لإنشاء جدول تكراري، حدّد القيم أو الفئات، ثم احسب عدد السجلات في كل منها. يعرض الجدول التكرار بجوار القيمة، ويمكن إضافة نسب وتكرارات متجمعة. سنطبق ذلك على بيانات مؤلفة من 24 سجلًا افتراضيًا، ونفحص المقام والتقريب وحدود التجميع. لم تُجمع هذه الأرقام من طلاب أو مؤسسة. [1]
الخلاصة السريعة
الجدول التكراري يربط كل قيمة أو فئة بعدد السجلات التي تقع فيها؛ القيمة والتكرار عمودان مختلفان. [1]
- حدّد وحدة السجل وقاعدة إدخاله في الصفوف. في مثالنا الصفر قيمة معلومة، وصف القيمة 4 بتكرار صفر خالٍ من سجلات ولا يعادل سجلًا قيمته صفر. وفي الاختيار المتعدد قد يدخل السجل أكثر من صف وتزيد حصص الخيارات على مئة بالمئة.
- تكرارات المثال 4 و7 و9 و4، ومجموع السجلات 24، بينما مجموع التمارين 37. التكرار النسبي تكرار الصف مقسومًا على مجموع السجلات؛ نحوله إلى مئوية بالضرب في مئة.
- عند ترتيب القيم تصاعديًا، التكرارات المتجمعة في المثال هي 4 و11 و20 و24. لحساب النسبة المتجمعة نقسم هذه المجاميع على 24.
- السؤال «أقل من 2» يخص 11 سجلًا، أما «2 أو أقل» فيخص 20. اكتب الحد ومعنى إدخاله في المجموع قبل تفسير العدد.
- تقريب نسب الصفوف إلى منزلة واحدة يعطي في المثال مجموعًا 100.1 بالمئة؛ لا تعدّل الأعداد الخام كي تجبر النسب المعروضة على مئة.
- مع ست خانات غير معلومة، لدينا 30 خانة في السجل الأصلي و24 قيمة معلومة. مقام حصة الصفر بين القيم المعلومة 24، وبين جميع الخانات المدرجة 30؛ اذكر السؤال والخانات المجهولة.
- التجميع يخفي بعض التفاصيل وترتيب السجلات. احتفظ بالأصل والحدود، وراجع كل صف لا المجموع وحده. الأرقام الافتراضية لا تصف مجتمعًا حقيقيًا.
ابدأ بما يمثله السجل
نختار لسجلنا التعليمي متغيرًا هو عدد التمارين المكتملة في مهمة قصيرة. لكل سجل قيمة من صفر إلى ثلاثة. لا نضيف اسم طالب أو تاريخ مدرسة، لأن المثال مؤلف للحساب فقط. وسنرقّم المواضع من واحد إلى 24 كي نستطيع العودة إلى أي قيمة عند مراجعة العد، دون تحويل رقم الموضع إلى قيمة المتغير نفسه.
القائمة الأصلية التي أعددناها هي: 2، 1، 0، 2، 3، 1، 2، 1، 3، 0، 2، 1، 2، 3، 1، 2، 0، 1، 2، 3، 1، 2، 0، 2. عدد عناصرها 24. اكتبها أو احفظها إلى جانب الجدول، لأن الجدول الموجز وحده لا يخبرك بالترتيب الذي اخترناه لهذه العناصر.
قبل العد، اكتب ما إذا كان كل سجل يدخل صفًا واحدًا. هذه قاعدة مثالنا: القيمة صفر لا تدخل صف الواحد، والقيمة اثنان لا تدخل صف الثلاثة. إذا تغير السؤال إلى «من أكمل تمرينًا واحدًا على الأقل؟» فسننشئ مجموعًا مختلفًا لاحقًا؛ لا نغيّر قاعدة صفوف الجدول الأساسي كي نجيب عن سؤال ثانٍ دون إعلان ذلك.
أنشئ صفوف القيم واحسب التكرارات
يتكون الجدول التكراري الأساسي من قيم أو فئات في عمود، وعدد القيم الواقعة في كل فئة في عمود آخر. عدد الصفوف المعروضة لا يساوي بالضرورة عدد السجلات التي يلخصها الجدول. [1]
في قائمتنا يظهر الصفر أربع مرات، والواحد سبع مرات، والاثنان تسع مرات، والثلاثة أربع مرات. نكتب أربعة صفوف للقيم الأربع، لا 24 صفًا مرة ثانية. إذا كنت تعد يدويًا، ضع علامة لكل ظهور بجوار القيمة المناسبة ثم اجمع العلامات. اختيار شكل العلامة تنظيم شخصي، أما العدد النهائي فيجب أن يطابق مرات ظهور القيمة في الأصل.
