اكتشاف القمم: لماذا تستبعد العتبة قمة مسطحة مرتفعة؟

ابدأ بالمرشحين المحليين

للقمة المسطحة تعيد find_peaks فهرس الوسط، مقربًا للأسفل لعدد زوجي. [1]

اخترنا سبع قيم حقيقية منتهية بلا وحدة قياس: x=[0,4,4,4,0,3,0]. نرقمها من صفر إلى 6. القيم عند 1 و2 و3 متساوية وتعلو القيمتين المحيطتين بالمنطقة، عند 0 و4؛ لذلك تمثل القمة المسطحة منطقة واحدة، ويكون ممثلها (1+3)/2=2.

القيمة عند 5 هي 3، وعلى جانبيها صفران؛ فهي المرشح الثاني. لا نعد كل واحدة من القيم الثلاث ذات الارتفاع 4 قمة مستقلة. كما لا نحتاج إلى اعتبار القمة المرشحة أعلى قيمة في السجل كله.

وفي سلسلة منفصلة [0,4,4,0]، يمتد السطح المسطح من 1 إلى 2. وسط الفهرسين 1.5، وبعد التقريب للأسفل نختار 1. لا نخترع عينة جديدة عند 1.5، ولا نستوفي قيمة بين العينات.

الارتفاع والعتبة يختاران قمتين مختلفتين

height يقيد قيمة القمة؛ حدها الأدنى مشمول. [1]

لـthreshold ذي حد أدنى، يجب أن يبلغه أصغر فرق عن الجارين المباشرين. [2]

نسمي فرقَي المرشح i: L=x[i]−x[i−1] وR=x[i]−x[i+1]. شرط حد أدنى t هو min(L,R)≥t، أي L≥t وR≥t معًا. لا نطرح أدنى قيمة في السجل أو متوسطه بدل الجار المباشر.

عند i=2: x[2]=4، وL=4−4=0، وR=4−4=0. ارتفاع المنطقة عن الصفر المحيط بها يساوي 4، لكن الفروق المطلوبة هنا صفر؛ الصفر عند 0 أو4 ليس جارًا مباشرًا للفهرس 2.

عند i=5: x[5]=3، وL=3−0=3، وR=3−0=3. الشرط height≥4 يرفض هذا المرشح ويبقي 2. أما threshold≥2 فيقبل 5 ويرفض 2؛ إذن اختيار القمة يتوقف على المقدار الذي حددناه.

إذا اشترطنا الأمرين معًا، يفشل كل مرشح في أحدهما وتكون النتيجة فارغة. ولو خفضنا حد فرق الجار إلى صفر، لبقي المرشحان؛ وعند حد 3 تبقى القمة 5 أيضًا لأن المساواة مقبولة. حد 4 يرفضهما.

لا شروط للمسافة أو العرض أو البروز في مثالنا.

أضف قيمة ثابتة وراجع ما يتغير

لنضف 10 إلى كل قيمة، دون تغيير ترتيب العينات. تصبح y=[10,14,14,14,10,13,10]. ما زالت المنطقة المسطحة عند 1 إلى 3، والقمة الحادة عند 5؛ المقارنات بين القيم لم تتغير.

قيمتا المرشحين الآن 14 و13. إذا أبقينا شرط الارتفاع العددي 4، تمر القمتان. في السجل الأصلي مرّت القمة 2 فقط بهذا الشرط. تغيير نقطة الصفر يؤثر في المقارنة بقيمة ارتفاع ثابتة.

أما فرقَا الجارين للقمة 2، فهما 14−14=0 و0؛ وللقمة 5 هما 13−10=3 و3. ما زال حد فرق الجار 2 يختار 5 فقط. الإضافة زادت القمة والجيران بالمقدار نفسه.

السبب جبري لأي قيم حقيقية وإضافة ثابتة c: (u+c)−(v+c)=u−v، وu>v يكافئ u+c>v+c. لذلك لا تتغير مناطق التساوي أو المقارنات أو الفروق في الحساب الدقيق. هذا برهان حسابي، لا ضمان لدقة حساب عائم عند أعداد هائلة.

وللحفاظ على اختيار الارتفاع الأصلي، نزيد حدّه بالمقدار نفسه: y[i]≥14 يكافئ x[i]≥4. بهذا التعديل تبقى 2 وحدها. لم نقدر خط أساس مجهولًا أو نختبر خوارزمية لإزالته؛ اخترنا الإضافة ونعرفها مسبقًا.

اقرأ الجارين وحدود المثال

خذ مثالًا آخر [0,4,3]. القمة الوحيدة عند 1، وفرقها الأيسر 4 والأيمن 1. اختبار الجانب الأيسر وحده سيوحي بقبول حد 2، لكن الأصغر 1؛ فلا يجتاز شرط الجانبين. لا نستبدل مجموع الفرقين 5 بالفرق الأصغر.

أمثلتنا قوائم منتهية بلا NaN. تحذر الوثائق من نتائج غير متوقعة عند وجود NaN. [1]

طرفا [4,0,3] بلا جارَين؛ لا قمة داخلية. والقائمة الثابتة [4,4,4,4] بلا قمة.

لم ننفذ SciPy؛ تحققنا من الأعداد بتعداد مستقل للمناطق المتساوية ومقارنة الجيران. القيم مفترضة بلا وحدة، والفهرس عدد موضع لا ثانية. لا نخرج من اختلاف 2 و5 بتردد أو طول موجي من دون نموذج ومحور ووحدات مناسبة.

عند تفسير اختيارك، اكتب القيم الأصلية والمرشحين والشرط العددي وفرقَي الجارين. نتيجة فارغة قد تعني أن شروطك لا تجتمع، كما في شرطَي 4 و2 هنا؛ لا أنها دليل على خلو السجل من قمم مرشحة.