. لا تختصر الكسرين أولًا ثم تطلب من الخانتين المستبقيتين أن تكشفا فرقًا حذفناه.

ولو لم تحصل إلا على عرضين مقربين متساويين، دون القيم الأصلية، فلا تستنتج أيهما أكبر في الأصل. قد تكون القيمتان متساويتين، أو يكون الأول أكبر، أو الثاني أكبر، مع بقاء العرض المشترك. النتيجة التي يسمح بها ذلك السجل هي تساوي الأرقام المعروضة بهذه الدقة. المثال يفسر لماذا نبني ترتيب قائمتنا على كسور دقيقة وعشريات محددة، ولا نحول كل عنصر إلى منزلتين لمجرد أن ذلك أسرع على الشاشة.

ترتيب قائمة مختلطة خطوة بخطوة

قائمتنا المؤلفة هي -3/4 ; -7/10 ; 0 ; 3/8 ; 0.4 ; 7/15. نبدأ بالمجموعات: سالبان، ثم صفر، ثم ثلاثة موجبات. نقارن السالبين بمقام عشرين: -3/4 = -15/20 و-7/10 = -14/20، فيتقدم سالب ثلاثة أرباع في الترتيب التصاعدي. كتابة هذه المجموعة الصغيرة أولًا تمنع تضخيم الحساب بمقام موحد لكل القائمة قبل الحاجة إليه.

في مجموعة الموجبات، الكسر 3/8 يساوي 15/40، والعدد 0.4 يساوي 2/5 = 16/40، فيكون ثلاثة أثمان أصغر. ثم نقارن خمسي الوحدة بسبعة على خمسة عشر؛ الأول 6/15، والثاني 7/15، فيكون العدد العشري بين الكسرين. صار لدينا دليل على كل زوج متجاور دون تقريب للكسر الأخير أو كتابة توسعه العشري الطويل.

الترتيب التصاعدي الكامل هو -3/4 < -7/10 < 0 < 3/8 < 0.4 < 7/15. وللتنازلي نبدأ بسبعة على خمسة عشر ونعكس القائمة وعلامات القراءة: 7/15 > 0.4 > 3/8 > 0 > -7/10 > -3/4. لا نعيد الحساب من البداية ما دمنا تحققنا من كل اتصال. كما لا نغير إشارات الأعداد أثناء عكس القائمة؛ الذي تغير هو اتجاه الترتيب، لا قيمة أي عنصر.

التعادل والمعنى في مسألة تطبيقية

افترض أن بطاقة تدريب تقارن حصصًا من عمل واحد محدد، لا أعمالًا مختلفة الأحجام. أُنجز 9/20 في الحالة الأولى، و0.45 في الثانية، و11/25 في الثالثة. الكسر تسعة على عشرين يساوي خمسة وأربعين جزءًا من مئة، وهو العدد العشري نفسه؛ والثالث أربعة وأربعون جزءًا من مئة. الترتيب إذن 11/25 < 9/20 = 0.45. لا نرغم القيمتين المتعادلتين على علاقة أكبر أو أصغر.

إذا كانت القائمة تحتوي سجلات منفصلة لها القيمة نفسها، فاحتفظ بأسماء السجلات عند كتابة النتيجة، حتى لو جمعت القيم المتعادلة في موضع واحد. مثلًا «الحالتان الأولى والثانية متساويتان في الحصة». العدد يثبت مقدار الحصة، لكنه لا يقول إن الشخصين أنجزا العمل بالسرعة نفسها؛ لم تقدم البطاقة زمنًا أصلًا. لا تحمل علامة المساواة جوابًا عن متغير لم تدخل بياناته في المثال.

وانتبه إلى الوحدة أو الكل الذي تشير إليه الحصة. جزء من عشرين مهمة ليس تلقائيًا مساويًا في حجم العمل لجزء من عشرين مهمة أخرى أكبر. الدرس هنا يرتب قيمًا عددية؛ أما تفسيرها في قصة فيحتاج مرجعًا مشتركًا للقياس. لهذا حددنا في بطاقة التدريب عملًا واحدًا. إذا وردت قيمة طول بوحدة وأخرى بوحدة مختلفة، وحّدهما أولًا قبل مقارنة العددين الناتجين في وصف عملي.

أخطاء يمكن كشفها بزوج صغير

القول إن البسط الأكبر يجعل الكسر أكبر دون النظر إلى المقام يفشل مع 8/25 و7/20. بالضربين نحصل على 8×20 = 160 و7×25 = 175، إذن 8/25 < 7/20. البسط ثمانية أكبر من سبعة، لكن الأجزاء في الكسر الأول أصغر. هذا مثال مضاد للقاعدة الناقصة؛ يكفي زوج واحد صحيح لإظهار أن العبارة العامة تحتاج شروطًا قبل اعتمادها.

والقول إن المقام الأكبر يجعل الكسر أكبر يفشل في مثال له بسط واحد موجب: 4/9 أكبر من 4/11. المقارنة بالضرب تعطي أربعة وأربعين أمام ستة وثلاثين. لكن لا تحول ذلك إلى قاعدة بلا إشارة أيضًا؛ -4/9 أصغر من -4/11. قبل أن تحفظ نتيجة عن المقام، حدد هل البسط ثابت، وهل القيم موجبة، وأي علاقة في المثال تحاول تعميمها.

وفي نهاية أي حل، راجع السلسلة زوجًا بعد زوج: هل عبرت من سالب إلى موجب بالاتجاه الصحيح؟ هل جعلت مقامات الضرب التبادلي موجبة؟ هل بقيت القيمة محفوظة في كل تحويل؟ هل استبدلت رقمًا دقيقًا بعرض مقرب ثم أعلنت التعادل؟ كتابة السبب بجانب الزوج الأصعب أنفع من إعادة كتابة السلسلة مرات دون فحص. الخطأ المحلي يمكن إصلاحه حيث وقع، ثم مراجعة اتصال العنصر بجاريه.

تمارين أصلية مع إجابات مشروحة

رتب تصاعديًا -2/3 ; 5/(-8) ; 0.2 ; 1/6. ابدأ بتحويل الكسر الثاني إلى -5/8. السالبان بمقام أربعة وعشرين هما -16/24 و-15/24، فيتقدم سالب ثلثين. الموجبان هما خمس الوحدة وسدسها؛ بمقام ثلاثين هما 6/30 و5/30. الجواب -2/3 < -5/8 < 1/6 < 0.2. لا تحتاج إلى تقريب ثلثين ولا سدس لإثباته.

وقارن 17/24 و0.7. العدد العشري سبعة على عشرة، لذلك نحسب 17×10 = 170 و7×24 = 168. الأول أكبر، والفرق الدقيق 2/240 = 1/120. إذا كان المطلوب فقط المقارنة، يكفي ذكر الضربين والاتجاه، أما مقدار الفرق فيشرح لماذا قد يبدوان قريبين على رسم صغير. لا تستخدم علامة المساواة لأن تقريب أحدهما إلى منزلة واحدة أعطى سبعة أعشار.

وأخيرًا اكتب ترتيبًا تنازليًا للقيم -0.52 ; -1/2 ; -13/25. الأولى والثالثة متساويتان لأن 13/25 = 52/100، والثانية تساوي -0.50 وتكون أكبر. الجواب -1/2 > -0.52 = -13/25. إذا استطعت تفسير التعادل والموقع السالب وحفظ القيمة في التحويل، فقد جمعت أهم خطوات الدرس. ابقِ الأعداد الدقيقة في ورقة الحل، واستعمل الرسم والعرض العشري لتوضيح العلاقة التي أثبتها الحساب.