الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة: كيف تصنفها؟

اختبار الحد الخارجي بعد ترتيب المعادلة

نختار المعادلة y″+y=x على المجال الحقيقي. الطرف الخارجي عند x=0 يساوي صفرًا، وعند x=1 يساوي 1. لذلك لا ينطبق عليه تعريف الانعدام على المجال كله الذي بدأنا به.

إذا كتبناها y″+y−x=0، نستعيد الشكل السابق بإضافة x إلى الطرفين. لم نتخلص من الحد الخارجي بإعادة الكتابة. أما y″+y=0 فطرفها الخارجي صفر في كل نقطة من المجال.

سنستعمل في الحساب الآتي الرمز T[y] للعملية y″+y. هذا تعريف للعملية في مثالنا، وليس اسمًا عامًا لكل معادلة تفاضلية. الحرف x متغير مستقل، والشرطة المزدوجة تعني مشتقة ثانية.

حل خاص وعائلة حلول متجانسة

في المعادلة المختارة T[y]=3، الدالة الثابتة y=3 تحقق الشرط لأن مشتقتها الثانية صفر. نضيف إليها C₁cos x+C₂sin x، حيث C₁ وC₂ ثابتان حقيقيان؛ مشتقة هذا الجزء الثانية هي −C₁cos x−C₂sin x.

إذن T[3+C₁cos x+C₂sin x]=3؛ تلغى الحدود المثلثية بعضها مع بعض. والجزء C₁cos x+C₂sin x يحقق T[y]=0، أي المتجانسة المرتبطة في هذا المثال. هكذا نرى الحل الخاص والجزء المتجانس في التعبير نفسه.

الشرط y(0)=4 يعطي 3+C₁=4، فتكون C₁=1. ومشتقة العائلة هي −C₁sin x+C₂cos x؛ لذلك يعطي الشرط y′(0)=0 القيمة C₂=0. نصل إلى y=3+cos x. الأعداد مختارة للتوضيح؛ ليست قياسات لتجربة.

لماذا نطرح حلين ولا نجمعهما؟

نختار y₁=3+cos x وy₂=3+sin x. مشتقتاهما الثانيتان −cos x و−sin x. بالتعويض نحصل على T[y₁]=3 وT[y₂]=3.

الفرق z=y₁−y₂=cos x−sin x مشتقته الثانية −cos x+sin x، فيكون T[z]=0. أما المجموع w=6+cos x+sin x فمشتقته الثانية −cos x−sin x، فيكون T[w]=6. هذا المجموع يفشل في المعادلة التي تطلب 3.

تعرض الصورة الداخلية نواتج التعويض الأربعة. ويعرض الرسم الرئيسي y₁ وy₂ والفرق على الفترة 0≤x≤2π. عند الصفر القيم 4 و3 و1 بالترتيب. النتيجة صفر في عملية T لا تعني أن الدالة نفسها صفر؛ فالفرق المرسوم يتغير فوق المحور وتحته.

حدد معنى المتجانسة قبل اختيار الطريقة

تجانس النسبة معنى آخر؛ حدّد المقصود أولًا.^[2]

نختبر معنى الاعتماد على النسبة بمثالين عند x≠0. في التعبير f(x,y)=(y/x)²، تعطي النسبة نفسها القيمة نفسها. لكنه لا يتصرف خطيًا مع y: استبدال y بضعفه يجعل القيمة أربعة أمثالها بدل ضعفيها.

أما f(x,y)=(sin x)y، فاستبدال y بضعفه يضاعف القيمة. ومع ذلك، عند y=x تبقى النسبة y/x مساوية 1، بينما تعطي x=π/2 القيمة π/2، وتعطي x=π القيمة صفرًا. لذلك لا تكفي النسبة وحدها لتحديد هذا التعبير.

هذا الفحص يوضح سبب قراءة الصورة المقصودة قبل اختيار طريقة الحل. راجع المعادلة والمجال والشروط، ثم افحص الدالة المقترحة بالتعويض. ولخطوات حساب حل خطي من الرتبة الأولى، اقرأ المقال المرتبط أدناه.

حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى