أنواع الاقترانات: كيف تميز الصيغة والمجال والرسم؟

المجال والمدى: المدخلات والنواتج

المجال هو مجموعة المدخلات التي يعرف عليها الاقتران، والمدى هو مجموعة النواتج التي يحققها على ذلك المجال. مثلًا f(x) = x² معرف لكل عدد حقيقي، لكن نواتجه لا تقل عن الصفر؛ المدخلات السالبة لا تجعل مربعها سالبًا. ^[1][2]

كون f(−2) = f(2) = 4 لا يمنع أن تكون f اقترانًا. الممنوع هو ربط المدخل نفسه بناتجين مختلفين في العلاقة نفسها. أما وصف «واحد لواحد» فيضيف شرطًا آخر: لا يحصل مدخلان مختلفان على الناتج نفسه. ^[1]

كثيرات الحدود: ثابت وخطي وتربيعي وتكعيبي

يمثل الخطي غير الثابت بخط مستقيم مائل، والثابت بخط أفقي. خط المثال الثابت يقع 3 وحدات أسفل محور السينات؛ البعد عن المحور موجب 3، وإن كانت قيمة الناتج −3. الاقتران المحايد يعيد المدخل نفسه، وهو حالة خاصة من الصيغة الخطية. ^[1]

الصيغة التربيعية العامة ax² + bx + c تشترط a ≠ 0. رسمها قطع مكافئ، لكن تقاطعاتها مع محور السينات قد تكون صفرًا أو واحدة أو اثنتين. في مثال الجدول الرأس (1,−2)، وتنتج معادلة الصفر x = 1 ± √2. لا نقول إن كل اقتران تربيعي له جذران حقيقيان. ^[1][2]

الجذر والقيمة المطلقة والاقتران النسبي

القيمة المطلقة لا تعطي ناتجًا موجبًا دائمًا؛ قد تعطي صفرًا، وهنا يحصل ذلك عند x = −2. في الجذر نفحص ما داخله: x − 3 ≥ 0. أما في المثال النسبي فلا نسمح بمقام صفري. هذه الشروط تستند إلى الصيغة نفسها، وقد تتغير إذا حدد السؤال مجالًا أصغر. ^[2]

نجرب المدخل 4: القيمة المطلقة تعطي 6، والجذر يعطي 1، والنسبي يعطي 1/5. وعند المدخل 2 يصبح مثال الجذر غير معرف في الأعداد الحقيقية، بينما يبقى المثالان الآخران معرفين. ليس كل عدد صالحًا لكل عائلة.

الأسي واللوغاريتمي والمثلثي

في الاقتران الأسي f(x) = 3ˣ يوجد المتغير في الأس. المجال كل الأعداد الحقيقية، والنواتج موجبة؛ مثلًا f(−1) = 1/3 و f(0) = 1 و f(2) = 9. للصيغة الأساسية bˣ يكون الأساس موجبًا ومختلفًا عن 1. ^[3]

أما g(x) = log₃(x) فمدخله يجب أن يكون موجبًا، بينما مداه كل الأعداد الحقيقية. أمثلة: g(1/3) = −1 و g(1) = 0 و g(9) = 2. التبديل بين المجال والمدى هنا يغير المعنى؛ وجود ناتج سالب للوغاريتم أمر عادي، لكن إدخال الصفر في هذه الصيغة غير مسموح. ^[4]

الجيب وجيب التمام من الاقترانات المثلثية. في صيغتيهما الأساسيتين مجال الزاوية كل الأعداد الحقيقية، والمدى بين −1 و 1، ويتكرر الرسم كل 2π راديان. مثلًا sin(π/2) = 1 و sin(3π/2) = −1. لا نعمم هذا المدى على كل اقتران مثلثي أو على صيغة مضروبة في ثابت. ^[8]

اقتران أكبر عدد صحيح والتعريف على أجزاء

اقتران أكبر عدد صحيح ⌊x⌋ يعيد أكبر عدد صحيح لا يتجاوز x. لذلك ⌊2.8⌋ = 2، لكن ⌊−2.8⌋ = −3. ليس حذف الجزء العشري نحو الصفر قاعدة صحيحة عند الأعداد السالبة. ^[7]

الاقتران المتشعب، أو المعرف على أجزاء، يختار قاعدة بحسب موضع المدخل. مثال أصلي: h(x) = x + 1 عندما x < 0، و h(x) = x² عندما x ≥ 0. إذن h(−2) = −1 و h(2) = 4 و h(0) = 0؛ الصفر يتبع القاعدة الثانية فقط. ^[2]

هذا وصف لطريقة التعريف، وليس اسم شكل واحد للرسم. يجب أن تحدد القواعد ناتجًا واحدًا لكل مدخل في المجال؛ إذا شملت قاعدتان المدخل نفسه وأعطتا قيمتين مختلفتين، فلن تكون العلاقة اقترانًا. ^[1][2]

المركب والعكسي: كيف تتصل اقترانات موجودة؟

تركيب الاقترانات يجعل ناتج اقتران مدخلًا لآخر: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). إذا كان f(x) = x² و g(x) = x − 3، فالتركيب f(g(x)) = (x − 3)²، بينما g(f(x)) = x² − 3. عند المدخل 2 يعطي الأول 1 والثاني 1 أيضًا، لكن عند المدخل 0 يعطي الأول 9 والثاني −3؛ توافقهما عند قيمة لا يجعلهما الاقتران نفسه. ^[5]

الاقتران العكسي يرجع الناتج إلى المدخل، ويتطلب أن يكون الأصل واحدًا لواحد على المجال المختار. مثلًا معكوس f(x) = 2x − 1 هو f⁻¹(x) = (x + 1)/2. في المقابل، المقلوب العددي 1/f(x) = 1/(2x − 1) شيء آخر. ^[6]

إذا عكسنا العلاقة x² على جميع الأعداد الحقيقية، فإن الناتج 4 يرجع إلى 2 وإلى −2، فلا ينتج اقتران عكسي بهذا المجال. يمكن تقييد المجال إلى x ≥ 0 للحصول على المعكوس √x. المجال جزء من التعريف، وقد يقرر وجود المعكوس. ^[6]

طريقة سريعة للتعرف إلى النوع

• انظر إلى موضع المتغير: في أس؟ تحت جذر؟ في مقام؟
• افحص القيود قبل التعويض: مقام غير صفري، وجذر تربيعي غير سالب، ومدخل لوغاريتم موجب.
• حدد المدى من النواتج الممكنة، لا من اسم العائلة وحده.
• إذا كان التعريف على أجزاء فاختر القاعدة التي تشمل المدخل المعطى.
• ميز معكوس الاقتران عن مقلوبه، والتركيب عن الضرب.

قد ينتمي اقتران إلى أكثر من وصف؛ فالهوية خطية، والقيمة المطلقة يمكن كتابتها على أجزاء، واللوغاريتم معكوس اقتران أسي مناسب. لذلك نستخدم التصنيف لفهم القاعدة والرسم، ونعود دائمًا إلى المجال المحدد في المسألة. ^[1][2][4][6]