تحليل الفرق بين مكعبين: القانون والبرهان وأمثلة محلولة

تعرّف على المكعب قبل اختيار القانون

قد يبدو المقدار التكعيبي طويلًا عند تفكيكه، لكن التعرف على مكعبين يفصل بينهما طرح يمنحك طريقًا منظمًا. سنبدأ بمعنى التكعيب، ثم نبني القانون ونتحقق منه بالتوزيع، ونطبقه على معاملات ومتغيرات وعامل مشترك ومقدار داخل قوس. وتوضح الصور نموذجًا هندسيًا محدودًا بالأطوال الموجبة، بينما تبقى الحسابات الجبرية صالحة أيضًا للقيم السالبة. الهدف أن تعرف سبب كل حد في الناتج، وأن تميز بين تحليل المقدار وحل معادلة أو اختصار كسر.

العدد المكعب ينتج من ضرب قاعدة في نفسها ثلاث مرات. مثلًا 6³ = 6 × 6 × 6 = 216. وعندما نكتب x³ فإننا نضرب المتغير في نفسه ثلاث مرات؛ أما 3x فهو ثلاثة أمثال المتغير. التمييز بين الأس والمعامل ضروري قبل البحث عن قوسين للتحليل، لأن التشابه في وجود الرقم ثلاثة لا يجعل الصورتين متكافئتين.

في حد مثل 27u³، نلاحظ أن 27 = 3³، فيصبح الحد (3u)³. والتحقق سهل: ضرب 3u في نفسه ثلاث مرات يعطي معاملًا هو حاصل ضرب ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة، ومتغيرًا بأس ثلاثة. لو أخذت القاعدة 27u فسوف تعيد عند التكعيب معاملًا مختلفًا، ولهذا نراجع الحد كاملًا بدل النظر إلى المتغير وحده.

اكتب تحت كل حد القاعدة التي تعيده عند التكعيب. إن كان أحد الحدود رقمًا ثابتًا، احسب مكعب القاعدة المقترحة قبل متابعة الحل. وإن كان حدًا مركبًا، احتفظ بالمعامل والمتغيرات والأسس كلها. هذه الكتابة القصيرة تجعل أي اختلاف ظاهرًا في البداية، وتجنبك بناء عامل ثلاثي صحيح الشكل لكنه يعتمد على قاعدة اختيرت بصورة خاطئة.

اكتب العاملين من القاعدتين

قانون تحليل الفرق بين مكعبين هو a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). نكتب كل حد بوصفه مكعبًا، ثم نحدد القاعدتين، ونكوّن العاملين ونتحقق بضربهما. التحليل يغير صورة المقدار ولا يغير قيمته. [1]

الرمزان a وb اسمان مؤقتان للقاعدتين، وقد يمثل أحدهما عددًا أو حدًا جبريًا أو مقدارًا كاملًا بين قوسين. لذلك لا تبحث في السؤال عن حرفين مطابقين لهما؛ ابحث عن صورتين مكعبتين. بعد اختيار القاعدتين، اكتب فرق القاعدتين في العامل الأول، ثم مربع الأولى وحاصل ضربهما ومربع الثانية في العامل الثاني.

في المثال x³ − 216، نختار a = x وb = 6، فنحصل على (x − 6)(x² + 6x + 36). يجيء العدد ستة من القاعدة الثانية، والعدد ستة وثلاثون من مربعها، والحد الأوسط من ضرب القاعدتين. معرفة مصدر كل حد أكثر فائدة من محاولة استعادة ثلاثة معاملات من الذاكرة دون معرفة ما تمثله.

علامتا الجمع في الصيغة تصفان العملية المكتوبة بين الحدود، ولا تعنيان أن حاصل ضرب القاعدتين موجب في كل تعويض. إذا اختلفت إشارتا القاعدتين فقد يكون ab سالبًا، وتظل الصيغة نفسها صحيحة. لا تفرض على المتغيرات شرطًا هندسيًا لم يطلبه السؤال؛ سنذكر شروط الأطوال عندما ننتقل إلى تفسير الحجم.

لماذا تختفي الحدود الوسطى؟

نبدأ بضرب القاعدة الأولى في كل حدود العامل الثلاثي، فنحصل على a³ + a²b + ab². ثم نضرب سالب القاعدة الثانية في الحدود نفسها، فنحصل على −a²b − ab² − b³. عند جمع النتيجتين، يقابل كل حد مختلط نظيره المعاكس في الإشارة، فلا يبقى سوى مكعب القاعدة الأولى ناقص مكعب الثانية.

