القسمة في الحساب بترديد عدد: متى تفقد حلًا؟

الخلاصة السريعة

يجوز اختزال العامل المشترك دون تغيير الترديد عندما يكون قاسمه المشترك الأكبر مع الترديد 1؛ وهذا شرط وجود معكوسه الضربي. [2][3]

• التطابق يعني أن الفرق يقبل القسمة على الترديد؛ لا يعني تساوي القيمتين. أمثلتنا لأعداد صحيحة وترديد أكبر من 1. [1]
• افحص القاسم المشترك الأكبر للعامل والترديد؛ المعكوس الضربي يجعل حاصل ضربهما يطابق 1. [2][3]
• في 2x ≡ 6 (mod 12)، الممثلان بين 0 و 11 هما 3 و 9؛ والصيغة الكاملة x = 3 + 6k لعدد صحيح k. القسمة هنا تخفض الترديد إلى 6.
• في 3x ≡ 6 (mod 10)، المعكوس 7؛ الحل x ≡ 2 (mod 10)، أي x = 2 + 10k لعدد صحيح k.
• لا حل صحيحًا للعبارة 2x ≡ 5 (mod 12): الطرف الأيسر زوجي، وفرق الطرفين فردي فلا يقبل القسمة على 12.
• تحقق بالتعويض في العبارة الأصلية، واكتب الترديد والمجال مع الجواب؛ فـ 3 وحدها تفوّت الممثل 9 في المثال الأول.

اقرأ التطابق بوصفه شرطًا على الفرق

الكتابة a ≡ b (mod m) تعني أن m يقسم الفرق a − b. سنستخدم أعدادًا صحيحة وترديدًا m أكبر من 1، ونختار الممثلين من 0 إلى m − 1. [1]

خذ 18 و 6 بترديد 12: الفرق 12، ولذلك هما متطابقان بهذا الترديد رغم أنهما غير متساويين كعددين عاديين. عند البحث عن x نريد قيمة تجعل الفرق مضاعفًا للترديد. تغيير الترديد أثناء الحل يغير المعلومات التي تحفظها الكتابة؛ لذا أظهره في كل خطوة.

افحص العامل قبل اختزاله

إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعامل والترديد 1، فله معكوس ضربي بهذا الترديد، ويجوز اختزال العامل دون تغيير الترديد. المعكوس عدد صحيح يجعل حاصل الضرب يطابق 1. [1][2][3]

في مثالنا للعامل 2 والترديد 12، قاسمهما الأكبر 2؛ أما العامل 3 والترديد 10 فقاسمهما الأكبر 1. المقارنة ليست بين العامل والطرف الأيمن وحده. كون 6 يقبل القسمة على 2 في المثال الأول لا يثبت أن حذف 2 مع إبقاء 12 يحفظ جميع الحلول.

مثال يعطي حلين بين 0 و11

نختار 2x ≡ 6 (mod 12). عند x = 3 يكون حاصل الضرب 6؛ وعند x = 9 يكون 18، وباقي قسمة 18 على 12 هو 6 أيضًا. كلاهما يحقق العبارة. لو كتبنا بعد القسمة x ≡ 3 (mod 12) لاحتفظنا بالأول وأسقطنا الثاني.

من شرط الفرق نكتب 2x − 6 = 12k لعدد صحيح k. القسمة في هذه المساواة العادية على 2 تعطي x − 3 = 6k، أي x = 3 + 6k. نقرأ النتيجة x ≡ 3 (mod 6)، ثم نرجع إلى ممثلي الترديد 12: وهما 3 و 9. تغيير الترديد إلى 6 هنا نتيجة الحساب، لا إسقاطًا اعتباطيًا للشرط.

الصورة الرئيسية ترسم ممثلي الترديد 12 من 0 إلى 11 وتبرز 3 و 9. إنها حلقة حسابية مرقمة، وليست ساعة زمنية أو عدادًا جُرّب فعليًا. الحلول خارج الحلقة تستمر بالصيغة 3 + 6k؛ مثل 15 و−3، وتبقى صحيحة بالتعويض في العبارة الأصلية.

مثال يحفظ الترديد ويعطي ممثلًا واحدًا

نختار 3x ≡ 6 (mod 10). العدد 7 معكوس 3 هنا، لأن 3 × 7 = 21، و 21 − 1 = 20 يقبل القسمة على 10. نضرب الطرفين في 7: فيصبح 21x ≡ 42 (mod 10). بعد أخذ الباقي نحصل على x ≡ 2 (mod 10).

الممثل في المجال من 0 إلى 9 هو 2؛ وكل الحلول الصحيحة x = 2 + 10k لعدد صحيح k. للتأكد من تفرد الممثل، حسبنا باقي 3x لكل قيمة في المجال. العمود الذي يعطي 6 يقع عند x = 2 فقط. الرسم الداخلي يعرض هذه الحسابات، والجدول يبقيها قابلة للنسخ.

مثال لا يقبل أي حل صحيح

غيرنا الطرف الأيمن فقط: 2x ≡ 5 (mod 12). أي حاصل 2x زوجي إذا كان x صحيحًا؛ وبعد طرح 5 يصبح الفرق فرديًا. لكن مضاعفات 12 زوجية. لذلك لا يمكن أن يكون الفرق مضاعفًا لـ 12، ولا يوجد حل صحيح.

التجربة المحدودة تؤكد ذلك أيضًا: بواقي 2x بين 0 و 11 هي 0،2،4،6،8،10، ثم تتكرر. لا يظهر 5 في هذه القائمة. لا نستنتج من غياب المعكوس أن كل مسألة بلا حل؛ المثال الأول له حلان في المجال المحدد، وهذه المسألة لها صفر.

اكتب مجموعة الحل ثم راجع الأصل

سجل الترديد قبل إجراء أي اختزال. بعد الحل اذكر هل تعرض ممثلًا أو جميع القيم الصحيحة. في مثال 2x بترديد 12 نكتب الممثلين 3 و 9، أو الصيغة 3 + 6k. وفي مثال 3x بترديد 10 نكتب الممثل 2، أو الصيغة 2 + 10k.

أعد حساب الفرق لكل جواب: للقيمة 9 في المثال الأول، 2 × 9 − 6 = 12؛ وللقيمة 2 في المثال الثاني، 3 × 2 − 6 = 0. كلا الفرقين يقبل القسمة على الترديد الخاص به. أما الجواب الذي يبدو صحيحًا بعد خطوة غير مكافئة فلا يكفي لإثبات أن جميع حلول الأصل محفوظة.