الاستيفاء الخطي: داخل المجال وخارجه وعند الالتفاف

اختر القطعة التي تحيط بالطلب

نعلن بياناتنا الأولى: xp=[0,2,5] وfp=[2,8,−1]، حيث كل قيمة في fp تقابل الموضع الذي له الفهرس نفسه في xp. الإحداثيات متزايدة ومختلفة، والقيم بلا وحدة في هذا المثال. المطلوب تقدير قيمة عند موضع جديد، لا تقدير مشتقة ولا إعادة بناء دالة معلومة مسبقًا.

بين موضعين a وb، مع a<b، نختار الخط المار بالقيمتين ya وyb. نكتب t=(q−a)/(b−a)، ثم القيمة (1−t)ya+t yb. تعيد الصيغة ya عند q=a، وyb عند q=b؛ والزيادة لكل وحدة من q تساوي (yb−ya)/(b−a)، كما يقتضي الخط الواصل بين النقطتين.

عند q=1، النقطتان المحيطتان هما 0 و2، وقيمتاهما 2 و8. النسبة t=(1−0)/(2−0)=1/2، ولذلك القيمة نصف 2 زائد نصف 8، أي 5. أما عند q=3 فنعمل بين 2 و5: النسبة (3−2)/(5−2)=1/3، فيكون الناتج (2/3)×8+(1/3)×(−1)=5.

القيمتان متساويتان، لكن الميل الأول (8−2)/2=3، والثاني (−1−8)/3=−3. لا يوجد خط واحد بهذا الميل كله؛ وصلنا قطعتين تلتقيان عند الموضع 2 والقيمة 8. استخدام النقطتين الطرفيتين فقط يبني خطًا مختلفًا يغفل القيمة الوسطى.

داخل القطعة، تكون t بين صفر و1، فيكون الوزنان غير سالبين ومجموعهما 1. فإذا كانت ya≤yb، فإن الناتج ya+t(yb−ya) يقع بينهما؛ وإذا انعكس ترتيبهما نطبق الحجة بعد تبديل الأصغر والأكبر. هذا برهان على بقاء التقدير بين قيمتي القطعة في حسابنا الدقيق.

بقاء الناتج بين القيمتين لا يثبت أنه قيمة الظاهرة الحقيقية عند الموضع الجديد. لقد اخترنا وصلًا مستقيمًا؛ البيانات الثلاث وحدها لا تحدد كل ما يحدث بينها. كذلك متوسط القيم الثلاث (2+8−1)/3=3 لا يجيب عن الطلب عند موضع معين.

حدد ما يحدث خارج المجال

افتراضيًا يعيد interp قيمة الطرف خارج المجال؛ left وright يحددان قيمتي التعبئة. [1]

في بياناتنا المجال من 0 إلى 5. عند q=−1 نبقي القيمة الأولى 2، وعند q=6 نبقي الأخيرة −1. تتكون إذن قائمة النتائج للطلبات [−1,1,3,6] من [2,5,5,−1]. إبقاء القيمة خارج المجال لا يعني مواصلة الميل الموجود داخل القطعة.

للمقارنة نمد الخط الأيسر ذي الميل 3 من النقطة (0,2). عند −1 تكون قيمته 2+3×(−1)=−1. ونمد الخط الأيمن ذي الميل −3 من (5,−1)، فتكون قيمته عند 6 هي −1−3×1=−4. هذا بديل اخترناه للحساب، وليس الناتج الافتراضي السابق.

نختار بديلًا ثالثًا: التعبئة −20 يسارًا و20 يمينًا. مع بقاء الاستيفاء الداخلي نفسه، تصبح نتائج طلباتنا [−20,5,5,20]. العددان −20 و20 اختياران تعليميان؛ لا يمثلان خطأ مقاسًا أو قيمتين استنتجناهما من العينات.

عند الموضعين 0 و5 أنفسهما، تبقى قيمتا البيانات 2 و−1؛ نتحدث عن التعبئة للطلبات التي تتجاوز الحدين. لذلك قد تكون قاعدة التعبئة غير متصلة بقيمة العقدة الطرفية، كما يحدث مع اختياراتنا −20 و20. إعلان القاعدة يمنع الخلط بين قيمة عقدة وقيمة خارج المجال.

معالجة الخارج تختلف بين إجراءات الاستيفاء؛ راجع توثيق الإجراء الذي تستخدمه. [2] المثال الحالي لا يمنح كل إجراء خيارات interp نفسها.

اربط نهاية الدورة ببدايتها

عند تحديد period، يحول interp الإحداثيات إلى بواقي القسمة ويرتبها داخليًا؛ ويتجاهل left وright. [1]

نعلن الآن بيانات جديدة مستقلة: مواضع 30 و150 و270 درجة، وقيم 2 و8 و−4. الدرجات وحدة الإحداثي الدوري فقط؛ قيم الدالة ليست زوايا. نفترض تكرر العلاقة كل 360 درجة، بحيث يمثل q وq+360 الموضع نفسه في الدورة.

بين 30 و150، الطلب 90 في المنتصف، فيعطي (2+8)/2=5. وبين 150 و270، الطلب 210 في المنتصف، فيعطي (8−4)/2=2. أما الطلب صفر فلا يقع بين أول موضع وآخر موضع مكتوبين؛ نحتاج قطعة تصل نهاية الدورة ببدايتها التالية.

نكتب نسخة العقدة الأولى في الدورة التالية عند 30+360=390 وبالقيمة نفسها 2. قطعة الالتفاف من (270,−4) إلى (390,2) طولها 120 درجة. عند 360 يكون التقدم 90 درجة من 270، ونسبته 3/4؛ إذن القيمة −4+(3/4)×6=1/2.

الموضع 360 مكافئ لصفر، فتكون القيمة عند صفر 1/2 أيضًا. ويمكن حسابها من النسخة السابقة للعقدة الأخيرة عند 270−360=−90 والقيمة −4 إلى العقدة 30 والقيمة 2؛ النسبة من −90 إلى صفر هي 90/120 نفسها. ليست النتيجة إبقاء القيمة الأولى 2 كما في قاعدة الطرف غير الدوري.

عند 300، التقدم على قطعة الالتفاف 30 درجة؛ القيمة −4+(1/4)×6=−5/2. والطلب −60 مكافئ لـ300 بإضافة دورة، فيعيد −5/2. هذا التكافؤ يتعلق بإحداثي الطلب، ولا يطلب استيفاء قيم الدالة نفسها بوصفها اتجاهات دائرية.

الدورية فرض إضافي أعلنّاه؛ لم نستنتجها من ثلاث قيم. وإذا كان موضع الطلب يمثل زمنًا غير دوري في مسألتك، فلن يجعل اختياره خارج المجال وحده الالتفاف مناسبًا. القاعدة المختارة جزء من معنى البيانات، وليست طريقة مضمونة لتوقع قيم مجهولة.

رتب الإحداثي مع قيمته

دون period، يجب أن تكون xp متزايدة؛ التوثيق ينبه إلى أن هذا الشرط لا يفرض صراحة داخل الإجراء. [1]

لنعرض مثال الدورة بترتيب مختلف: الإحداثيات [270,30,150] والقيم [−4,2,8]. الأزواج هي (270,−4) و(30,2) و(150,8). ترتيب الأزواج بحسب الإحداثي يعطي (30,2) ثم (150,8) ثم (270,−4)، أي البيانات التي حسبناها؛ عند 90 يبقى الناتج 5.

أما لو فرزنا الإحداثيات إلى [30,150,270] وأبقينا القيم في ترتيبها القديم [−4,2,8]، فقد أنشأنا أزواجًا مختلفة: قيمة 30 صارت −4، وقيمة 150 صارت 2. عند 90 يصبح متوسطهما −1، لا 5. لم تغير عملية الحساب الأرقام؛ غيرنا علاقتها بالمواضع.

نطبق في نموذجنا فحصًا مسبقًا لتفرد الإحداثيات، ولتفرد البواقي بعد اختيار الدورة. مثلًا 0 و360 لهما الباقي صفر نفسه عند دورة 360. إذا ارتبطا بقيمتين متعارضتين، فلن يعطيا وصفًا أحادي القيمة للموضع الدوري نفسه. نوقف نموذجنا لحل التعارض؛ لا ندعي أن NumPy سيرفض هذه الحالة برسالة بعينها.

تفرد النقاط واتساق الأزواج لا يضمنان قانون الظاهرة بين النقاط. نراجع أيضًا أن الحديث عن داخل المجال أو خارجه، وأن الدورة مفترضة فعلًا، وأن قيمة الناتج تحمل معنى قيم الدالة لا معنى إحداثياتها. لا تكفي مشاهدة رقم معاد لمعرفة أي قاعدة أخرجته.

تحققنا من أمثلتنا بكسور دقيقة، ومن وصل القطع ومن التكافؤ الدوري في اختبارات محددة. لم نشغل NumPy أو SciPy، ولم نختبر ضوضاء أو أعدادًا عائمة ضخمة. الفصل بين الاختيار الرياضي وبين تنفيذ المكتبة يحافظ على حدود هذه النتائج.