يمكن مراجعة العد بالقائمة: الصفر في المواضع 3 و10 و17 و23، والثلاثة في المواضع 5 و9 و14 و20. كلاهما تكراره أربعة، مع أنهما قيمتان مختلفتان. لا تجعل تعادل التكرار سببًا لدمج الصفر والثلاثة في صف واحد إذا كان السؤال عن توزيع عدد التمارين؛ سيختفي الفرق بين المعنيين من الجدول.
| عدد التمارين: القيمة | عدد السجلات: التكرار |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 7 |
| 2 | 9 |
| 3 | 4 |
| المجموع | 24 |
القيمة والتكرار والمجموع: لا تبدّل العناوين
صف القيمة اثنين يعني أن تسعة سجلات تحمل القيمة اثنين. العدد اثنان هو ما يحتويه السجل، والعدد تسعة هو عدد السجلات من هذا النوع. لو قلت إن قيمة هذا الصف تسعة، فقد قرأت العمود الآخر. ولو قلت إن هناك سجلين فقط في الصف، فقد أخذت القيمة مكان تكرارها. عنوان العمود جزء من الإجابة، وليس زخرفة حول الأرقام.
مجموع التكرارات هو 4 + 7 + 9 + 4 = 24، فيطابق عدد عناصر قائمتنا. أما جمع القيم المعروضة مرة واحدة فيعطي 0 + 1 + 2 + 3 = 6، وهو لا يعد السجلات. ويمكن حساب مجموع التمارين في مثالنا بطريقة ثالثة: نضرب كل قيمة في تكرارها، ثم نجمع، فنحصل على 0×4 + 1×7 + 2×9 + 3×4 = 37 تمرينًا.
لا نحتاج إلى هذا المجموع الأخير لإنشاء الجدول، لكنه يكشف معنى السؤال. «كم سجلًا؟» إجابته 24، و«كم تمرينًا في جميع السجلات؟» إجابته 37. كلا العددين صحيح ضمن البيانات التي اخترناها. الخطأ هو إرسال أحدهما دون وصف ثم اعتباره جوابًا عن السؤالين معًا.
التكرار النسبي: اختر المقام الصحيح
التكرار النسبي حصة الصف من مجموع التكرارات؛ نحسبه بقسمة تكرار الفئة على المجموع، ويمكن عرضه ككسر أو عدد عشري أو نسبة مئوية. [1]
في مثالنا مقام الصفوف كلها 24، لأننا نسأل عن حصة كل قيمة من السجلات الأربع والعشرين المعلومة. صف الصفر يعطي 4/24، أي 1/6. صف الواحد يعطي 7/24، وصف الاثنين 9/24، أي 3/8، وصف الثلاثة 4/24. جمع الكسور ذات المقام المشترك يعيدنا إلى 24/24، أي واحد كامل.
لا نقسم تكرار صف الاثنين على أكبر تكرار، وهو تسعة، لنسمّي الناتج حصته من جميع السجلات. القسمة 9/9 تعطي واحدًا، لكنها مقارنة بتكرار الصف نفسه. كذلك لا نقسم تسعة على عدد الصفوف الأربعة، لأن أربعة عدد القيم المعروضة، وليس عدد السجلات. اكتب في عنوان النسبة «من أصل 24 سجلًا» كي يبقى المقام واضحًا.
حوّل الحصص إلى نسب مئوية ثم راجعها
نضرب الكسور في مئة لنحصل على النسب المئوية. للصفر والثلاثة نحو 16.6667 بالمئة لكل منهما، وللواحد نحو 29.1667 بالمئة، وللاثنين 37.5 بالمئة. هذه الحصص تخص القائمة المؤلفة التي عرضناها، ولا تمثل نسبة أداء في مدرسة أو احتمالًا لمهمة مقبلة. أبقِ عدد السجلات بجوار النسب كي يعرف القارئ حجم الجدول.
إذا قرّبنا كل صف إلى منزلة عشرية واحدة، تظهر 16.7 و29.2 و37.5 و16.7 بالمئة. مجموع الأعداد المعروضة 100.1، رغم أن مجموع الكسور الأصلية واحد. الفرق ناتج من تقريب القيم المنفردة؛ لا نغيّر تكرار صف من أربعة إلى ثلاثة لإخفائه. يمكن كتابة ملاحظة أن المجموع المعروض قد يختلف قليلًا بسبب التقريب.
