آلية بوسلييه: متى تتحول الدائرة إلى مسار مستقيم؟

الخلاصة السريعة

تنتج الآلية مسارًا مستقيمًا عندما تكون دائرة الإدخال مارة بمركز الانعكاس؛ الجزء الذي تستطيع الآلية رسمه محدود. [2]

• نختار O=(0,0)، والقضيبين OB=OD=5، وأضلاع المعين AB=BC=CD=DA=3. دائرة A مركزها H=(3/2,0) ونصفها3/2، ويضيف HA القيد السابع؛ O وH ثابتان.
• المركز O والرأسان A وC على خط واحد، وحاصل الضرب OA×OC=OB²−AB² ثابت. [2] في مثالنا5²−3²=16؛ النقطة C صورة A بعلاقة C=16A/|A|².
• نختار A=(12/5,6/5)، فتكون C=(16/3,8/3). إحداثيا منتصف AC هما M=(58/15,29/15)؛ تحقق القضبان الستة أطوال5 و3 بالضبط، دون قياس الصورة.
• معادلة دائرة الإدخال x²+y²=3x. التعويض بالعلاقة بين A وC يعطي إحداثي الخرج X=16/3؛ يتغير Y بينما يبقى X ثابتًا. دائرة تمر بالمركز تعطي خطًا، لا أي دائرة اعتباطية.
• إذا بقي H=(3/2,0) وصار نصف دائرة الإدخال1، صار مسار الخرج (X−96/5)²+Y²=4096/25. مثال Aw=(21/10,4/5) يعطي Cw=(672/101,256/101)، بعيدًا عن خط X=16/3.
• في البناء المثالي غير المنحل، تتحرك C داخل الجزء |Y|＜8√5/3 من خط X=16/3. عند الحدين يلتقي B وD، لذلك نستبعدهما. الرسوم حسابية؛ لم نختبر دقة آلة أو خلوص مفاصلها.

ستة قضبان للانعكاس وقيد سابع للدائرة

ثبّت O=(0,0)، واربطه برأسين B وD بقضيبين متساويين، طول كل منهما5. ثم كوّن المعين ABCD بأربعة قضبان، طول كل منها3. الرأس A هو الإدخال، والرأس المقابل C هو الخرج؛ لا يمثل خط AC قضيبًا إضافيًا.

نختار الفرع الذي يقع فيه O خارج المعين، وA أقرب إليه من C. يظل القضيبان OB وOD ثابتَي الطول أثناء تغير الزوايا. وتظل أضلاع المعين الأربعة متساوية، لكن زواياه وقطراه يتغيران.

نثبت محورًا آخر عند H=(3/2,0)، ونضيف القضيب HA بطول3/2. بذلك تقيد A على دائرة مركزها H ونصفها3/2. عدد القضبان المتحركة7؛ المسافة OH ثابتة بين محوري التثبيت ولا نعدها قضيبًا متحركًا ثامنًا.

الدائرة تمر بالمركز O لأن OH=HA=3/2. هذا القيد مهم لمسار الخرج. الرسم يعرض وضعًا واحدًا للقضبان، والدائرة تبيّن قيد الإدخال؛ لا يعني ذلك أن الآلية تستطيع بلوغ كل نقطة من الدائرة.

لماذا يبقى حاصل ضرب البعدين ثابتًا؟

قطرا المعين متعامدان وينصف كل منهما الآخر عند M. ولأن OB=OD، يقع O على العمود المنصف للقطعة BD، أي خط AC. في الفرع المختار OA×OC=(OM−MA)(OM+MA)=OM²−MA²؛ ومن فيثاغورس يساوي OB²−AB². [2]

نطبق ذلك على أطوالنا: OB²−AB²=25−9=16. ثبات الأطوال لا يفرض ثبات OA أو OC منفردين؛ عندما يزيد أحد البعدين ينقص الآخر بحيث يبقى حاصل الضرب16.

العلاقة هنا انعكاس هندسي حول نقطة O بحاصل موجب، وليست انعكاسًا مرآتيًا حول مستقيم. النقطتان على الشعاع نفسه من O. إذا كانت A ذات المتجه a، فإن متجه C هو c=16a/|a|²؛ شرط A≠O يمنع القسمة على صفر.

من مثلثي OMB وAMB القائمين نجد OM²+MB²=25 وMA²+MB²=9. الفرق OM²−MA²=16 موجب؛ لذلك OM أكبر من MA، فيقع O خارج القطعة AC. اختيار الفرع يجعل OA=OM−MA وOC=OM+MA.

في الحرفين a وc نعني متجهَي موضع، لا طولي قضيبين. وفي OA×OC نعني حاصل ضرب طولين، ووحدته مربعة. إذا استعملت السنتيمتر للأطوال، فالثابت16 بوحدة السنتيمتر المربع، وليس طولًا مقداره16 سم.

موضع كسري يراجع الأطوال الستة

نختار A=(12/5,6/5). بعدها عن H يحقق (12/5−3/2)²+(6/5)²=9/4؛ فهي على دائرة الإدخال. ومربع بعدها عن O هو36/5. لذلك C=16A/(36/5)، فنجد C=(16/3,8/3).

المنتصف M=(58/15,29/15). نحدد الرأسين الآخرين بإحداثيات دقيقة: XB=(58−2√71)/15 وYB=(29+4√71)/15، وللرأس D نكتب XD=(58+2√71)/15 وYD=(29−4√71)/15. الإشارتان المتعاكستان تضعان B وD على جانبي AC.

نجد OM²=841/45 وMA²=121/45 وMB²=284/45. مجموع الأول والثالث1125/45=25، ومجموع الثاني والثالث405/45=9. لهذا OB=OD=5، وكل ضلع من أضلاع المعين يساوي3.

