استقلال المجموع والفرق: هل يكفي صفر الارتباط؟

استقلال المجموع والفرق لا يثبته انعدام التغاير. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ نفحص الاحتمالات المشتركة. [2]

• نموذج مؤلف بلا وحدات: X وY مستقلان، كل منهما −5 أو5 بفرصة 1/2. نعرّف U=X+Y وV=X−Y. [2]
• أزواج (U,V) الأربعة: (−10,0)، (0,−10)، (0,10)، (10,0)؛ احتمال كل زوج 1/4. هذه نواتج النموذج، لا أربع مشاهدات. [2]
• E(U)=E(V)=0 وكل UV=0؛ Cov(U,V)=0. Var(U)=Var(V)=50، فيكون بيرسون 0؛ E توقع، Cov تغاير وVar تباين. [1]
• P(U=0)=P(V=0)=1/2، لكن P(U=0,V=0)=0، مخالفًا لحاصل الاحتمالين 1/4؛ لذلك U وV غير مستقلين. [2]
• الشرط U=0 موجب الاحتمال ويترك V=−10 أو10. إذن P(V=0|U=0)=0، بينما P(V=0)=1/2؛ معرفة المجموع تغير توزيع الفرق. [2]
• عمومًا Cov(X+Y,X−Y)=Var(X)−Var(Y) بتلاشي التغايرين المتناظرين، عند وجود العزوم الثانية. تساوي التباينين يعطي تغايرًا صفريًا؛ لا يضمن استقلال المجموع والفرق. [1]

المراجع

1. خواص التغاير
2. الشرط والاستقلال

معامل بيرسون

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.