ولنقارن ذلك بخطأ آخر: لو كتبنا صف الواحد 39.2 بدل 29.2، فليس كل اختلاف في مجموع النسب تقريبًا. ارجع إلى 7/24×100 فتجد العدد الموافق للصف. الفحص يبدأ من الكسور والتكرارات الأصلية، ولا يفترض أن أي مجموع قريب من مئة صحيح أو أن أي اختلاف عنها يستلزم تعديل البيانات الخام.
المتجمع الصاعد: ماذا نجمع وإلى أي حد؟
التكرار المتجمع عند صف هو عدد القيم في ذلك الصف وفي الصفوف التي تسبقه وفق ترتيب الجدول. لذلك يجب إعلان ترتيب الصفوف عند تفسير المجموع. [1]
نرتب قيم مثالنا تصاعديًا: صفر ثم واحد ثم اثنان ثم ثلاثة. يبدأ المجموع بأربعة، ثم نضيف سبعة فيصبح 11، ثم نضيف تسعة فيصبح 20، ثم نضيف أربعة فيصبح 24. عند القيمة واحد، يمثل المتجمع السجلات التي قيمتها صفر أو واحد. وعند القيمة اثنين، يشمل أيضًا سجلات الاثنين؛ لا يعني أن تكرار الاثنين وحده عشرون.
في جدولنا يمكن حساب الحصة المتجمعة من العدد المتجمع مباشرة: 11/24 عند الواحد، و20/24 عند الاثنين. لا تجمع النسب المقربة ثم تفترض أنها تعيد الكسر الدقيق دائمًا. إذا كانت الأعداد الأصلية محفوظة، فاستعملها في حساب المجموع المطلوب، ثم قرّب طريقة العرض في النهاية.
| القيمة | التكرار | المتجمع الصاعد | الحصة المتجمعة الدقيقة |
|---|---|---|---|
| 0 | 4 | 4 | 4/24 |
| 1 | 7 | 11 | 11/24 |
| 2 | 9 | 20 | 20/24 |
| 3 | 4 | 24 | 24/24 |
أقل من أم أقل من أو يساوي؟
إذا سألنا عن القيم الأقل من اثنين، فنختار صفّي الصفر والواحد فقط: أربعة وسبعة، والمجموع 11. أما «اثنان أو أقل» فيضيف صف الاثنين وتصبح الإجابة عشرين. اختلاف العبارة أدخل تسعة سجلات إضافية في هذا المثال. لا تختصر السؤالين إلى «حتى اثنين» إذا كانت هذه العبارة لا تحدد للقارئ هل الحد نفسه داخل المجموع.
وللسؤال «اثنان أو أكثر» نجمع تسعة وأربعة، فيكون العدد 13. يمكن التحقق بطرح مجموعة الأقل من اثنين من الكل: 24 − 11 = 13. في هذا التقسيم لا توجد قيمة بين الواحد والاثنين، وكل سجل معلوم في قائمتنا يدخل أحد الجزأين. الشرطان المكملان هما «أقل من اثنين» و«اثنان أو أكثر»، وليس «اثنان أو أقل» و«اثنان أو أكثر»؛ الأخيران يشتركان في صف الاثنين.
إذا جمعت المجموعين المشتركين، 20 و13، فستحصل على 33 لا 24. هذا ليس تكرارًا جديدًا ظهر في القائمة؛ لقد عُدّت سجلات الاثنين في الطرفين. ضع العبارة الكاملة فوق المجموع، ثم افحص التقاطع قبل إضافة مجموعين. المثال يعلّمنا مراجعة تعريف المجموعة، لا الاكتفاء بصحة عملية الجمع نفسها.
الصفر قيمة، والخانة المجهولة حالة أخرى
الصفر في بياناتنا يعني عدد تمارين معلومًا يساوي صفرًا. له أربعة سجلات ويشارك في مقام 24 كما تشارك بقية القيم. لا نستبدل صفرًا بعلامة استفهام لأن وجوده يخفض مجموع التمارين، ولا نحذف صفه كي تزيد نسب القيم الأخرى. لقد اخترنا معنى الصفر قبل العد، وهذا المعنى جزء من وصف المثال.