كذلك OA²=36/5 وOC²=320/9، وحاصل ضرب المربعين256. بأخذ الجذر الموجب نجد OA×OC=16. فرق إحداثيات C وA يوازي المتجه OA، فيتحقق الاصطفاف الذي احتاجه البرهان.

نحتفظ بالجذر √71 والكسور حتى نهاية الفحص. استبدالها مبكرًا بأعداد عشرية قد يجعل أطوال الأضلاع المحسوبة تبدو مختلفة قليلًا. الرسم للتوضيح؛ المساويات الدقيقة مصدر التحقق في هذا المثال.

مرور دائرة الإدخال بالمركز هو الشرط الحاسم

لتكن A=(x,y) وC=(X,Y). معادلة الدائرة المختارة (x−3/2)²+y²=9/4، وبعد النشر تصبح x²+y²=3x. الحد الثابت اختفى لأن نصف القطر يساوي بعد المركز H عن O.

من الانعكاس نحصل على X=16x/(x²+y²) وY=16y/(x²+y²). نعوض x²+y²=3x، فنجد X=16/3. في الجزء المتاح لنا x موجب؛ لا نقسم على إحداثي صفري عند O، وهي نقطة لا تبلغها الخلية في هذا الفرع.

بقاء X ثابتًا يحدد خطًا رأسيًا، بينما Y يتغير مع A. في موضعنا Y=8/3، وفي الموضع A=(3,0) نحصل على C=(16/3,0). نقطتان مختلفتان لهما الإحداثي الأفقي نفسه، لكن الاشتقاق العام للقيد يثبت المسار كله ضمن المجال المتاح.

إذا كان مركز دائرة الإدخال عمومًا (a,0) ونصفها r، فمعادلتها x²+y²−2ax+a²−r²=0. بعد التعويض بالعلاقة العكسية A=16C/|C|²، تصبح (a²−r²)(X²+Y²)−32aX+256=0.

عند a=r موجب، يختفي الحد التربيعي ويصبح X=8/a. عند a=3/2 نعود إلى16/3. أما بقاء الحد التربيعي عند a≠r فيصف منحنى دائريًا بعد إكمال المربع؛ لا يجوز تجاهله لمجرد أن الدائرة الأصلية قريبة من O.

تغيير نصف القطر وحده يجعل الخرج منحنيًا

احتفظ بالمحور H=(3/2,0)، لكن اجعل HA=1. الدائرة الجديدة لا تمر بـO، لأن OH=3/2 أكبر من نصفها1. القضبان الستة الأخرى تحتفظ بأطوالها؛ الذي تغير هو قيد الإدخال السابع.

نجد (x−3/2)²+y²=1، أو x²+y²−3x+5/4=0. تتحول معادلة الخرج إلى 5(X²+Y²)−192X+1024=0، ثم (X−96/5)²+Y²=4096/25. المركز الجديد(96/5,0)، والنصف64/5.

نختار Aw=(21/10,4/5) على هذه الدائرة. مربع بعدها عن O هو101/20، لذلك Cw=16Aw/(101/20)، أي Cw=(672/101,256/101). التعويض يثبت وجود Cw على دائرة الخرج الجديدة.

إحداثي Cw الأفقي يزيد على16/3 بمقدار400/303. وللنقطة الأخرى Aw=(5/2,0) نحصل على Cw=(32/5,0). الإحداثي الأفقي غير ثابت بين الموضعين؛ لا يصف الخرج الخط الرأسي السابق.

الصورة الثانية تعرض المستقيم الصحيح بالأزرق، وجزءًا متاحًا من منحنى الخرج المعدل بالأحمر. لا نعرض دائرة الخرج الكبيرة كلها؛ جزء كبير منها خارج مجال القضبان. والخطان من O إلى رأسي الخرج مساعدان هندسيان، وليسا قضيبين جديدين.

الخلية ترسم جزءًا محدودًا وتستبعد الوضع المنحل

في المثلث OBA، الضلعان OB=5 وBA=3؛ لكي يكون غير منحل يلزم2＜OA＜8. دائرة الإدخال الصحيحة تجعل OA≤3، فيصبح المجال2＜OA≤3. من OC=16/OA ينتج16/3≤OC＜8.

على خط الخرج X=16/3، يحقق البعد OC²=256/9+Y². شرط OC＜8 يعطي Y²＜320/9، أي |Y|＜8√5/3. لا تقول إن القضبان ذات الأطوال المحدودة ترسم مستقيمًا لا نهائيًا كاملًا.

عند الحدين OA=2 وOC=8، يقع M على بعد5 من O ويصير MB=0؛ يتطابق B وD، وينحل المعين. لهذا الحدّان خارج المجال غير المنحل. أما Y=0 فيعطي OA=3 وOC=16/3، وهو وضع صالح في المثال.

يمكن أيضًا إعادة بناء الخلية من أي نقطة داخل المجال النظري: استخرج A=16C/|C|²، ثم منتصف AC، ثم ضع B وD عموديًا على AC على بعد √(25−OM²) من M. يبقى هذا البعد موجبًا داخل المجال، وتتحقق أطوال الأضلاع3.

المجال المذكور يخص نقاطًا ومفاصل وقضبانًا مثالية. سماكة الأجزاء والاحتكاك والخلوص قد تقيد الحركة الفعلية أكثر؛ لم ننفذ تجربة مادية أو اختبار دقة. معيار المقال هو ثبات الأطوال، وعلاقة الانعكاس، وشرط دائرة الإدخال، ثم استبعاد الأوضاع المنحلة.