الطي الترددي: لماذا تعطي إشارتان مختلفتان العينات نفسها؟

افصل تردد الإشارة عن معدل العينات

قد يؤدي معدل غير كافٍ لأخذ العينات إلى الطي الترددي. [1] نختبر ذلك بمثال محسوب.

اختر Fₛ=10 عينات/ثانية، أي عينة كل Δt=1/Fₛ=1/10 ثانية. أوقات القراءة tₙ=n/10، حيث n=0، 1، 2،… . نفترض توقيتًا منتظمًا وقراءات مثالية دون ضوضاء أو تكميم.

قارن x₃(t)=cos(2π×3t) وx₇(t)=cos(2π×7t)، مع t بالثانية والسعة 1 بلا وحدة. الأعداد 3 و7 هي ترددات بالهرتز؛ نضرب التردد في الزمن ثم في 2π للحصول على زاوية بالراديان.

خلال ثانية، تتم الأولى ثلاث دورات والثانية سبعًا. لكن الجهاز في النموذج لا يحفظ المنحنى المتصل، بل قيمه عند الأوقات المختارة. اختلاف عدد الدورات لا يكفي وحده لإثبات اختلاف هذه القيم.

نختار جيب التمام في الإشارتين ونبدأ الطور من صفر. هذا جزء من المعطيات: تغيير نوع الدالة أو طورها قد يغير علامات العينات، كما سنرى.

أثبت التطابق لكل عينة، لا لجدول قصير فقط

عند tₙ=n/10، زاوية الإشارة الثانية هي 2π×7n/10. نكتبها 2πn−2π×3n/10. إضافة عدد صحيح من الدورات لا تغير جيب التمام، وهو دالة زوجية؛ لذلك cos(2πn−θ)=cos(θ).

إذن x₇(tₙ)=x₃(tₙ) لكل n صحيح. البرهان يشمل كل عينات التسجيل، وليس أول عشر عينات فقط. تمديد المدة مع إبقاء الأوقات على الشبكة n/10 لا يزيل هذا الالتباس.

أول ست قيم مشتركة، من n=0 إلى 5، هي تقريبًا 1،−0.309،−0.809، 0.809، 0.309،−1. التقريب للعرض؛ التطابق نفسه دقيق في الصيغة الرياضية.

بين العينات نختبر t=1/20 ثانية. الإشارة الأولى cos(3π/10)≈0.588، والثانية cos(7π/10)=−cos(3π/10)≈−0.588. إنهما مختلفتان، لكن جهاز 10 عينات/ثانية لا يقرأ عند هذا الوقت.

بصورة أعم، اختر Fₛ>0 وf>0 وعددًا صحيحًا q، بحيث يكون التردد الناتج الذي نستخدمه موجبًا. عند n/Fₛ، تصبح زاوية تردد qFₛ+f هي 2πqn+2πfn/Fₛ، وزاوية qFₛ−f هي 2πqn−2πfn/Fₛ. دوريّة جيب التمام وزوجيته تعطيان عينات تردد f نفسها، بلا إزاحة طور.

هذه علاقة للزوج المحدد وللدالة المختارة. في مثالنا q=1 وFₛ=10 وf=3، فيعطي 10−3 التردد 7. أما 10+3 فيعطي 13 هرتز، وله أيضًا عينات جيب التمام نفسها على الشبكة ذاتها.

لا تستبدل cos بـsin دون فحص: sin(2πn−θ)=−sin(θ). لذلك جيبا 3 و7 هرتز بطور صفري ليسا متطابقين عمومًا؛ عيناتهما متعاكسة الإشارة. ويمكن تعويض ذلك بتغيير طور إحداهما، لكن يجب التصريح بالتغيير.

انتبه إلى الطور عند حد نايكويست

تردد نايكويست نصف معدل العينات. [1] هنا يساوي 5 هرتز.

ضع z(t)=sin(2π×5t). عند tₙ=n/10 تصبح z(tₙ)=sin(πn)=0 لكل n صحيح. السجل يطابق الإشارة الصفرية، رغم أن z(1/20)=sin(π/2)=1.

لو اخترنا بدلًا منها w(t)=cos(2π×5t)، لأعطت العينات cos(πn)=(−1)ⁿ، أي 1،−1، 1،−1،… . تساوي الترددين لا يجعل أثر الطور متماثلًا على شبكة العينات.

لرؤية الاعتماد على الطور، اكتب zφ(t)=sin(2π×5t+φ). عند العينات، zφ(tₙ)=sin(πn+φ)=(−1)ⁿsin(φ). إذا φ=0 اختفت القيم، وإذا φ=π/2 تناوبت بين 1 و−1.

لهذا لا نستخدم عبارة «عينتان لكل دورة تكفيان دائمًا» دون شروط. المثال عند الحد يثبت فشل ضمان غير مشروط للطور. لم نبرهن هنا نظرية إعادة البناء العامة، ولا نستنتج من هذا الزوج شروطًا لكل نوع من الإشارات.

غيّر ما يدخل إلى العينات قبل محاولة إصلاح السجل

ارجع إلى جيبي التمام 3 و7 هرتز. إذا صار Fₛ=20 عينة/ثانية، فإن n=1 يقابل t=1/20 ثانية. القيمتان حينها 0.588 و−0.588 تقريبًا؛ أصبحت قراءة كانت غائبة جزءًا من الشبكة الجديدة.

هذا يفصل الزوج 3 و7، ولا يفصل كل تردد ممكن: جيب التمام بتردد 20−3=17 هرتز ما زال يعطي عينات 3 هرتز نفسها عند 20 عينة/ثانية. يجب تحديد محتوى الإشارة الذي تسمح به المسألة بدل إعلان أن رقم 20 حل عام.

في السجل القديم، لنسمِّ القيم المشتركة S. أي طريقة حتمية تأخذ S وحده تعطي النتيجة نفسها سواء كانت الإشارة الأصلية x₃ أو x₇. إن اختارت الأولى أخطأت في الحالة الثانية، والعكس؛ لا يحدد S وحده الأصل الصحيح.

قد تساعد معلومات إضافية عن الترددات الممكنة أو قراءات جديدة على شبكة مختلفة. أما رسم خط ناعم بين النقاط أو ترشيح السجل المتطابق نفسه، فلا ينتج دليلًا يميز الإشارتين من تلك القيم وحدها.

المرشح التماثلي المضاد للطي يُضعف المركبات عالية التردد قبل أن يأخذ المحول العينات ويحولها إلى قيم رقمية. [2] هذه معالجة لما يدخل إلى التسجيل، لا استرجاع لاحق للمعلومات من سجل متطابق.

يمكن في نموذج مثالي مخصص للزوج أن نسمح بالتردد 3 ونستبعد 7 قبل أخذ العينات. لكننا لم نصمم مرشحًا حقيقيًا أو نثبت مقدار إضعافه؛ في التطبيق يلزم التحقق من خصائصه ومحتوى الإشارة ومعدل القراءة معًا.

الرسومان يحسبان دوالًا اخترناها، وليسا قياسات جهاز أو تجربة صوتية. لم نشغل MATLAB أو Simulink؛ استخدمنا هويات الزوايا لإثبات التطابق وحساب قيم المثال.