ننشئ حالة إضافية مستقلة: هناك ست خانات لم تُذكر فيها قيمة، إلى جانب السجلات المعلومة الأربع والعشرين. يصبح لدينا 30 خانة مدرجة، منها 24 بقيمة معلومة وست غير معلومة. إذا كان السؤال عن حصة الصفر بين القيم المعلومة، فالمقام 24 والنسبة 4/24. وإذا كان عن حصة الخانات التي نعرف أنها صفر بين جميع الخانات المدرجة، فالمقام 30 والنسبة 4/30.
النتيجتان نحو 16.6667 و13.3333 بالمئة، وهما تجيبان عن سؤالين مختلفين. لا نفترض أن قيمة كل خانة مجهولة صفر أو واحد لإكمال الجدول؛ لم نعط هذه الخانات قيمًا. وفي السؤال الثاني يبقى عدد الحالات غير المعلومة ظاهرًا بجوار النسبة، حتى لا يظن القارئ أننا عرفنا قيمة كل خانة من الثلاثين.
دمج الصفوف في فئات: ما الذي يبقى وما الذي يختفي؟
في تجميع مؤلف ندمج الصفر والواحد في فئة، والاثنين والثلاثة في فئة أخرى. التكراران الجديدان 11 و13، ومجموعهما 24. يمكن كتابة الحدود «0≤x<2» و«2≤x<4» لهذه القيم الصحيحة. تدخل القيمة اثنان الفئة الثانية، لا الأولى. هذه الحدود اختيار معلن في المثال، وليست قاعدة تفرض التقسيم نفسه على كل بيانات.
إذا احتفظنا بالفئتين فقط، فلن نعرف من العدد 11 وحده كم كان صفرًا وكم كان واحدًا. جدولنا الأصلي يعطي أربعة وسبعة، لكن قائمة افتراضية أخرى قد تعطي خمسة وستة وتظل الفئة مجموعها 11. إذن تساوي تكرار الفئة لا يعني تساوي التفاصيل داخلها. نحتاج إلى الأصل أو إلى جدول أكثر تفصيلًا لاسترجاع هذا التقسيم.
ويمكن إنشاء ثلاثة صفوف للعرض: صفر وحده بتكرار أربعة، وواحد وحده بتكرار سبعة، وفئة اثنين أو ثلاثة بتكرار 13. عدد السجلات لم يتغير، لكن عدد الصفوف أصبح ثلاثة. لا تفسر نقصان الصفوف على أنه حذف سجلات. اكتب طريقة التجميع والعلاقة بالجدول الأصلي إذا كان القارئ سيقارن النسختين.
إذا سمح السؤال بأكثر من اختيار
ننشئ تمرينًا منفصلًا بخمس استمارات افتراضية وسؤال يسمح باختيار أ وب معًا. نختار الإجابات التالية: الأولى أ، والثانية ب، والثالثة أ وب، والرابعة أ وب، والخامسة «لا أختار أيًا منهما». الخيار أ موجود في ثلاث استمارات، وب في ثلاث أيضًا. مجموع تكراري الخيارين ستة، لكنه لا يعد ست استمارات؛ بعض الاستمارات دخلت صفين في هذا التمرين.
عند السؤال عن حصة الاستمارات التي اختارت أ، يكون المقام خمسة والنسبة ثلاثة من خمسة، أي 60 بالمئة. وحصة ب 60 بالمئة أيضًا. مجموعهما 120 بالمئة لأن مجموعتي أ وب متداخلتان، لا بسبب تقريب عددين في خانة العرض. أما عدد الاستمارات التي اختارت واحدًا منهما على الأقل فأربعة، ونسبتها 80 بالمئة. وعدد من اختار كليهما اثنان، ونسبته 40 بالمئة.
يمكن طرح سؤال آخر عن حصة أ من الاختيارات الستة نفسها، فيكون المقام ستة والناتج 50 بالمئة، ومثلها ب. هنا حسبنا اختيارات لا استمارات؛ لا نبدّل العنوان ونحتفظ بالمقام السابق. هذه حالة مختلفة عن جدولنا الأساسي الذي يدخل كل سجل فيه صفًا واحدًا. اذكر السماح بتعدد الاختيار ووحدة العد، حتى لا يحاول القارئ تصحيح مجموع 120 إلى مئة بإلغاء إجابات أعطيناها صراحة.