يمكن تنظيم التوزيع في سطرين بدل إجرائه ذهنيًا. اجعل حاصل الضرب بالقاعدة الأولى في سطر، وبسالب الثانية في سطر تحته. ضع الحدود المتشابهة في مواضع متقاربة كي ترى الإلغاء، ثم اجمع المعاملات. هذا التنظيم يفسر وجود حدين مختلطين في مرحلة الضرب رغم أن المقدار الأصلي لا يضم إلا حدين؛ ظهورهما مؤقت ويُلغى مع نظيريهما.

إذا كتبت خطأً علامة طرح أمام ab في عامل فرق المكعبين، فلن يحدث الإلغاء المطلوب بالطريقة نفسها. لذلك فحص التوزيع لا يعتمد على أن الشكل يبدو مألوفًا؛ إنه يراجع كل حاصل ضرب ثم يقارن الناتج بالمقدار الأصلي. والبرهان هنا رمزي، فيثبت المساواة لجميع القيم التي تسمح بها العمليات، دون الاقتصار على عدد اخترناه للتجربة.

مثال عددي يكشف فائدة القوس الثلاثي

احسب الفرق بين 11³ و7³. بالطرح المباشر نجد 1331 − 343 = 988. وبالتحليل نكتب (11 − 7)(121 + 77 + 49). الفرق بين القاعدتين أربعة، ومجموع القوس الثاني مئتان وسبعة وأربعون، فيكون حاصل الضرب 4 × 247 = 988. المساران مختلفان في ترتيب العمليات ويتفقان في النتيجة.

لاحظ أن الفرق بين القاعدتين وحده لا يساوي فرق المكعبين، كما أن مكعب الفرق يعطي 4³ = 64، وهو مقدار آخر. نحتاج إلى القوس الثلاثي لأن أثر التكعيب لا يختصر في طرح القاعدتين وتكعيب الباقي. الأعداد هنا مثال مستقل للتحقق، ولا نحتاج إلى قصة قياس فعلية كي نرى اختلاف النتيجتين.

وإذا عكست ترتيب الحدين، أصبح الفرق 7³ − 11³ = −988. العامل الثنائي يتحول إلى 7 − 11 = −4، بينما يبقى مجموع مربعي القاعدتين وحاصل ضربهما هو العدد نفسه. هذه المقارنة تساعدك على تتبع إشارة الناتج. فالطرح يهتم بالترتيب، وإعادة ترتيب الحدود دون تغيير الإشارة ليست خطوة محايدة.

مثال بمعاملين ومتغيرين

نحلل 27u³ − 512v³ باختيار a = 3u وb = 8v. العامل الثنائي هو 3u − 8v، والعامل الثلاثي هو 9u² + 24uv + 64v². إذن الناتج (3u − 8v)(9u² + 24uv + 64v²). لا نحذف أحد المتغيرين من الحد الأوسط؛ فهو حاصل ضرب القاعدتين كاملتين.

للتحقق، ضرب 3u في القوس يعطي 27u³ + 72u²v + 192uv²، وضرب −8v فيه يعطي −72u²v − 192uv² − 512v³. يختفي الزوجان المختلطان، ويعود الحد الأول والحد الأخير كما كُتبا في السؤال. يعرض هذا الفحص سبب كل معامل، ويتيح لك العثور على موضع خطأ التربيع أو الضرب إن ظهر.

خذ أيضًا تعويضًا مساعدًا هو u = 2 وv = 1. المقدار الأصلي يصبح 216 − 512 = −296، والعوامل تصبح (6 − 8)(36 + 48 + 64) = −2 × 148 = −296. اتفاق التعويض مفيد كفحص إضافي، لكن التوزيع السابق هو الذي يثبت هوية المقدارين، فلا تستبدله بفحص عددي واحد.

العامل المشترك قد يُظهر النمط

افحص العامل المشترك أولًا، ثم طبّق نمط فرق المكعبين على المقدار المتبقي. يبقى العامل المستخرج مضروبًا في بقية العوامل حتى نهاية الحل. [2]

في المقدار 14t⁴ − 896t يشترك الحدّان في 14t، فنكتب 14t(t³ − 64). القوس الجديد فرق مكعبين، قاعدتاه المتغير وأربعة، فيكون التحليل 14t(t − 4)(t² + 4t + 16). احتفظ بالعامل الموجود خارج القوس؛ فهو جزء من المقدار وليس سطرًا تمهيديًا يمكن إسقاطه من الجواب.

