منحنى نيكوميدس: مسافة على الشعاع ونقطة زائدة في المعادلة

الخلاصة السريعة

في مثالنا، نقيس المسافة2 على الخط المار بالأصل ونقطة المستقيم؛ أما الأصل فيحقق المعادلة الضمنية وحدها، ولا ينتج من هذا البناء.

• نثبت O=(0,0) والمستقيم x=3. لكل Q=(3,t)، نأخذ نقطتين على خط OQ، تبعد كل منهما2 عن Q؛ البعد مقاس على هذا الخط المائل. [2]
• عند Q=(3,4)، طول OQ=5. النقطتان P+=(21/5,28/5) وP−=(9/5,12/5)، وبعداهما عن O هما7 و3. بعد كل منهما عموديًا عن x=3 هو6/5، لا2.
• الإزاحة الأفقية تعطي R+=(5,4) وR−=(1,4). كل نقطة تبعد2 عن Q، لكنها ليست على خط OQ، وتعطي في معادلة المنحنى فرقًا مقداره64 بدل صفر.
• المعادلة الضمنية (x−3)²(x²+y²)=4x². كل نقطة مبنية تحققها، لكن حذف المقام يسمح بقبول O؛ لذلك لا تكفي المعادلة وحدها لتعريف مجموعة نقاط البناء.
• لأن OQ≥3 والمسافة المنقولة2، فإن OP≥1. الأصل ليس نقطة من البناء ولا حدًا لنقاطه. كل حل حقيقي غير صفري للمعادلة يعيد بناء Q=(3,3y/x) ويحقق QP=2.
• الفرع الداخلي يحقق1≤x＜3، والخارجي3＜x≤5؛ يقتربان من x=3 عند زيادة |t| دون بلوغه. الرسومان يغطيان أجزاء محدودة، ويستعملان مقياسًا واحدًا للمحورين؛ لا يمثلان تجربة آلة.

قِس المسافة على الخط الذي يدور حول الأصل

نختار O=(0,0)، والمستقيم الرأسي x=3. النقطة Q=(3,t) تتحرك على المستقيم، بينما يتغير الخط OQ. نضع نقطتين على هذا الخط، واحدة بعد Q في اتجاه الابتعاد عن O، والأخرى قبل Q في اتجاه O، وكلتاهما على بعد2 من Q.

هذا هو قيد المسافة الثابتة على الخط المتحرك، لا مسافة ثابتة عمودية على المستقيم. وصف الآلية الهندسية يستخدم نقطة على مستقيم ثابت وخطًا مارًا بالأصل، ونقطة رسم ذات إزاحة ثابتة على الخط المتحرك. [2]

لنكتب ρ=√(9+t²)، وهو طول OQ. متجه الوحدة في اتجاه OQ هو u=(3/ρ,t/ρ)؛ طوله1. نتحرك2 من Q بهذا الاتجاه أو بعكسه، فنحصل على P±=Q±2u. الرمز ± يختصر نقطتين مختلفتين.

إحداثياهما x±=3±6/ρ وy±=t±2t/ρ. بما أن ρ≥3، فإن العامل1−2/ρ موجب. لهذا تقع النقطة الأقرب قبل Q على الشعاع نفسه، ولا تتجاوز O في هذا المثال.

نستعمل أطوالًا وإحداثيات بوحدة واحدة. إذا كان بعد المستقيم عن الأصل3 سم، فالإزاحة2 سم كذلك. لا يعني ثبات المسافة QP أن الإحداثي الأفقي يتغير بمقدار2؛ ذلك يعتمد على ميل الخط.

نقطة على المستقيم تعطي موضعين دقيقين

اختر Q=(3,4). مربع طولها من الأصل3²+4²=25، لذلك OQ=5 ومتجه الوحدة u=(3/5,4/5). الإزاحة2u=(6/5,8/5)؛ هذان العددان مركبتا الإزاحة، وليس كل منهما طولًا مقداره2.

بإضافة الإزاحة نحصل على P+=(21/5,28/5)، وبطرحها نحصل على P−=(9/5,12/5). طول الأولى من O يساوي7، وطول الثانية3. الأولى تقع بعد Q، والثانية بين O وQ.

نتحقق من QP مباشرة: (6/5)²+(8/5)²=4، فيكون الطول2. الإشارتان السالبتان في الإزاحة إلى P− لا تغيران طولها. كما أن النسب21:28 و9:12 تساوي3:4، فتقع النقطتان على خط OQ.

بعد P+ العمودي عن المستقيم هو21/5−3=6/5، وبعد P− هو3−9/5=6/5. المثلث القائم يوضح الفرق: الإزاحة المائلة طولها2، أما مركبتها الأفقية فطولها6/5.

في الشكل الرئيسي، الأزرق للفرع الخارجي والأخضر للداخلي. يظهر وضع واحد عند Q=(3,4)، مع جزء من كل مسار. لا نقرأ الكسور من صورة تقريبية؛ هذه إحداثيات حسبناها قبل الرسم.

الإزاحة الأفقية تحفظ الطول وتخالف الاتجاه

لو نقلت Q أفقيًا بمقدار2، لحصلت على R+=(5,4) وR−=(1,4). تبعد كل منهما2 عن Q فعلًا، وهذا قد يجعل الخطأ مقنعًا إذا فحصت طول القطعة وحده.

لكن خط OQ في هذا الوضع يحقق y=4x/3. عند x=5 يلزم y=20/3، وعند x=1 يلزم y=4/3؛ الإحداثي الرأسي4 لا يناسب أيًا منهما. الاتجاه جزء من القيد، وليس تفصيلًا تجميليًا.

