متباينة ينسن: هل نكعب المتوسط أم نأخذ متوسط المكعبات؟

الخلاصة السريعة

في مثالنا، تكعيب المتوسط يعطي 125، ومتوسط المكعبات يعطي 164. الفرق 39؛ الأوزان 1/4 و 3/4 ثابتة في الحسابين، والمجال بين 2 و 6 يقع في الجزء المحدب من دالة التكعيب.

• للدالة المحدبة على مجال يضم القيم وما بينها، لا تزيد قيمة الدالة عند المتوسط المرجح على متوسط قيم الدالة. نفترض أوزانًا موجبة مجموعها 1. وللدالة المقعرة ينعكس الاتجاه. هذه هي متباينة ينسن في الصورة المحدودة التي نستخدمها. [1]
• للعددين 2 و 6 بوزني 1/4 و 3/4، المتوسط 1/4 × 2 + 3/4 × 6 = 5، ثم 5³ = 125. أما متوسط المكعبات فهو 1/4 × 8 + 3/4 × 216 = 164؛ لا نبدل الأوزان عند الانتقال بين الحسابين.
• الصورة الرئيسية تعرض منحنى التكعيب والوتر بين نقطتيه عند 2 و 6. عند الموضع 5، المنحنى يعطي 125، والوتر يعطي 164؛ المتوسط المرجح للقيم المكعبة يقع على الوتر، وليس على المنحنى.
• إذا ساوينا الوزنين للعددين نفسيهما، أصبح المتوسط 4 وتكعيبه 64 ومتوسط المكعبات 112. تغير المثال بسبب الأوزان، لا بسبب التقريب. الجدول يبين أيضًا المثال السالب والمثالين المختلطين.
• التكعيب محدب في المجال غير السالب ومقعر في المجال غير الموجب. للعددين −6 و −2 بوزنين متساويين: تكعيب المتوسط −64 أكبر من متوسط المكعبات −112. وعند خلط الإشارتين، المثالان −4 و 2، ثم −2 و 4، يعطيان اتجاهين مختلفين؛ لا يوجد حكم واحد من اسم التكعيب وحده.
• إذا كانت القيمتان 5 و 5، تساوى الحسابان عند 125. لكن المساواة لا تعني دائمًا تساوي المدخلات لكل دالة: الدالة 3x + 1 تعطي 16 في الحسابين لمدخلي 2 و 6 بوزني 1/4 و 3/4. والوزنان 2 و −1، رغم أن مجموعهما 1، لا يستوفيان شرط الأوزان الموجبة، ويعطيان تكعيب المتوسط −8 ومتوسط المكعبات −200، فتفشل المقارنة −8 ≤ −200، ويخرج المتوسط −2 من المجال بين 2 و 6.

نفصل ترتيب العمليتين ونبقي الأوزان ثابتة

الأوزان ليست قيمًا جديدة نكعبها. للمدخل 2 وزن 1/4 وللمدخل 6 وزن 3/4؛ مجموعهما 1. يمكنك تمثيلهما بقائمة من أربعة مواضع متساوية الوزن: 2 و 6 و 6 و 6. المقصود حساب مفترض، لا قياسات فعلية.

في الترتيب الأول، نجمع المساهمتين 1/4 × 2 + 3/4 × 6 = 5، ثم نكعب 5 فنحصل على 5³ = 125. وفي الترتيب الثاني نكعب المدخلين: 2³ = 8 و 6³ = 216، ثم نحسب 1/4 × 8 + 3/4 × 216 = 164.

العد على القائمة المكررة يؤكد الحسابين: مجموع القيم 20، ومتوسطها 5. ومجموع مكعباتها 664، ومتوسطها 164. الفرق 164 − 125 = 39. لم نغير وزني المدخلين، ولم نكعب العددين ثم نقسم مجموع مكعبيهما على 2 في المثال المرجح.

المحدبة تقارن المنحنى بالوتر بين نقطتين

إذا كانت الدالة f محدبة على المجال، وكان p و q موجبين ومجموعهما 1، فإن f(p × a + q × b) ≤ p × f(a) + q × f(b). للمقعرة ينعكس رمز المقارنة. يجب أن يكون المجال كله بين المدخلين ضمن مجال هذا الوصف. [1]

التحدب يعني أن قيمة الدالة عند كل موضع بين نقطتين لا تتجاوز القيمة الموافقة على الوتر الواصل بينهما. وللدالة القابلة للاشتقاق مرتين، عدم سلبية المشتقة الثانية على المجال يثبت التحدب. [2]

في التكعيب f(x) = x³، المشتقة الثانية f″(x) = 6x. هي موجبة بين 2 و 6؛ لذلك نستعمل هنا اتجاه المحدب. هذا الفحص يتعلق بالدالة على المجال كله، وليس بملاحظة أن الرقمين الناتجين موجبان.