راجع الإخراج بقسمة كل حد على العامل المشترك: قسمة الحد الأول تعطي الأس الثالث، وقسمة الثاني تعطي أربعة وستين مع بقاء الطرح. وبعد تحليل القوس، اضرب العوامل الداخلية لتحصل على t³ − 64، ثم اضرب في العامل الخارجي لتعود إلى الحدين الأصليين. هذه مراجعة من مرحلتين تطابق ترتيب العمل بدل مزج الحساب كله في خطوة واحدة.

إذا تحول السؤال إلى المعادلة 14t⁴ − 896t = 0، فالصفر حل بسبب العامل t، وأربعة حل بسبب العامل t − 4. لا تقسم منذ البداية على المتغير وتفقد حل الصفر. وفي الأعداد الحقيقية، t² + 4t + 16 = (t + 2)² + 12 موجب، فلا يمنح حلولًا أخرى. بهذا نفصل بين كتابة العوامل واستعمالها لحل معادلة.

عندما تكون القاعدة مقدارًا بين قوسين

في (z + 2)³ − 125، القاعدة الأولى هي القوس كاملًا، والثانية خمسة. نعوّض دون فتح القوس أولًا فنحصل على ((z + 2) − 5)((z + 2)² + 5(z + 2) + 25). ثم نبسّط العامل الأول إلى z − 3، والعامل الثاني إلى z² + 9z + 39.

مصدر المعامل تسعة هو جمع حدين: أربعة أمثال المتغير من مربع القوس، وخمسة أمثاله من حاصل الضرب في خمسة. ومصدر العدد تسعة وثلاثين هو مجموع أربعة وعشرة وخمسة وعشرين. إذا أسقطت الحد الأوسط عند تربيع القوس فسوف يتغير المعامل، لذلك اكتب مربع القوس كاملًا قبل جمع الحدود المتشابهة.

والتحقق بالتوزيع يعطي (z − 3)(z² + 9z + 39) = z³ + 6z² + 12z − 117. أما فتح المقدار الأصلي فيعطي مكعب القوس، ثم طرح مئة وخمسة وعشرين، فيصل إلى كثيرة الحدود نفسها. ميزة تعيين القاعدتين أولًا أنك لا توسع مقدارًا طويلًا ثم تحاول إعادة اكتشاف نمطه بعد أن أخفيته بالتوسيع.

الأسس الأكبر: هل الحد مكعب كامل؟

ليس وجود الأس الثالث شرطًا شكليًا وحيدًا لظهور مكعب. فالأس السادس يمكن أن يأتي من تكعيب مربع، والأس التاسع يمكن أن يأتي من تكعيب قوة ثالثة. مثلًا (s²)³ = s⁶ لأننا نضرب ثلاث نسخ من المربع، فيصبح مجموع الأسس ستة. نعيد كتابة الحد على صورة مكعب عندما نجد قاعدة مناسبة تعيده كاملًا؛ ولا نخفض الأس إلى ثلاثة دون تغيير القاعدة.

في 8s⁶ − 729t⁹، نختار 2s² و9t³. التحليل هو (2s² − 9t³)(4s⁴ + 18s²t³ + 81t⁶). راجع الحد الأوسط من ضرب القاعدتين: المعامل ثمانية عشر، ومعه مربع المتغير الأول والقوة الثالثة للثاني. وراجع حدّي التربيع بصورة منفصلة كي لا تبقى الأسس كما كانت قبل التربيع.

يمكنك فحص التوزيع بكتابة ناتج ضرب كل حد من العامل الثنائي في العامل الثلاثي. تظهر حدود مختلطة بمعاملين هما ستة وثلاثون ومئة واثنان وستون، ويقابل كل واحد منهما حد سالب مطابق في المتغيرات والأسس. تختفي هذه الحدود ويبقى الحدّان الأصليان. المهم أن تشابه الأسس لا يغني عن فحصها؛ فقد تكون الإشارة صحيحة والمعامل صحيحًا، لكن المتغير يحمل أسًا غير صحيح فيفسد التحليل.

