إمالة منشور مع ثبات الحجم: هل تبقى مساحة سطحه؟

الحجم ثابت، لكن الأوجه المائلة تحتاج حساب مساحاتها. [2]

الخلاصة السريعة

مع ثبات قاعدة مثلثة غير منعدمة والارتفاع العمودي، كل إزاحة أفقية غير صفرية تزيد السطح. [3]

نثبت قاعدة مثلثة مساحتها A>0 ومحيطها P في المستوى z=0، وارتفاعًا عموديًا منتهيًا H>0. ننقل القاعدة العليا بالمتجه t=(u,v,H) دون دوران أو تغيير شكل؛ u,v إزاحتان أفقيتان منتهيتان. [1]
المقاطع الأفقية نسخ مترجمة من القاعدة، كلها بمساحة A. لذلك V=∫_[0,H]A dz=AH؛ الإزاحة الأفقية لا تغير الحجم. [4]
لضلع قاعدة e=(e_x,e_y,0)، مساحة الوجه الجانبي L=||e×t||؛ الرمز × ضرب اتجاهي، و|| || طول المتجه. حسابه يعطي L²=H²||e||²+(e_xv−e_yu)². [3]
كل وجه يحقق L≥H||e||، ومن ثم S≥2A+PH. المساواة تتطلب إزاحة أفقية موازية لكل أضلاع المثلث؛ لأنها ليست متوازية جميعًا، لا تتحقق إلا عند u=v=0. [3]
مثال أصلي بالسنتيمتر: القاعدة (0,0),(12,0),(0,5)، وH=8؛ إذن A=30 سم² وP=30 سم. القائم والمائل بإزاحة (u,v)=(4,3) لهما الحجم 240 سم³. [1]
في القائم: S=2×30+30×8=300 سم². في المائل، المساحات الجانبية 12√73,8√218,20√5 سم²؛ إذن S=60+12√73+8√218+20√5≈325.367989 سم². الزيادة نحو 25.367989 سم². [2]

ثبت القاعدة والإزاحة

نثبت قاعدة مثلثة مساحتها A>0 ومحيطها P في المستوى z=0، وارتفاعًا عموديًا منتهيًا H>0. ننقل القاعدة العليا بالمتجه t=(u,v,H) دون دوران أو تغيير شكل؛ u,v إزاحتان أفقيتان منتهيتان. [1]

المنشور هنا جسم مغلق بقاعدتين متطابقتين متوازيتين. نغير موضع القاعدة العليا أفقيًا؛ نبقي شكل القاعدة وحجمها وارتفاع المنشور ثابتة. [1]

افحص المقاطع والحجم

المقاطع الأفقية نسخ مترجمة من القاعدة، كلها بمساحة A. لذلك V=∫_[0,H]A dz=AH؛ الإزاحة الأفقية لا تغير الحجم. [4]

عند ارتفاع z، تنتقل القاعدة أفقيًا بمقدار (zu/H,zv/H)، فتظل مساحتها ثابتة. هذا يبرر التكامل العام، وليس استنتاجًا من رسم واحد. [4]

احسب وجهًا بالمتجهات

لضلع قاعدة e=(e_x,e_y,0)، مساحة الوجه الجانبي L=||e×t||؛ الرمز × ضرب اتجاهي، و|| || طول المتجه. حسابه يعطي L²=H²||e||²+(e_xv−e_yu)². [3]

الوجه متوازي أضلاع مولد بالضلع والإزاحة. مربع الحد الثاني غير سالب؛ لذلك لا تقل مساحته عن مساحة نظيره القائم. [3]

استنتج أصغر سطح

كل وجه يحقق L≥H||e||، ومن ثم S≥2A+PH. المساواة تتطلب إزاحة أفقية موازية لكل أضلاع المثلث؛ لأنها ليست متوازية جميعًا، لا تتحقق إلا عند u=v=0. [3]

لإزاحة غير صفرية، يوجد ضلع غير موازٍ لها؛ يزيد وجهه قطعًا. لذلك القائم وحده يحقق الحد الأدنى لهذه القاعدة والارتفاع. [3]

جهز المثال العددي

مثال أصلي بالسنتيمتر: القاعدة (0,0),(12,0),(0,5)، وH=8؛ إذن A=30 سم² وP=30 سم. القائم والمائل بإزاحة (u,v)=(4,3) لهما الحجم 240 سم³. [1]

أضلاع القاعدة 12,13,5 سم. قاعدتا المنشور مجموع مساحتيهما 60 سم²، ولا تتغيران بالإزاحة. [1]

مساحات الأوجه الثلاثة — تجمع الأوجه والقواعد. [2]

اجمع الأوجه والقواعد

في القائم: S=2×30+30×8=300 سم². في المائل، المساحات الجانبية 12√73,8√218,20√5 سم²؛ إذن S=60+12√73+8√218+20√5≈325.367989 سم². الزيادة نحو 25.367989 سم². [2]

بترتيب أضلاع القاعدة، مساحات الأوجه القائمة 96,104,40 سم²؛ والمائلة نحو 102.528,118.119,44.721 سم². نجمع قبل التقريب. هذه حسابات هندسية؛ لا قياس مادي. [2]

المراجع

راجع المنشور القائم

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.