في الرسم، نقطتا المدخلين هما(2,8) و(6,216). الموضع 5 يقع ثلاثة أرباع الطريق من 2 إلى 6؛ لذلك ارتفاع الوتر فيه هو 164، باستخدام ربع ارتفاع الطرف الأول وثلاثة أرباع ارتفاع الطرف الثاني. أما ارتفاع المنحنى في الموضع نفسه فهو 125.

العلامتان عند 5 تقارنان ترتيبين للحساب في المثال نفسه. لا تمثل 164 قيمة التكعيب عند 5؛ إنها المتوسط المرجح للقيمتين 8 و 216. المحاور مشتركة في الرسم، والوتر خط مستقيم بين النقطتين، وليس منحنى بيانات مستقلة.

الوزنان المتساويان يعطيان حسابًا آخر

إذا غيرنا الوزنين إلى 1/2 و 1/2 مع إبقاء المدخلين 2 و 6، أصبح المتوسط(2 + 6)/2 = 4. تكعيبه 4³ = 64، بينما متوسط المكعبات(8 + 216)/2 = 112. الفرق 48، وليس 39.

الجدول يفصل المدخلين والوزنين في كل سطر. عمود «نكعب المتوسط» يحسب متوسط المدخلات أولًا؛ عمود «متوسط المكعبات» يحول المدخلين ثم يجمع بالوزنين نفسهما. لا تقارن سطرين مختلفين كأن المدخلات والأوزان لم تتغير.

المجال السالب يعكس الاتجاه والمختلط يحتاج فحصًا

للمدخلين −6 و −2 بوزنين متساويين، المتوسط −4، وتكعيبه −64. أما مكعبا المدخلين فهما −216 و −8، ومتوسطهما −112. إذن −64 > −112. المشتقة الثانية 6x سالبة في هذا المجال، فتكون دالة التكعيب مقعرة عليه.

التكعيب على المجال غير السالب محدب، وعلى المجال غير الموجب مقعر؛ وعند الصفر تكون مشتقته الثانية 0. لكن مجالًا يتضمن قيمًا سالبة وموجبة يحتوي اتجاهين لإشارة هذه المشتقة. لذلك لا تصف الدالة هنا كلها بأنها محدبة أو مقعرة.

للمدخلين −4 و 2 بالوزنين 1/2 و 1/2، المتوسط −1 وتكعيبه −1، بينما متوسط المكعبات −28. النتيجة −1 > −28. وللمدخلين −2 و 4 بالوزنين نفسيهما، المتوسط 1 وتكعيبه 1، بينما متوسط المكعبات 28؛ النتيجة 1 أصغر من 28.

الصورة الداخلية تعرض هذين الحسابين المستقلين. كلاهما يخلط الإشارتين، لكن اتجاه المقارنة مختلف. نجاح اتجاه واحد في زوج معين ليس دليلًا أن الدالة محدبة على كل المجال؛ نحتاج شرطًا يغطي جميع النقاط بين المدخلين.

المساواة والأوزان لا تختبر بالجمع وحده

إذا كان المدخلان 5 و 5 بوزني 1/4 و 3/4، فالمتوسط 5، ومتوسط مكعبيهما 125، ويتساوى الحسابان. هذا مثال مباشر على المساواة؛ لا يثبت أن كل دالة لا تسمح بها إلا لمدخلين متساويين.

خذ بدل التكعيب الدالة g(x) = 3x + 1. عند المدخلين 2 و 6 تكون القيمتان 7 و 19، ومتوسطهما المرجح 1/4 × 7 + 3/4 × 19 = 16. تطبيق الدالة على المتوسط 5 يعطي 3 × 5 + 1 = 16 أيضًا، رغم اختلاف 2 و 6.

كذلك لا يكفي أن يكون مجموع الوزنين 1: الوزنان 2 و −1 مجموعهما 1، لكن الثاني سالب. مع المدخلين 2 و 6 يصبح المتوسط 2 × 2 − 1 × 6 = −2، وتكعيبه −8. أما المتوسط بهذه الأوزان للمكعبين فهو 2 × 8 − 1 × 216 = −200. لا تتحقق المقارنة −8 ≤ −200؛ هذه الأوزان خارج شروطنا، والمتوسط −2 خارج المجال بين 2 و 6.

ابدأ بتحديد الدالة ومجالها، ثم المدخلات والأوزان وطريقة حساب كل عمود. المثال محدود القيم والأوزان الموجبة، ولا يقرر أن تبديل الترتيب مباح لكل عملية. وإذا لم تتحقق شروط المقارنة، احسب الزوج المطلوب مباشرة دون منحه قاعدة عامة لا يبررها.