قاعدة كسرية لا تغيّر القانون

لنأخذ w³/27 − 1/64. القاعدتان هما w/3 و1/4، لأن تكعيبهما يعيد الحدين. نكتب الناتج (w/3 − 1/4)(w²/9 + w/12 + 1/16). المقامات جاءت من التربيع والضرب كما جاءت المعاملات في المثال السابق؛ وجود كسر لا يدعو إلى ابتكار صيغة تحليل جديدة.

افحص الحد الأوسط وحده عند الحاجة: ضرب w/3 في 1/4 يعطي w/12. ومربع ربع الواحد يساوي واحدًا على ستة عشر، لا واحدًا على ثمانية. حين تفصل هذه الحسابات الصغيرة تقل فرصة نقل مقام التكعيب إلى خطوة التربيع. وفي هذا المثال المقامات أعداد ثابتة غير صفرية، لذلك لا تظهر قيمة مستبعدة للمتغير بسببها.

اختيار w = 3 يعطي في الأصل 1 − 1/64 = 63/64. وفي الناتج نجد (1 − 1/4)(1 + 1/4 + 1/16) = (3/4)(21/16) = 63/64. نبقي الكسور دقيقة في هذا الفحص بدل تقريبها مبكرًا؛ فالتقريب قد يخفي فرقًا حسابيًا أو يجعل شكلين صحيحين يبدوان مختلفين في الأرقام الأخيرة.

اختصار العامل لا يلغي شرط المقام

في الكسر الجبري، تُستبعد القيم التي تجعل المقام الأصلي صفرًا. واختصار عامل مشترك غير صفري لا يعيد قيمة كانت مستبعدة من المجال. [3]

المقدار (x³ − 216)/(x − 6) غير معرّف عند ستة. بعد تحليل البسط نختصر العامل x − 6 لنحصل على x² + 6x + 36 بشرط x ≠ 6. الشرط يرافق الجواب؛ إذ لا يجوز استعمال الاختصار عندما يكون العامل الذي نقسم عليه صفرًا.

عند x = 7 يعطي الأصل (343 − 216)/1 = 127، وتُعطي كثيرة الحدود 49 + 42 + 36 = 127. أما عند ستة، فالأصل يحتوي قسمة صفر على صفر، مع أن كثيرة الحدود الجديدة وحدها تعطي مئة وثمانية. ذلك لا يجعل مئة وثمانية قيمة للكسر الأصلي عند ستة؛ لقد اختصرنا على مجال يستبعد هذه القيمة.

اكتب مجال الكسر قبل الاختصار، ثم راجعه بعد كل خطوة. هذا يجعل الفرق واضحًا بين إعادة كتابة المقدار على مجاله وبين إعطاء صيغة أخرى معرفة في نقاط إضافية. وفي تمرين مدرسي، تكفي كتابة القيد بجانب الناتج غالبًا لتجنب فقدان المعلومة. لا تنقل مجال كثيرة الحدود المبسطة إلى الكسر دون الرجوع إلى مقام السؤال الأصلي.

المعنى الحجمي: ثلاث قطع للباقي

للتفسير الهندسي، افترض طولين موجبين a > b > 0، ومكعبًا كبيرًا ضلعه الأول، ثم احذف من زاويته مكعبًا أصغر ضلعه الثاني. يمكن تقسيم الباقي إلى ثلاث كتل لا تتداخل: الأولى أبعادها (a − b), a, a، والثانية أبعادها b, (a − b), a، والثالثة أبعادها b, b, (a − b).

أحجام الكتل هي (a − b)a² و(a − b)ab و(a − b)b². جمعها ثم إخراج السمك المشترك يعيد العاملين في القانون. يمكن تخيل فصل شريحة كاملة من جهة، ثم شريحة من الجزء المتبقي، ثم الكتلة الأخيرة فوق زاوية المكعب المحذوف. ترتيب الفصل هو ما يضمن عدم عد الحجم نفسه مرتين.

في الرسم نأخذ طولين مقدارهما خمسة وثلاثة، فيكون السمك المشترك اثنين. الأحجام الثلاثة خمسون وثلاثون وثمانية عشر، ومجموعها ثمانية وتسعون، وهو الفرق بين مئة وخمسة وعشرين وسبعة وعشرين. النموذج حسابي بأبعاد مفترضة، وليس نتيجة قياس جسم فعلي. وإذا كانت القاعدة سالبة، نعتمد البرهان الجبري السابق بدل محاولة تمثيلها بطول سالب في هذا الشكل.

