ارتفاع السائل في مخروط ناقص: أين نصف السعة؟

ارتفاع السائل في مخروط ناقص لا يتناسب طرديًا مع الحجم عند اتساعه صعودًا. [1]

الخلاصة السريعة

في مثالنا، عمق6 سم يملأ نحو33.93%؛ نصف السعة يحتاج نحو7.812 سم. [1][2]

• التجويف مخروط ناقص دائري قائم، يتسع لأعلى: نصف القطر السفلي3 سم، العلوي6 سم، والارتفاع H=12 سم. القياسات داخلية والجدار ثابت؛ سطح السائل أفقي، بلا أجسام أو رغوة داخله. h عمق رأسي من القاع المستوي؛ 0≤h≤12. [1]
• عند ارتفاع z من القاع، r(z)=3+z/4؛ z وr بالسنتيمتر. بالتكامل V(h)=π∫₀ʰ(3+z/4)²dz. المقاطع أقراص؛ نكامل مساحتها، لا نصف قطرها. [2]
• حجم الجزء الممتلئ V(h)=πh(9+3r+r²)/3؛ هنا r=3+h/4 نصف قطر سطح السائل. السعة الكاملة V(12)=252π سم³، ونرمز لها Vfull. لا نستخدم نصف القطر العلوي6 لكل عمق جزئي. [1]
• عند h=6 سم، يكون r=4.5 سم والحجم85.5π سم³. نسبته للسعة19/56≈33.93%؛ نصف الارتفاع لا يحقق نصف الحجم، لأن النصف السفلي أضيق. [1]
• نعرف u=h/12 وF=V(h)/V(12)، وهما بلا وحدة. ينتج F=((1+u)³−1)/7. لحصة سعة f بين0 و1: u=∛(1+7f)−1. عند f=0.5، نجد h≈7.812 سم، أي u≈0.650964. [2]
• الرسم لـ0≤u≤1 يقارن F بالخط F=u؛ المنحنى أدنى منه داخليًا. فهو متزايد: F′=3(1+u)²/7>0؛ لذلك لكل حصة سعة عمق وحيد. هذه الصيغة العددية تخص أبعاد مثالنا، لا كل خزّان. [2]

المراجع

1. هندسة المخروط الناقص
2. الحجم بطريقة المقاطع

حجم المخروط الناقص

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.