يمكن فحص الاصطفاف دون قسمة: لنقطة R=(x,y)، نختبر 3y−4x. للنقطتين الخاطئتين نحصل على−8 و8. للنقطتين P+ وP− نحصل على صفر، لأنهما على الخط المار بـO وQ.

سنستعمل المعادلة أيضًا: F(x,y)=(x−3)²(x²+y²)−4x². تعطي F(5,4)=64 وF(1,4)=64، بينما تعطي للنقطتين الصحيحتين صفرًا. المسافة الثابتة عن Q وحدها لا تحدد منحنى نيكوميدس.

تغيير القاعدة إلى مسافة عمودية ثابتة عن x=3 يرسم مستقيمين موازيين عند x=5 وx=1. هذان ليسا الفرعين الناتجين من الخط الدوار. يتفق البناءان عند t=0 فقط في المثال؛ لا يكفي اتفاق وضع واحد.

استخرج المعادلة واحتفظ بشروط حذف المقام

لنأخذ نقطة مبنية P=(x,y)؛ في مثالنا x موجب وP≠O. لأن O وQ وP على خط واحد، تكون Q=(3,3y/x). يحدد هذا التعبير نقطة تقاطع خط OP مع المستقيم، وتحتاج كتابته إلى x≠0.

فرق المتجهين P−Q هو ((x−3)/x)P. لذلك مربع الطول QP هو (x−3)²(x²+y²)/x². مساواته4، ثم الضرب في x²، يعطي (x−3)²(x²+y²)=4x²؛ وهي صورة معادلة نيكوميدس الديكارتية. [1]

في P+، يكون (x−3)²=36/25 وx²+y²=49. الطرف الأيسر1764/25، والطرف الأيمن4×441/25=1764/25. في P−، يصبح الطرفان324/25. تتحقق المعادلة دون تقريب.

المعادلة كثيرة حدود من الدرجة الرابعة. ذلك لا يجعلها قطعًا مخروطيًا أو دائرة، ولا يجعل كل صفر لها نقطة مبنية تلقائيًا. استخراجها بدأ بشرط x≠0؛ بعد إزالة المقام لا يظهر هذا الشرط في الصيغة الأخيرة.

إذا وضعت x=0 في كثيرة الحدود، صارت9y²=0، ومن ثم y=0. الأصل إذن هو الحالة الوحيدة ذات الإحداثي الأفقي الصفري التي تسمح بها المعادلة الجديدة. علينا فحصها في البناء الأصلي.

الأصل صفر جبري معزول وليس نقطة من البناء

نعوض O=(0,0)، فنجد F(0,0)=0. مع ذلك، كل Q على x=3 تبعد عن O مسافة لا تقل عن3. والنقل نحو O طوله2 فقط؛ لذلك يبقى بعد النقطة الناتجة عن O واحدًا على الأقل.

بالتحديد، OP+=ρ+2 وOP−=ρ−2، مع ρ≥3. إذن OP≥1 في الفرعين، وتتحقق المساواة عند Q=(3,0) وP−=(1,0). لا توجد نقطة مبنية داخل الدائرة x²+y²＜1.

هذا الحد يمنع الاقتراب من O أيضًا. مهما غيّرت t، لا ينخفض OP تحت1. الأصل ليس نهاية فرع ولا نقطة مفقودة يمكن بلوغها بحد، بل نقطة معزولة في مجموعة الأصفار الحقيقية لكثيرة الحدود.

ولإثبات أن الاستثناء الوحيد هو O، خذ حلًا حقيقيًا غير صفري للمعادلة. سبق أن x=0 لا يعطي إلا O. إذا كان x سالبًا، فإن |x−3| أكبر من3، بينما المساواة تتطلب |x−3|=2|x|/√(x²+y²)، وطرفها الأيمن لا يزيد على2؛ هذا مستحيل.

لذلك x موجب. نستعيد Q=(3,3y/x)، ويثبت التعويض أن QP²=4. النقطتان على الخط نفسه، وبعدهما2؛ فيرجع الحل إلى أحد فرعي البناء. مجموعة الأصفار الحقيقية هي نقاط الفرعين مضافًا إليها O، لا الفرعان وحدهما.

مستقيم مقارب لا يمر به الفرعان

من x±=3±6/ρ، مع ρ≥3، نحصل على1≤x−＜3 و3＜x+≤5. تساوي النهايتان1 و5 عند t=0، حيث P−=(1,0) وP+=(5,0). أما x=3 فلا يتحقق عند أي t محدود.

عندما يزداد |t| دون حد، يزداد ρ، فتقترب6/ρ من صفر. يقترب الإحداثي الأفقي من3 في الفرعين، بينما تصبح القيمة المطلقة للإحداثي الرأسي غير محدودة. لهذا يكون x=3 مستقيمًا مقاربًا. [1]

لا يتقاطع المنحنى مع هذا المستقيم: عند x=3، يكون F(3,y)=−36 مهما كانت y. المستقيم يوجه البناء وتقترب منه المسارات، لكنه ليس مجموعة نقاط الرسم نفسها.

في الرسم الداخلي نميز الأصل الأحمر من نقطة P−=(1,0)، ونوضح الدائرة المفتوحة x²+y²＜1 التي لا يدخلها البناء. الحد الدائري ليس فرعًا ثالثًا؛ إنه وسيلة لإظهار الفاصل بين O والمسارين.

تعرض الصور نطاقًا محدودًا من t، لا منحنى لا نهائيًا كاملًا. المقياس موحد أفقيًا ورأسيًا حتى لا تتحول المسافة2 إلى طول مضلل. هذه مخططات حسابية أصلية؛ لم نبن أداة فعلية أو نختبر دقتها.