فرّق بين الفرق والمجموع ومكعب الفرق

مجموع المكعبين له الصيغة a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). تتغير علامة العامل الثنائي وعلامة الحد الأوسط في العامل الثلاثي، لذلك نقرأ العملية الأصلية قبل كتابة الأقواس. [1] [2]

أما مكعب الفرق فينتج من تكرار ضرب الفرق نفسه ثلاث مرات، فيكون (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. تظهر حدود مختلطة لا تظهر في فرق المكعبين. هذه الصيغة تُراجع بالتوزيع أيضًا، فلا يكفي تشابه الكلمات «فرق» و«مكعب» كي نستعمل جواب أحد السؤالين في الآخر.

للأعداد أحد عشر وسبعة، مجموع المكعبين هو ألف وستمئة وأربعة وسبعون. القانون يعطي 18(121 − 77 + 49) = 18 × 93 = 1674، بينما سبق أن كان الفرق تسعمئة وثمانية وثمانين. كتابة اسم العملية بجانب المثال، مع الإشارة داخل العامل الأول، تمنع خلط مسارين يشتركان في القاعدتين لكنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين.

متى تتابع التحليل ومتى تتوقف؟

في المثال x³ − 216، العامل الثلاثي هو x² + 6x + 36. يمكن كتابته (x + 3)² + 27، وهو موجب لكل قيمة حقيقية للمتغير. لذلك لا ينقسم هذا المقدار التربيعي إلى عاملين خطيين بمعاملات حقيقية؛ فمثل هذا الانقسام كان سيعطيه جذرًا حقيقيًا. هذا التفسير يخص القوس المحدد ولا يبرر إعلان أن كل قوس ثلاثي في كل مسألة لا يمكن تحليله.

إذا كانت القاعدتان نفسيهما مركبتين، فقد تحتاج إلى متابعة النمط بعد الخطوة الأولى. انظر إلى x⁶ − 1: بوصفه فرق مكعبين يكون (x² − 1)(x⁴ + x² + 1). العامل الأول فرق مربعين. والعامل الثاني يمكن كتابته (x² + 1)² − x²، ثم تحليله إلى (x² + x + 1)(x² − x + 1). وهكذا تظهر أربعة عوامل بعد متابعة التحليل.

لا نحتاج هنا إلى إيجاد جذور معقدة أو توسيع موضوع الدرس إلى مجال آخر. يكفي معرفة أن كلمة «انتهى» تعتمد على شكل العوامل وعلى المجال المطلوب. في التمارين السابقة كنا نكتب معاملات حقيقية، وعند طلب تحليل كامل نراجع العوامل الناتجة بدل عدّ الأقواس فقط. وقد تكون النتيجة صحيحة لكنها قابلة لخطوة إضافية، لذلك افصل في مراجعتك بين صحة الضرب وتمام التحليل.

تمارين قصيرة مع طريقة التحقق

حلل p³ − 729. نختار القاعدتين p وتسعة، فيكون الجواب (p − 9)(p² + 9p + 81). ثم حلل 8m³ − 1 باختيار 2m وواحد، فتحصل على (2m − 1)(4m² + 2m + 1). في كل تمرين، تحقق أولًا أن تكعيب القاعدتين يعيد الحدين، ثم تحقق من مربع كل قاعدة وحاصل ضربهما.

ولتمرين العامل المشترك، حلل 9r³ − 243. ابدأ بكتابة 9(r³ − 27)، ثم اكتب 9(r − 3)(r² + 3r + 9). إذا نسيت العامل تسعة فسوف يعطي التوزيع مقدارًا أصغر من الأصل بتلك النسبة. وإذا أخطأت في أحد الأعداد داخل القوس، فسيساعدك فحص كل عملية تربيع وضرب على تحديد موضع الخطأ بدل إعادة الحل من بدايته.

وأخيرًا، اختبر ادعاء خاطئًا يقول إن x³ − 216 = (x − 6)(x² − 6x + 36). التعويض بستة يعطي صفرًا في الطرفين ويخفي الخطأ، لكن التعويض بسبعة يعطي مئة وسبعة وعشرين في اليسار وثلاثة وأربعين في اليمين. يكفي هذا المثال لنفي الادعاء، بينما يحتاج إثبات الصيغة الصحيحة إلى توزيع عام أو حجة مكافئة. اجعل مراجعتك تبدأ بتعيين القواعد، ثم الإشارات، ثم التوزيع، ثم الشروط عند وجود مقام أو معادلة.