تكرار صفري أم سجل قيمته صفر؟
إذا أضفنا في عرض تعليمي صفًا للقيمة أربعة، فسيكون تكراره صفرًا لأن قائمتنا لا تتضمن أربعة. هذا غير صف القيمة صفر، الذي تكراره أربعة. الأول يصف عدم وجود سجل بالقيمة أربعة في مجموعتنا، والثاني يصف وجود أربعة سجلات بقيمة الصفر. اختلاف عنواني العمودين يجعل العبارة واضحة دون افتراض أن كل ظهور للصفر له المعنى نفسه.
إضافة الصف الصفري لا تغيّر مجموع التكرارات: 4 + 7 + 9 + 4 + 0 = 24. ولا تغيّر النسب السابقة إذا بقي المقام نفسه. لكننا لا ندعي أن القيمة أربعة مستحيلة في كل مهمة؛ في تعريف مثالنا حددنا القيم من صفر إلى ثلاثة. إذا غيّرنا تعريف المهمة، فيجب أن نذكر التعريف الجديد بدل تحميل صف فارغ معنى عامًا.
وعندما تقارن جدولين، قد يكون صف غائبًا لأنه لم يُعرض، أو لأنه غير داخل تعريف المتغير، أو لأنه لم يظهر في البيانات المختارة. هذه بدائل مختلفة تحتاج وصفًا من صاحب الجدول. في ورقتنا نصرح بسبب الصف الصفري، فلا يضطر القارئ إلى استنتاجه من شكل الجدول وحده.
مراجعة الجدول من طريقين
نقترح مراجعتين للحساب: اجمع التكرارات لتعود إلى 24، ثم ارجع إلى مواضع القيم في القائمة للتأكد من كل صف. لو نقلنا سجلًا قيمته واحد إلى صف الاثنين، سيصبح التكراران ستة وعشرة بدل سبعة وتسعة، لكن المجموع سيظل 24. فحص المجموع وحده لن يكشف هذا الخطأ؛ مراجعة القائمة تكشفه.
ولفحص المتجمع، اطرح كل مجموع سابق من الذي يليه. 11 − 4 = 7، و20 − 11 = 9، و24 − 20 = 4. تعيدنا هذه الفروق إلى التكرارات المنفردة. إذا أعطى عمود المتجمع 4 و12 و20 و24، فالفروق ستكون أربعة وثمانية وثمانية وأربعة، وهي لا تطابق جدولنا الأساسي. لا تصلح نهاية المتجمع الصحيحة وحدها دليلًا على صحة الصفوف الوسيطة.
أبقِ ملاحظات التصحيح مع النسخة. إذا أصلحت عددًا في صف، راجع النسبة والمجاميع اللاحقة التي تعتمد عليه، بدل تغيير خانة واحدة وترك الحسابات التابعة لها قديمة. المراجعة هنا حسابية لسجلنا المؤلف، ولا تثبت جودة جمع بيانات ميدانية أو صحة تعريف متغير لم نعرف مصدره.
اكتب نتيجة محددة بدل حكم يتجاوز البيانات
نستطيع تلخيص مثالنا بعبارة: «في 24 سجلًا افتراضيًا، ظهرت القيمة اثنان تسع مرات، أي 37.5 بالمئة، وكان عدد السجلات التي قيمتها واحد أو أقل 11». تحفظ العبارة المقام وحدّ المجموع والتكرار المنفرد. لا نحولها إلى نسبة عن طلاب مدينة أو إلى توقع نجاح، لأننا لم نجمع بيانات عن مجتمع فعلي.
إذا طلب القارئ السجلات التي قيمتها اثنان أو أكثر، نعطي 13 من أصل 24، أي نحو 54.1667 بالمئة. ويمكن عرض الكسر 13/24 لتجنب إخفاء المقام أو التقريب. أما إذا طلب ترتيب ظهور القيم، فنرجع إلى القائمة الأصلية؛ جدول التكرارات لا يخبره أي قيمة كانت في الموضع الأول أو الأخير. السؤال يحدد ما نحتفظ به إلى جانب الجدول.
قبل التسليم، تحقق من تعريف السجل، واسم كل عمود، ومجموع التكرارات، والمقام، وترتيب الصفوف، وشمول الحد في السؤال. ثم اذكر التقريب والتجميع والخانات المجهولة إن وجدت. عندما تبقى هذه المعلومات ظاهرة، يستطيع القارئ متابعة الحساب من القائمة إلى الجدول وإلى النتيجة، بدل قبول نسبة منفصلة عن البيانات التي أنتجتها.
المصادر ومتابعة القراءة
- جامعة يورك: عرض البيانات والتكرارات والنسب المتجمعة (يفتح في نافذة جديدة)www-users.york.ac.uk
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.