نرسم عمودين من رأسين على مستقيمي الضلعين المقابلين، ونمد خطيهما حتى يلتقيا. [1] سنفحص مثالًا يكون فيه قدم أحد العمودين خارج قطعة الضلع.
مد مستقيم الضلع واترك مساحة للإنشاء
ابدأ بمد مستقيم الضلع في الاتجاهين، ثم أنشئ عليه عمودًا من الرأس المقابل. [2]
اخترنا أ=(0،0)، ب=(12،0)، ج=(3،3). من ج إلى أ المتجه (−3،−3)، ومن ج إلى ب المتجه (9،−3). حاصل ضربهما الداخلي −27+9=−18، ولذلك الزاوية عند ج منفرجة في مثالنا. النقاط ليست على استقامة واحدة: أ وب على ص=0 وج على ص=3.
لإسقاط عمود من أ نستخدم مستقيم ب ج، ومعادلته ص=−س/3+4. الجزء الذي يرسم الضلع وحده يمتد بين س=3 وس=12. سنحتفظ بالضلع بخط واضح وبامتداده بخط متقطع، حتى نستطيع التمييز بينهما عند البحث عن قدم العمود.
في ورقة المثال اكتب أسماء الرؤوس قبل مد الخطوط. اترك فراغًا أعلى ج، لأن حسابنا التالي سيضع نقطة جديدة عند ص=3.6، وأخرى عند ص=9. إذا ضاقت مساحة الورقة أعد رسم المثال بمقياس أصغر مع بقاء المقياس نفسه في الاتجاهين، بدل إزاحة نقطة واحدة.
أنشئ العمود من الرأس بأقواس متساوية
من الرأس ارسم قوسًا يقطع مستقيم الضلع في نقطتين. منهما ارسم قوسين بالفتحة نفسها يتقاطعان، ثم صل تقاطعًا مختلفًا عن الرأس بالرأس. [2]
لإنشاء عمود أ في مثالنا، نختار فتحة أولى 4 وحدات. بكتابة ص=(12−س)/3 في دائرة أ، س²+ص²=16، نحصل على س²+(12−س)²/9=16، أي 10س²−24س=0. تقاطعاهما ت=(0،4) وث=(2.4،3.2)، وكلاهما على امتداد ب ج بعد ج.
منتصف ت ث هو ق=(1.2،3.6). طول ت ث يحقق مربعه (2.4)²+(−0.8)²=6.4. نختار لزوج الأقواس الجديد فتحة 2 وحدتين، أكبر من نصف √6.4؛ إذن تتقاطع دائرتاهما في نقطتين متميزتين. الفرق بين معادلتي الدائرتين يعطي 2.4س−0.8ص=0، أي ص=3س.
تقاطعَا القوسين الثانيين هما ق زائد أو ناقص المتجه (√6/5،3√6/5). كلاهما يقع على ص=3س. نستخدم أحدهما مع أ=(0،0) لتحديد الخط. لا نصل ت وث ونعد تلك الوصلة عمودًا: هي تقع على مستقيم الضلع نفسه في حسابنا.
مد خطي الارتفاعين حتى نقطة التقاطع
أنشئ ارتفاعًا ثانيًا من رأس آخر، وحدد تقاطع خطي الارتفاعين. ويمكن رسم الثالث للتحقق. [1]
في مثالنا، لإسقاط عمود من ج على أ ب نختار قوسًا مركزه ج وفتحته 5. عند ص=0، تعطي دائرة (س−3)²+(ص−3)²=25 نقطتي القطع (−1،0) و(7،0). زوج أقواس من هاتين النقطتين بفتحة 5 يتقاطع عند (3،3) و(3،−3). نختار النقطة الثانية لأنها تختلف عن ج، ثم نصلها بج لنحصل على س=3.
يتقاطع خط س=3 مع الخط ص=3س عند هـ=(3،9). تحقق بالتعويض: 9=3×3. أعلى نقطة في مثلثنا لها ص=3، أما هـ فلها ص=9، ولذلك تقع خارج المثلث. القطعة من ج إلى أ ب تنتهي عند د=(3،0)؛ لا تحتوي هـ، فنمد خطها إلى ما فوق ج.
خط الارتفاع الثالث في المثال يمر بب=(12،0) ويعامد أ ج الذي ميله 1؛ معادلته ص=−س+12. عند س=3 تكون ص=9، فيمر بـهـ أيضًا. هكذا تتفق الاختبارات الثلاثة دون نقل نقطة التقاطع لتقع داخل حدود الرسم.
افحص قدم العمود قبل الحكم على مكانه
ارتفاع المثلث قطعة من الرأس إلى مستقيم الضلع، أما إيجاد الملتقى الخارجي فيحتاج إلى مد خطوط الارتفاعات. [2][3]
نحسب قدم عمود أ بحل ص=3س مع ص=−س/3+4: (10/3)س=4، أي س=1.2 وص=3.6؛ إنها ق التي ظهرت في الإنشاء. تقع ق على مستقيم ب ج، لكنها خارج القطعة لأن 1.2 أصغر من إحداثي ج السيني 3. اتجاه أ ق هو (1.2،3.6)، وحاصل ضربه بمتجه ب ج (−9،3) يساوي −10.8+10.8=0؛ التعامد صحيح.
يمكن وصف موضع ق أيضًا من ب إلى ج: ب+1.2(ج−ب)=(12،0)+1.2(−9،3)=(1.2،3.6). المعامل 1.2 أكبر من 1، ولذلك تجاوزنا ج على الامتداد. لا يختفي العمود حين يتجاوز قدمه نهاية الضلع؛ الذي انتهى مبكرًا هو الخط الذي رسمناه.
سجل في المثال ثلاث علامات مختلفة: ق قدم عمود أ، ود قدم عمود ج، وهـ ملتقى خطوط الارتفاعات. ق ليست هـ: الأولى (1.2،3.6) والثانية (3،9). إذا كانت النقطة التي سميتها هـ على الضلع، عوّض إحداثييها في س=3 وص=3س؛ يجب أن تحقق المعادلتين معًا.
| النقطة في المثال | إحداثياتها | الفحص |
|---|---|---|
| ق قدم عمود أ | (1.2،3.6) | على امتداد ب ج |
| د قدم عمود ج | (3،0) | على أ ب |
| هـ ملتقى الارتفاعات | (3،9) | خارج المثلث؛ على الخطوط الثلاثة |
للتوسع: الفرجار الهندسي واستخداماته.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.